Table of contents generated with markdown-toc
$$
\gets-\frac{}{4}-\frac{}{3}-\frac{}{2}-\frac{}{1}-\frac{}{0}-\frac{}{-1}-\frac{}{-2}-\frac{}{-3}-\frac{}{-4}-\to
$$
Name
Zeichen
Bereich
Natuerlichezahlen
$\mathbb{N}$ {1 ; 2 ; 3 ; ... ; 100 ; ...}
" inkl. "0"
$\mathbb{N}$ 0
{0 ; 1 ; 2 ; ...}
GanzeZahlen
$\mathbb{Z}$ {... ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; ...}
RationaleZahlen
$\mathbb{Q}$ {... ; -1 ; -0,5 ; -$\frac{1}{12}$ ; -$\frac{1}{24}$ ; 0 ; $\frac{1}{4}$ ; $\frac{3}{4}$ ; $\frac{1}{3}$ ; ...}
ReelleZahlen
$\mathbb{R}$ {... ; $\pi$ ; $\pm\sqrt{2}$ ; 0 ; 1 ; $\sqrt{3}$ ; $\frac{1}{3}$ ; ...}
KomplexeZahlen
$\mathbb{C}$ {... ; ($-5+3\sqrt{i}$ ) ; -6,75 ; $\mathrm{i}$ ; 0 ; 1 ; ...}
Primzahlen
$\mathbb{P}$ {2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; ...}
Brueche auf gleichen NennerBringen
Addition
$$
\frac{a}b{} +\frac{c}{d}=\frac{ad}{b d}+\frac{cb}{d b}=\frac{ad+c+b}{b d}
$$
Subtraktion
$$
\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad}{b d}-\frac{cd}{d b}=\frac{ad-c b}{b*d}
$$
Multiplikation
Mit Ganzer Zahl
$$
\frac{a}{b}c=\frac{a c}{b}
$$
Mit Bruch
$$
\frac{a}{b}\frac{c}{d}=\frac{a c}{b*d}
$$
Division
Mit Ganzer Zahl
$$
\frac{a}{b}/c=\frac{a}{b*c}9
$$
Mit Bruch
$$
\frac{a}{b}/\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\frac{d}{c}=\frac{a d}{b*c}
$$
Zwei Felder 1cm
(0,0)
X-Achse
Y-Achse
f(x)=x+1
Kartesisches Kordinaten System Zwei Felder 1cm
(0,0)
X-Achse/Abzisse
Y-Achse/Ordinate
I
II
III
IV
Ursprung
Schnittpunkt beider achsen
Abszisse
X-achse, Horizontale achse
Ordinate
y-achse, Vertikale achse
Quadrant
Von oben rechts im Uhrzeigersinn gehzaehlt
Zwei Felder 1cm
(0,0)
X-Achse
Y-Achse
Z-Achse
(0,0)
4
-1
2
P(2|4|-1)
Funktion
Nur Ein Wert von y Kann Ein x Wert zugewiesßen werden
Realtion
Es Koennen Mehrere y werte ein x Wert zugewiesen werden
$$ F/f: x\mapsto f(x) = Y= 2x $$
FunktionsName : $F/f $
Argumentations Variable
$$x$$
FunktionsWert
$$f(x)$$
FunktionsGleiung
$$x\mapsto(x)=y=2x$$
Funktionsterm
$$y=2x$$
Zwei Felder 1cm
(0,0)
X-Achse
Y-Achse
X
Y
(0,0)
X-Achse
Y-Achse
X
Y1
Y2
<iframe src="https://www.geogebra.org/calculator/rn5dnvqe?embed " width="90%" height="600" allowfullscreen style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>
Tablelle:
Y
-1
0
1
2
3
fx)=y
-2
0
2
4
6
https://www.geogebra.org/calculator/tvy6rqrv?embed " width="90%" height="600" allowfullscreen style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>
$$x = 1,5 \to f(1,5)= \tilde{+} 1,32$$
$$x = 1,5 \to g(1,5)= \tilde{-} 1,32$$
<iframe src="https://www.geogebra.org/calculator/tqg39tbg?embed " width="90%" height="600" allowfullscreen style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>
$$
x=1,5 \begin{cases}
Y_1 = \tilde{+}1,32 \\
Y_2 = \tilde{-}1,32
\end{cases}
$$
Verlaufen durch den Ursprung(0,0)
$$
\displaylines{
y=mx\\
z.b.\to f:x \mapsto y=3*x}
$$
Stehen $g$ und $f$ senkrecht($\perp$ ) zueinander?
<iframe src="https://www.geogebra.org/calculator/tc2q65mm?embed " width="90%" height="600" allowfullscreen style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>
$$
g\perp f \iff
m1*m2 = -1
$$
$$
\bigtriangleup = Delta
$$
$$
\displaylines{
y= m*x \quad |:x \\
\frac{\bigtriangleup Y}{\bigtriangleup X}=m\\
\frac{1,5}{3}=0,5}
$$
(0,0)
X-Achse
Y-Achse
X=3
Y=1,5
X=2
y=1
$$
m = \frac{\bigtriangleup Y}{\bigtriangleup X}= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
$$
$$
m= \frac{0,75}{1,5}=\frac{1}{2}=0,5
$$
Die gerade Faellt
$$m>0$$
Die Gerade faellt
$$m<0$$
$$
\begin{align*}
y &= mx + t \\
mx+t&=0 \quad|-t \\
mx&=-t \quad|:m \\
x&=\frac{-t}{m}
\end{align*}
$$
Der y-Achsenabschnitt gibt den schnittpunkt der gerade mit der y-Achse an
$$
S_y(o|t)
$$
$$X_0$$
Die Stelle An der der Graph die X-Achse schneidet ist die nullstelle
$$\text{NST}(-\frac{-t}{m})$$
Berechnen von Nullstellen $$
f(x)=0=x-2 \quad \Rightarrow x-2=0|+2 \quad \Leftrightarrow \quad x=2 \quad \to \text{NST}(2|0)
$$
Funktions Gleichungs Darstellungsformen
Normale,Explizierte Form
Allgemeine, implizite Form
Achsenabschnittsform
$$y=mx+t$$ $$ax+by+c=0$$ $$\frac{x}{x_0}+\frac{y}{y_0}=1$$
Senkrecht
$$f_1\perp f_2$$
Parallel
$$f_1\parallel f_2$$
identisch
$$f_1= f_2$$
schneiden
$$ m_1 \neq m_2$$
Lineare Gleiung
$$2x-3=3x+5$$
Quadratische
$$x^2-2x=-1$$
Trigonometrische/
$$3\sin(\frac{x}{4})=2$$
Bruchgleicung
$$\frac{x^4-2x}{2x+1}=\frac{1}{x}$$
Exponential
$$2^{4x}=3$$
betragsglechungen
$$\mid x-3 \mid =4$$
Wurzel glechung
$$\sqrt{x^2+8x+4}=1$$
Die Menge der Werte von X, die man in die gleichung einsetzen kann, nennt mann Grundmenge $\to \mathbb{G}$
Die Menge der werte von x, fuer die eine wahre aussage entsteht, nennt man die Loesungsmenge $\to \mathbb{L}$
es gilt immer $\mathbb{L} \subseteq \mathbb{G}$ , ($\subseteq$ ist teilmenge von)
$$
\begin{align*}
x-2&=-2 |+2\\
x&=-3
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*}
\mathbb{G} = \mathbb{Q} \quad \Rightarrow \mathbb{L}&={-3}\\
\mathbb{G} = \mathbb{Z} \quad \Rightarrow \mathbb{L}&={-3}\\
\mathbb{G} = \mathbb{N} \quad \Rightarrow \mathbb{L}&={}/\emptyset \quad \text{,da}-3 \notin \mathbb{N}
\end{align*}
$$
Zwei gleichungen sind equivalent zueinander wenn sie die gleiche loesungs- und grundmenge haben
$$
x-2=-5 \Leftrightarrow x-1=-4 \Leftrightarrow 3x=-9
$$
Beispiele Fuer umformungen $\mathbb{L}{-3}$
$$
\begin{align*}
x-2 &= -5 \quad|+2\\
x &= -3
\end{align*}
$$
$\mathbb{L}{-3}$
$$
\begin{align*}
-\frac{1}{3} x &= 1 \quad|-(-3)\\
x &= -3
\end{align*}
$$
$\mathbb{L}{-3}$
$$
\begin{align*}
3x &= -9 \quad|:3\
x &= -3
\end{align }
$$
$\mathbb{G=Q}_{0+}$
$$
\begin{align*}
x+2&<3 \qquad |-2 \\
x &< 1 \\
\mathbb{L}=[0;1]_\mathbb{Q0+}&=\begin{cases}
X| X \in _\mathbb{Q0+} \land x < 1
\end{cases}
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*}
-2&<-1 \qquad |(-1)\
2&>1
\end{align }
$$
$$
\gets-\frac{
\begin{matrix}
\\
\gets\\
.
\end{matrix}
}{-4}\frac{
\begin{matrix}
\\
-\\
.
\end{matrix}
}{-3}\frac{
\begin{matrix}
\\
-\\
.
\end{matrix}
}{-2}\frac{
\begin{matrix}
\\
-\\
.
\end{matrix}
}{-1}\frac{
\begin{matrix}
[\\
-\\
[
\end{matrix}
}{0}\frac{
\begin{matrix}
-\\
[\\
[
\end{matrix}
}{1}\frac{
\begin{matrix}
-\\
\\
.
\end{matrix}
}{2}\frac{
\begin{matrix}
-\\
\\
.
\end{matrix}
}{3}\frac{
\begin{matrix}
\to\\
\\
.
\end{matrix}
}{4}-\to
$$
$ \mathbb{L} = [0-1[$
Quadratische Funktionen und Gleichungen Quadratische Gleichung
$$
ax^2+bx+c=0
$$
Quadratische Funktion
$$
f(x)=\quad y=ax^2+bx+c
$$
$$
f(x)= y=ax^2+bx+c \qquad x \in \mathbb{R}; \quad a \in \mathbb{R} \backslash {0} ; \quad b,c \in \mathbb{R}
$$
$$
g(x)=x^2
$$
s(0,0) Ursprung, Hier ScheitelPunkt
X-Achse
Y-Achse
$$
\begin{align*}
\text{NST}:f(x)&=0\\
\\
f(x)&=x^2\\
0&=x^2 \quad |\sqrt{}\\
0&=|x|
\end{align*}
$$
$$
\text{1.Fall} \geq 0:+x_1=0\Rightarrow\text{NST}(0|0)\\
\text{2.Fall} < 0:-x_2=0 \Rightarrow\text{NST}(0|0)
$$
$\mathbb{D=R}\Rightarrow \mathbb{W=R}^+_0$
$$
a>0 \quad \text{Nach Oben Geoeffnet}\\
a<0 \quad \text{Nach Unten Geoeffnet}
$$
$$
|a| <1 \quad \text{Weiter Geoeffnet}\\
|a| >1 \quad \text{Enger Geoeffnet}
$$
$$
\boxed{|x| =\begin{cases}
X, \text{wenn} x \geq0\\
-x, \text{wenn} x <0
\end{cases}
}
$$
$$
c>0
$$
Der Graph verschiebt sich an der Y achse um $c$ nach oben $S(0;c)$
$$
c<0
$$
Der Graph verschiebt sich an der Y achse um $|c|$ nach oben $S(0;c)$
<iframe src="https://www.geogebra.org/calculator/uazyuep4?embed " width="90%" height="600" allowfullscreen style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>
NST: $f$
$$
\begin{align*}
f(x)&= 0\\
f(x)=y&=x^2 \\
x^2&=0 \quad |\sqrt{}\\
|x|&= \sqrt{0}=0
\end{align*}
$$
1.Fall:
$$x\geq 0:x_1=0 $$
2.Fall:
$$
\begin{align*}
x<0:-x_2&=0 \quad |-(1)\
x^2&=0
\end{align }
$$
NST(0|0) doppelte NST
NST: $g$
$$
\begin{align*}
g(x)&= x^2-1\\
g(x)= 0 \iff x^2-1&=0\quad|+1\\
x^2&=1\quad|\sqrt{}\\
x_1=1&\quad x_2=-1
\end{align*}
$$
NST $_1$ (1|0)
NST $_2$ (-1|0)
Einfache NST
NST: $h$
$$
\begin{align*}
f(x)&=x^2+2\\
f(x)=0 \iff x^2+2&=0 \quad |-2\\
x^2&=-2\quad|\sqrt{} \\
x&=\sqrt{-2}
\end{align*}
$$
$\text{Keine NST Da}\sqrt{-2}\text{nicht Moeglich ist}$
$$
\begin{align*}
f(x)=y&=x^3+4x+4\\
g(x)=y&=x^2-6x+9
\end{align*}
$$
<iframe src="https://www.geogebra.org/calculator/rvcecdr7?embed " width="90%" height="600" allowfullscreen style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>
aus Kordinaten system Abglesen
$$
S_f(-2|0)\
S_g(3|0)
$$
mit Formel
$$
\begin{align*}
a\Big) \quad y&= \overbrace{x^2+4x+4}^\text{3.Binom} \iff y=(x{\color{red}+}2)^2 \implies S({\color{red}-2}|0)\\
b\Big)\quad y&=\overbrace{x^2-6x+9}^\text{3.Binom} \iff y=(x{\color{red}-}3)^2 \implies S({\color{red}3}|0)
\end{align*}
$$
$$
y=(x{\color{red}-}x_s)^2
$$
Graph wird um $x_s$ nach rechts verschoben
$x_s > 0$
Graph wird um $|x_s|$ nach links verschoben
$x_s<0$
Satz von Vieta
sind $x_1$ und $x_2$ die NST der quadr. funk. $y=ax^2+bs+c$ ,
dann kann der Funktionsterm in Linearfaktoren zerlegt werden
$$
\begin{align*}
a \Big)\quad f(x) &= 0\\
f(x)&=(x+2)^2\\
0&=(x+2)^2
\end{align*}
$$
1.Alternaive
$$
\underbrace{(x+2)}{x_1+2=0}*\underbrace{(x+2)} {x_2+2=0}=0
$$
1.Fall
$$
\begin{align*}
x_1+2=0\
x_1=-2
\end{align*}
$$
2.Fall
$$
\begin{align*}
x_2+2=0\\
x_2=-2
\end{align*}
$$
NST(-2|0) doppelt
2.Alternative
$$
\begin{align*}
(x+2)^2&=0 \quad |\sqrt{} \\
|x+2|&=0
\end{align*}
$$
1.Fall
$$
\begin{align*}
x+2 &\geq 0:\\
x_1+2&=0\quad|-2\\
x_1&=-2
\end{align*}
$$
2.Fall
$$
\begin{align*}
x+2&<0\
-(x_2+2)&=0\
-x_2-2&=0 \quad|+2|(-1)\
x_2&=-2
\end{align }
$$
NST(-2|0) Doppelt
$$
f(x)=y=(x-x_s)^2+y_2
$$
<iframe src="https://www.geogebra.org/calculator/ngrfxa5u?embed " width="90%" height="600" allowfullscreen style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>
$$
S(x_s|y_s)\\
S_A(-1|2)
$$
$$
\begin{align*}
f(x)=y&=\underbrace{(x+1)^2}_{\text{3.Binom}}+2\\
y&=x^2+2x+1+2\\
y&=x^2+2x+3
\end{align*}
$$
Nullstellen MittelsLoesungsformel $$
y=ax^2+bx+c \qquad(a,b,c \neq 0)
$$
$$
x_{1/2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4a c}}{2*a}
$$
$$
S\bigg(\underbrace{-\frac{b}{2a}}{X_s} \bigg|\underbrace{c-\frac{b^2}{4a}} {Y_s}\bigg)
$$
$$
y=a(x-x_s)^2-y_s
$$
$$
\begin{align*}
y&=-x+12\\
y&=-2x+19
\end{align*}
$$
(0,0)
X-Achse
Y-Achse
S
Eine der Gleichungen Nach einer Unebkannten auflösen und einsetzten
$$
\begin{array}{c}
\mathrm{I}:& x+y=12\\
\mathrm{II}:&4x+2y=38\\
\hline
\mathrm{I}':&y=-x+12
\end{array}
$$
$$
\mathrm{I}' \text{ in } \mathrm{II}\\
\begin{align*}
4x+2(-x+12)&=38\\
4x-2x+24&=38 \quad|-24\\
2x&=14 \quad|/2\\
x&=7
\end{align*}
$$
$$
x\text{ in } \mathrm{I}\\
\begin{align*}
12-7&=y\\
5&=y\\
\end{align*}
$$
$$
\mathbb{L}{(7;5)}_{\mathbb{N}^2}
$$
Beide Gleichungen auf eine seite auflösen und dann gleich setzen
$$
\begin{array}{c}
\mathrm{I}:& x+y=12 &|-x\\
\mathrm{II}:&4x+2y=38 &|-2y| :4\\
\hline
\mathrm{I}':&x=-y+12\\
\mathrm{II}':&x=\frac{1}{2}x+9,5\\
\hline
\end{array}
$$
$$
\begin{align*}
\mathrm{I}'&=\mathrm{II}'\
-y+12&=-\frac{1}{2}y+9,5 \qquad| -12 |+\frac{1}{2}y\
-\frac{1}{2}y&=-2,5 \qquad|(\frac{1}{2})\
y&=5\
\
y&=\mathrm{I}'\
x&=-5+12\
x&=7
\end{align }
$$
$$
\mathbb{L}{(7;5)}_{\mathbb{N}^2}
$$
in beiden gleichungen muss die gleiche unbekannte den gleichen faktor, aber das entgegengesetzte vorzeichen erhalten. dann addiert man bede gleichungen
$$
\begin{array}{c}
\mathrm{I}:& x+y=12\\
\mathrm{II}:&4x+2y=38 &|*(-\frac{1}{2})\\
\hline
\mathrm{I}':&x+y=+12\\
\mathrm{II}':&-2x-y=-19\\
\hline
\end{array}
$$
$$
\begin{align*}
\mathrm{I}&+\mathrm{II}\
-x+0&=-7\quad|(-1)\
x&=7\
\
x&\text{ in }\mathrm{I}\
7+y&=12\quad|-7\
y&=5
\end{align }
$$
$$
\mathbb{L}{(7;5)}_{\mathbb{N}^2}
$$
$$
xa^2+bx+c=0
$$
$$
x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
$$
$$
\text{mit der Diskriminante }
D=b^2-4ac\\
\\
\begin{array}{c}
D>0 &: \text{Zwei lösungen } x_1 \text{ und } x_2\\
d=0 &: \text{genau Eine Lösung} x= \frac{-b}{2a} \\
d<0 &: \text{Keine Lösung}
\end{array}
$$
Schnittpunkte Parabeln und Geraden $$
\begin{pmatrix}
\text{I}&|&1 & 1 & 0& | & 3 \\
\text{II}&|&0& 1 & 4 & | & -1 \\
\text{III}&|&0& 0& -2 & | & 1
\end{pmatrix}
$$
Ziel beim gauss ist es Die Roten Stelllen auf 0 zu bringen damit man einen wert von einer gesuchten variable festlegen kann
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0& | & 3 \
{\color{red}0}& 1 & 4 & | & -1 \
{\color{red} 0}& {\color{red}0}& -2 & | & 1
\end{pmatrix}
$$
Um dies zu erreichen kann man
Multiplizieren
$$
\begin{pmatrix}
7 & -14 & 7& | & 21 \\
1 & -10 & 5 & | & 15 \\
-2 & 4 & -2 & | & -6
\end{pmatrix}
\begin{matrix}
\text{I}*\frac{1}{6}\\
\\
\\
\end{matrix}
\implies
\begin{pmatrix}
1 & -2 & 1& | & 3 \\
1& -10 & 5 & | & 15 \\
-2 & 4 & -2 & | & -6
\end{pmatrix}
$$
Multiplizieren
Dividieren
$$
\begin{pmatrix}
7 & -14 & 7& | & 21 \\
1 & -10 & 5 & | & 15 \\
0 & -16 & 8 & | & 24
\end{pmatrix}
\begin{matrix}
\\
\\
\text{III}/2\\
\end{matrix}
\implies
\begin{pmatrix}
1& -2 & 1& | & 3 \\
1& -10 & 5 & | & 15 \\
0& 8 & 4 & | & 12
\end{pmatrix}
$$
$$
\begin{pmatrix}
7 & -14 & 7& | & 21 \\
1 & -10 & 5 & | & 15 \\
-2 & 4 & -2 & | & -6
\end{pmatrix}
\begin{matrix}
\\
\\
\text{III}+2\text{II}\\
\end{matrix}
\implies
\begin{pmatrix}
7 & -14 & 7& | & 21 \\
1& -10 & 5 & | & 15 \\
0 & -16 & 8 & | & 24
\end{pmatrix}
$$
$$
\begin{pmatrix}
1& -2 & 1& | & 3 \\
0& -8 & 4 & | & 12 \\
0& -8 & 4 & | & 12
\end{pmatrix}
\begin{matrix}
\\
\\
\text{III}/2\\
\end{matrix}
\implies
\begin{pmatrix}
& -2 & 1& | & 3 \\
1& -10 & 5 & | & 15 \\
0& -16 & 8 & | & 24
\end{pmatrix}
$$
$$
\begin{pmatrix}
\swarrow &\searrow\\
X & Y & Z& &\\
8 & 0 & 4& | & 8 \\
-2 & 2 & 0 & | & 0 \\
4 & 0 & 3 & | & 2
\end{pmatrix}
\begin{matrix}
\\
\\
\\
\end{matrix}
\implies
\begin{pmatrix}
Y & X & Z& &\\
0 & 8 & 4& | & 8 \\
2& -2 & 0 & | & 0 \\
0 & 4 & 3 & | & 2
\end{pmatrix}
$$
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0& | & 3 \\
{\color{red}0}& 1 & 4 & | & -1 \\
{\color{red} 0}& {\color{red}0}& -2 & | & 1
\end{pmatrix}
$$
$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3& | & 7 \\
0 & 4 & 5 & | & -6 \\
0 & 0 & 0 & | & 1\\
\end{pmatrix}\\
0x+0y+0z\neq1
$$
$$
\begin{pmatrix}
2 & 2 & 2& | & 6 \\
0 & -1 & -3 & | & -4 \\
0 & 0 & 0 & | & 0\\
\end{pmatrix}\\
0=0 \surd (\text{w}) \\
\mathbb{L}{(2t-1:4-3t;t)|t\in \mathbb{R} }
$$
Aufstellen Einer Funktionsgleuchung $$
\frac{x^2-x-12}{x-4} \qquad
\mathbb{D=R} \backslash {4}
$$
$$
x^4+x^2-x-2\quad = \quad x^4+{\color{red}x^3}+x^2-x-2
$$
Es wird immer nach dem Prinzip gearbeitet:
(${\color{red}\text{Red}}$ ) Teiler $x$ mit dem x mit dem höchsten exponenten dividieren und ans ergebnis anhängen
(${\color{blue}\text{Blue}}$ ) ergebnis zurück multiplizieren
Wiederholen bis es sich auflöst ist oder Nicht mehr Möglich
$$
\begin{aligned}
(&{\color{red}x^2} &- &x &- &12) \div {\color{blue}(}{\color{red}x}-4{\color{blue})} = {\color{blue}(}{\color{red}x}{\color{blue})}+3 \\
-(&{\color{blue}x^2} &{\color{blue}-} &{\color{blue}4x}) \\
\hline
& &-&3x &- &12 \\
& &-&(3x &- &12) \\
\hline
& & & & &0 \\
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
(&2x^2 &+ &0x &+ &3) \div (x+1) = 2x-2+\frac{5}{(x+1)} \\
-(&2x^2 &+ &2x) \\
\hline
& &-&2x &- &3 \\
& &-&(-2x &- &2) \\
\hline
& & & & &5 \\
\end{aligned}
$$
NullStellenbestimmen Von Potenzfunktionen
Nullstelle Raten (1,-1,2,-2,3,-3,...)
LinearFaktor bestimmen $(x-a)$ $a$ =nullstelle
division durch $(x-a)$
Schritt 1 bis 3 wiederholen bis man eine quadratische gleichung erölt
quadratische gleichung faktorisieren
implizite Form hinschreiben
Exponential- und Logaritmusfunktion Funktionen $$
a^n=C
$$
PotenzRechung
Wurtzel Rechnung
Logaritmus Rechnung
$a-\text{Basis}$ $\surd$ $a=\sqrt[n]{c}$ $a-\text{ Wurzel wert}$ $\surd$ $a-\text{Basis}$
$n-\text{Exponent}$ $\surd$ $\surd$ $n-\text{wurzel exponent}$ $n=\log_a(b)$ $n-\text{Logarytmuswert}$
$c-Potenzwert$ $c=a^n$ $\surd$ $c -\text{radikant}$ $\surd$ $c-\text{Numerus}$
$$
\begin{align*}
4^2&=16\\
\\
x^2&=16 \qquad|\sqrt{}\\
x&= \pm4\\
\\
4^x&=16\\
\log_4(16)&=2
\end{align*}
$$
$$
f(x) \mapsto \text{log}_b(x), \qquad x \in \mathbb{D} \subseteq \mathbb{R}^+ \text{mit b} > 0 \text{ und } b \neq 1
$$
$$
f(x) \mapsto b^x, \qquad x \in \mathbb{D} \subseteq \mathbb{R}^+ \text{mit b} > 0 \text{ und } b \neq 1
$$
$$
e= \lim\limits_{n \to \infty}\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n
$$
$$
x= \text{log}_a(y)
$$
Häufige nutzung Mit Basis 10
$$
\text{log}_{10}(y)= \text{lg} (y) = \text{log}(y)
$$
Log zur basis $e$
$$
\text{log}_e(y) = \text{In} (Y)
$$
Aelter Taschenrechner mit anderer basis rechnen
$$
\text{log}_a(x)= \frac{\text{log}_b(x)}{\text{log}_b(a)}
$$
$$
\text{log}_a(u*v) = \text{log}_a(u)+\text{log}_a(v)
$$
$$
\text{log}_a(\frac{u}{v})=\text{log}_a(u)-\text{log}_a(v)
$$
$$
\text{log}_a(u^n)=n*\text{log}_a(u)
$$
$$
\text{log}_a(\sqrt[m]{u})= \frac{1}{m} * log_a(u)
$$
$$
f(x) =\sin(x)
$$
xy-20-15-10-505101520-1-0.500.51
unbestimmt divergieren
Grenzwert liegt in $[1;-1]$ -> Kein gibt Grenzwert
$$
f(x)=3x^3+2x^2+x+2
$$
xy-1.5-1-0.500.511.5-5051015
## Grenzwerte Gegen Unendlich
Bestimmt divergieren $ +\infty \text{ bzw. } -\infty$
$$
g=\lim\limits_{n \to \pm \infty}
$$
$$
\begin{aligned}
1)&&
\lim\limits_{n \to \pm \infty}[f_1(x)\pm f_2(x)] &=&
\lim\limits_{n \to \pm \infty}f_1(x) \pm \lim\limits_{n \to \pm \infty}f_2 (x) &=&
g_1+g2
\
\hline
2)&&
\lim\limits {n \to \pm \infty}[f_1(x)f_2(x)] &=&
\lim\limits_{n \to \pm \infty}f_1(x) \lim\limits_{n \to \pm \infty}f_2(x)&=&
g_1 g_2&
\
\hline
3)&&
\lim\limits_{n \to \pm \infty}\frac{f_1(x)}{f_2(x)} &=&
\frac{\lim\limits_{n \to \pm \infty}f_1(x)}{\lim\limits_{n \to \pm \infty}f_2(x)} &=&
\frac{g_1}{g_2}&
\iff g_2 \neq 0&\
\hline
4)&&
\lim\limits_{n \to \pm \infty}[c f(x)] &=&
c*\lim\limits_{n \to \pm \infty}f(x) &=&
c+g &
c \in \mathbb{R}\
\end{aligned}
$$
Für Negative werte gilt das gleiche
gebrochen rationale funktionen immer kürzen!
$$
f(x)=\frac{x^2-4}{x-2} \quad D=\mathbb{R}\backslash{2}
$$
<iframe src="
https://www.geogebra.org/calculator/f7tgeqg5?embed " width="90%" height="600" allowfullscreen style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>
$$
\text{Vermutung:}\\
\lim\limits_{x \to 2}f(x)=4
$$
$$
f(x)=\frac{\overbrace{x^2-{4=2^2}}^{\text{3. Binom}}}{x-2} =\frac{(x+2)*(x-2)}{(x-2)}=(x+2)\\
-\\
\lim\limits_{x \to 2}(x+2)=\lim\limits_{x \to 2}(x)+\lim\limits_{x \to 2}(2)=2+2=4
$$
Abschnitsweise Definierte funktion $$
\begin{align*}
&\lim\limits_{x \to x_0}f(x)&=\lim\limits_{x \to x_0}f(x)&=g\\
&x \to x_0 &x \to x_0&\\
&x \to x_0 &x \to x_0&
\end{align*}
$$
$$
g(x) =
\begin{cases}
-x+1,5 & \text{für } x < 1 \\
2x-1,5& \text{für } x \geq 1
\end{cases}
$$
$$
\begin{align*}
&\lim\limits_{x \to x_0}f(-x+1,5)&=\lim\limits_{x \to x_0}f(-x+1,5)&=-1+1,5=0,5\\
&x \to 1 &x \to 1^-&\\
&x < 1 & &
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*}
&\lim\limits_{x \to x_0}f(-x+1,5)&=\lim\limits_{x \to x_0}f(-x+1,5)&=2-1,5=0,5\\
&x \to 1 &x \to 1^-&\\
&x > 1 & &
\end{align*}
$$
Gernzwerte für gebrochen Rationale Funktionen $$
\frac{a_nx^n+...a_0}{b_mx^m+...+b_0}
$$
$$
a_n \neq 0 \text{ und } b_m \neq 0
$$
$$
n<m
$$
bsp:
$$
\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^3+3}{x^3}=
\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^21+\frac{3}{x^2}}{x^2 x} =
\lim\limits_{x \to \infty} \frac{1+\frac{3}{x^2}}{x} =
\frac{1+0}{\infty}=0
$$
$$
\lim\limits_{x \to \infty}f(x)=\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=0
$$
$$
A_1:y=0
$$
Waagerechte Asymptote
$$
n=m
$$
$$
\lim\limits_{x \to \infty}\frac{1x^2}{1x^2+x-1} =
\frac{1}{1}=1
$$
$$
\lim\limits_{x \to \infty}f(x)=\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=\frac{a_n}{b_m}
$$
$$
A_2 : y=\frac{a_n}{b_m}
$$
Waagerechte Asymptote
Polynom division Zur Ermottlung der Schrägen Aysmptoten
$$
n=m+1
$$
$$
\lim\limits_{x \to \infty}\frac{x^3+1}{x^2+1} =
\lim\limits_{x \to \infty}(x-\frac{x+1}{x^2+1})= \infty
$$
$$
P.D. = (x^3+1):(x^2+1)=x-\frac{x+1}{x^2+1}
$$
$$
\lim\limits_{x \to \infty}f(x)=\infty \qquad \lim\limits_{x \to -\infty}=-\infty
$$
Grenzwert liegt im unendlichbestmmt (divergent)
Polynom division Zur Ermottlung der Schrägen Aysmptoten
$$
n>m
$$
$$
\lim\limits_{x \to \infty}\frac{x^3+1}{x}=\lim\limits_{x \to \infty}x^2+\frac{1}{x}=\infty
$$
$$
\lim\limits_{x \to \infty}f(x)=\infty \qquad \lim\limits_{x \to -\infty}=-\infty
$$
Grenzwert liegt im unendlichbestmmt (divergent)
$$
\frac{x^3-20x^2+4}{30x^2+60x}
$$
xy-20-18-16-14-12-10-8-6-4-202468101214161820-10-8-6-4-20246810
ende
$$
3>2 =n+1
\begin{cases}
& \text{Zaelergrad}(z):3=n\\
& \text{Nennergrad}(N):2=m
\end{cases}
$$
=>Schiefe asymptote
=> Polynom division
$$
P.M. (x^3-20x^2+4):(30x^2+60)=\underbrace{\frac{1}{30}x-\frac{22}{30}}_{Schiefe_Asymptote}+\frac{44x+4}{30x^2+60x}\\
\\
A_1:h(x)=\frac{1}{30}x-\frac{22}{30}
$$
$$
\begin{align*}
(N):30x^2+60x&=0\\
x_1=0}x+(30x+60)&=0\\
30x+60&=0 \qquad|-60\\
30x&=-60 \qquad|/30\\
x_2&=-2\\
&\\
\to \mathbb{D}= \mathbb{R}{-2;0}
\end{align*}
$$
Grenzwert Überprüfung
Immer Ein bisschen weniger und ein Bisschen mehr einseten um herraus zufinden ob unendlich positiv oder negaitv ist
bsp.
Für Rechts Und Links -> "-" In richtug Negativ Und "+" in richtung Positv
$$
-2^- = -2,01\\
-2^+ = -1,99
$$
Jetzt Einfach Einsetzen
$$
\begin{align*}
\lim\limits_{x \to -2^-}(\frac{x^3-20x^2+4}{30x^2+60x})&=\frac{-8-80+4}{120-120}=\frac{-84}{0^{\color{red}+}} =-\infty\\
&\color{red}{30*(-2,01)^2+60*(-2,01)=+0,603}
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*}
\lim\limits_{x \to -2^+}(\frac{x^3-20x^2+4}{30x^2+60x})&=\frac{-8-80+4}{120-120}=\frac{-84}{0^{\color{red}-}}=+\infty\\
&\color{red}{30*(-1,99)^2+60*(-1,99)=-0,597}
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*}
\lim\limits_{x \to 0^-}(\frac{x^3-20x^2+4}{30x^2+60x})&=\frac{4}{0^{\color{red}+}}=+\infty\\
&\color{red}{30*(-2,01)^2+60*(-2,01)=+0,603}
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*}
\lim\limits_{x \to -0^+}(\frac{x^3-20x^2+4}{30x^2+60x})&=\frac{4}{0^{\color{red}-}}=-\infty\\
&\color{red}{30*(-1,99)^2+60*(-1,99)=-0,597}
\end{align*}
$$
$$
\text{Polstellen}
\begin{cases}
&A_2:x=-2\\
& A_3:x=0
\end{cases}
$$
Die sprungstelle/Durchzeichnen ohne stift abzusetzen eine funktion f heißt an der stelle $X_0C\mathbb{D} $ stetig,
Fallst der grenzwert für $X -> X_0$ existiert (links=rechts) und mit dem funktions wert $f(X_o)$ überseinstimmt
$$
\lim\limits_{x \to X_0^-}=\lim\limits_{x \to X_0^+}=f(X_0)
$$
-> Lokale stetigkeit ist ^= stetigkeit an der stelle $X_0$
-> Globale stetigkeit: eine Rationale Funktion (ganz rationale funktion in $ \mathbb{R} $ oder gebrochenrationale funktion in $\mathbb{D}$ )
ist an jeder stelle ihres Definitions breichs stetig
-> Unstetigkeits stellen ihres treten hauptsächlich anden naht stellen abschnitsweiser definierter funktion auf
$$
\text{Ganz rational}\\
V \\
f(x)=x^4+3x^2+x+5\\
--- \\
\text{Gebrochen Rational}\\
V\\
g(x)=\frac{x^2+x}{5x}\\
---\\
\text{Abschnitsweiße}\\
V\\
f(x) \begin{cases}
& f(x)_1\\
& f(x)_2\\
\end{cases}
$$
$$
f(x) = \frac{1}{x^2} \qquad = stetig
$$
$$
f(x) = \begin{cases}
& \frac{x^2-1}{x+1}; x\in \mathbb{R}\backslash{-1}\\
& 1; x=-1\\
\end{cases} \qquad = nicht stetig
$$
$$
f(x) = \begin{cases}
& 5x^2; 0 \leq x \leq 2\\
& 20x-20; 2 < x \leq 5 \\
&-2x^2+40x-70; 5 < x \leq 10
\end{cases}
$$
$x_0 = 5$
$$
\lim\limits_{x \to 5^-} V(X)^- = 80
$$
$$
\lim\limits_{x \to 5^+} V(X)^+ = 80
$$
$$
V(X) = V(5) =80
$$
80 =80 = 80 = STETIG
ende
<style>
svg {
background: white;
border: 1px dotted #3983ab;
width: 95%;
height: 400px;
padding: 0;
position: relative;
}
.axis {
stroke: #999;
marker-end: url(#markerArrow);
}
text {
font-family: verdana;
font-size: 12px;
}
#graph-label {
font-family: "Open Sans", sans;
font-size: 2em;
font-weight: bold;
text-shadow: 0px 0px 1px black;
}
#y-label {
transform: rotate(-90deg);
transform-origin: 363px 38px;
}
#z-label {
transform: rotate(-45deg);
transform-origin: 363px 38px;
}
label {
cursor: pointer;
}
input[name="a"],
input[name="c"] {
width: 4em;
}
fieldset,
legend {
background: white;
border: 1px solid black;
border-radius: 0.2em;
}
legend {
padding: 0.2em 1em;
}
fieldset p {
text-align: center;
}
</style>