Mathe 2

Mathe 2
Tests

Stetigkeit

Sprungstelle / Durchziehen ohne stift abzusetzen

eine funktion $f$ heißt an der stelle $x_0 \in \mathbb{D}$ stetig, falls der Grenzwert für $x \to x_0 $ existiert (Links = Rechts) und mit dem Funktionswert $f(x_0)$ übereinstimmt

$$ \boxed{ \lim\limits_{x \to x_0^+}= \lim\limits_{x \to x_0^-}= f(x_0) } $$

Lokale Stetigkeit $\widehat{=}$ Stetigkeit an der stelle $x_0$

Globale Stetigkeit: Einen Rationale Funktion (ganzrationale funktionen in $\mathbb{R}$ oder gebrochen Rationale Funktion in $\mathbb{D}$) ist an jeder stelle ihres Definitions Breiche Stetig

Unstetigkeitstellen treten hauptzächlich an den nahtstelen abschnitsweiser definierten funktionen auf

Differenzialrechnung

Geschwindigkeit von anfang bis ende $\to$ steigung

$$ m=\frac{\triangle y}{\triangle x} $$

$$ Geschwindigkeit = \frac{Strecke}{Zeit}= V\frac{s}{t} $$

$$ \frac{7,7}{10min}*60min/h \approx 46,2 \text{ Km/h} $$

$V_{max}\approx$ 78 Km/h bei $t=6$ min $V_{min}\approx$ 18 Km/h bei $t=3.1$min

Sekanten- und Tangentensteigungen

$$\tan a =m_t \ \tan a = \frac{G}{A}$$

$$m_n=-\frac{1}{m_t}\text{,wenn }m_t \not ={0}$$

negativer Kehrwert der Tangentensteigung

$$\perp :m_n+m_t =-1$$

Differenzierbarkeit/Knickestelle

Funktion muss an der zu untersuchenden stelle $x_0$ stetig sein

Ist die steigung links gleicher der steigung rechts, dann hat diese funktion an der stelle $x_0$ keinen knick

Die Funktion ist an der stelle $x_0$ Differenzierbar

$$\boxed{\lim\limits_{x \to x_0}f'(x)=\lim\limits_{x \to x_0}f'(x)}$$

$$f(x)=\begin{cases}(x+1)^2-1& \text{für } x \leq 0 \2x& \text{für } x > 0\end{cases}$$

$$g(x)=\begin{cases}x(x+3)& \text{für } x \leq 0 \2x& \text{für } x > 0\end{cases}$$

$$ \lim\limits_{x\to0^+} \bigg(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\bigg)= \lim\limits_{x\to0^+} \bigg(\frac{2x-2*0}{x-0}\bigg)= \lim\limits_{x\to0^+} \bigg(\frac{2 \textcolor{red}{x}}{\textcolor{red}{x}}\bigg)=2 $$

$$ \lim\limits_{x\to0^-} \bigg(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\bigg)= \lim\limits_{x\to0^-} \bigg(\frac{(x+1)^2-1-[(0+1)^2-1]}{x-0}\bigg)= \lim\limits_{x\to0^-} \bigg(\frac{2^2+2x\textcolor{red}{+1-1}}{x-0}\bigg)= \lim\limits_{x\to0^-}\bigg(\frac{\textcolor{red}{x}(x+2)}{\textcolor{red}{x}} \bigg)=2 $$

$$ \lim\limits_{x\to0^-} \bigg(\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}\bigg)= \lim\limits_{x\to0^-} \bigg(\frac{\textcolor{red}{x}(x+3)-0}{\textcolor{red}{x}-0}\bigg)=3 $$

$f(x)$ ist differenzierbar $g(x)$ ist nicht differenzierbar

Ableitungsregeln

Potenz

$$ f(x)=x^m \qquad m \in \mathbb{Q}\ {0} $$

$$ \bigg(f'(x)=mx^{m-1}\bigg)=\bigg( \frac{d}{dx}(x^r)=(rx^{r-1})\bigg) $$

$$ \begin{align*} f(x)&=x^3\\ f'(x)&=3x^2 \end{align*} $$

$$ \begin{align*} f(x)&=\frac{1}{x^7}=x^{-7}\\ f'(x)&=-7x^{-7-1}=-7x^{-8}\\ f'(x)&=-\frac{7}{x^8} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} f(x)&=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\ f'(x)&=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\ f'(x)&=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}} \end{align} $$

Faktor

$$ g(x)=a*f(x)\qquad a \in \mathbb{R} $$

$$ \bigg(g'(x)=af'(x)\bigg)=\bigg( f'(x)=cu'(x)\bigg) $$

$$ f(x)=5x^3=5*3x^2=15x^2 $$

$$ f(s)=-2x^{10}=-2*10x^9=-20x^9 $$

Konstantenregel

$$ f(x)=c \text{ mit x,c } \in \mathbb{R} \text{ gilt: } f(x)=0 $$

$$ f(x)=3\f'(x)=0 $$

Summenregel

Sind zwei funktionen $u$ und $v$ differenzierbar auf einem infervall $D$, so ist auch die SummenFunktion $f=u+v$ auf $D$ Differenzierbar und es gilt für $x \in D$: $$ f(x)=u(x)+v(x) \Rightarrow f'(x)=u'(x)+v'(x) $$

$$ \begin{align*} f(x)&=x^2+x^3\\ f'(x)&=2x^1+3x^2=2x+3x^2 \end{align*} $$

$$ \begin{align*} f(x)&=x^7+10\\ f'(x)&=7x^6+10 = 7x^6 \end{align*} $$

Produkt Regel

$$ f(x)=u(x)+v(x)=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x) $$

$$ f(x)=x^5+x^3 $$

$$ \begin{align*} u(x)&=x^5 &\qquad u'(s)&=5x^4\\ v(x)&=x^3 &\qquad v'(x)&=5x^2\\ \end{align*} $$

$$ \begin{align*} f'(x)&=5x^4x^3+x^53x^2\ &=5x^7+3x^7\ &=8x^7 \end{align*} $$

Quotientenregel

Sind zwei funktionen $u$ und $v$ differenzierbar und gilt $v(x)\neq 0$, so ist auch die funktione $f$ mit $f(x)=\frac{v(x)}{v(x)}$ differenzierbar

$$ f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}=\frac{u'(x)*v(x)-u(x)*v'(x)}{[v(x)]^2} $$

KehrwertRegel

Ist die funktion $u(x)=1$ und die funktion $v$ differenzierbar und gilt $v(x)\neq0$, so ist auch $f(x)=\frac{1}{v(x)}$

$$ f(x)=\frac{1}{v(x)}\Rightarrow f'(x)=\frac{-v'(x)}{(v(x))^2} $$

$$ f(x)=\frac{4x-2}{x+3} \qquad\mathbb{D=R \backslash {3}} $$

$$ \begin{align*} f'(x)&=\frac{4*(x+3)-(4x-2)\textcolor{grey}{1}}{(x+3)^2}\ &=\frac{\textcolor{red}{4x}+12\textcolor{red}{-4x}+2}{(x+3)^2}\ &=\frac{14}{(x+3)^2} \end{align} $$

Ketten Regel

$$ k(x)=f[g(x)] $$

$$ k'(x)=(f[g(x)])=f'[g(x)]*g'(x) $$

--

$$ f(x)=u(v(x)) $$

$$ f'(x)=u'(v(x))*v'(x) $$

Äusere mal innere ableitung

$$ k(x)=\underbrace{ (\overbrace{3x^4+2x}^{g(x)})^2}_{f(g(x))} $$

$$ \begin{align*} f(x)&=(3x^4+2x)^2&\qquad f'(x)&= 2(3x^4+2x)\\ g(x)&=3x^4+2x &\qquad g'(s)&=12x^3+2 \\ \end{align*} $$

$$ \begin{align*} k'(x)&=2*(3x^4+2x)(12x^3+2) \ &=(6x^4+4x)(12x^3+2) \ &=72x^7+12x^4+48x^4+8x \ &=72x^7+60x^4+8x \end{align*} $$

--

$$ k(x)=\sqrt{3x^4+2x}=(3x^4+2x)^{\frac{1}{2}} $$

$$ \begin{align*} k'(x)&=\frac{1}{2}(3x^4+2x)(12x^3+2) \ &=\frac{12x^3+2}{2*(3x^4+2x)^{\frac{1}{2}}} \ &=\frac{\textcolor{red}{2}(6x^3+1)}{\textcolor{red}{2}\sqrt{3x^4+2x}} \ &=\frac{6x^3+1}{\sqrt{3x^4+2x}} \end{align*} $$

Ableitungen Physik

Zeit-Weg-Gesetz: $s=s(t)$ Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz: $v=v(t)=\dot{s}(t)$ Zeit-Beschleunigungs-Gesetz: $a=a(t)=\dot{v}(t)= \ddot{s}(s)$

Kurven Diskussion

set terminal svg
set title "Simple Plots" font ",20"
set key left box
set samples 500
set xtics axis
set ytics axis
set style data points
set output
set xzeroaxis ls 7
set yzeroaxis ls 7
set terminal win
f(x)=0.08333*x**3+0.125*x**2-1.5*x+2
f1(x)=0.25*x**2+0.25*x-1.5
f2(x)=0.5*x+0.25
set arrow from -3, graph 0 to -3,graph 1 nohead
set arrow from 2, graph 0 to 2,graph 1 nohead
set arrow from -0.5, graph 0 to -0.5,graph 1 nohead
plot [-6:6][-2:6]  f(x),f1(x),f2(x)

Definitionsmenge

wenn nicht angegeben grundemenge ist immer ganz $\mathbb{R}$#

Für $x$ einsetz bares $\mathbb{D}$ |alles was man einsetzen kann, bei ganzratzionalen funktionen nur $\mathbb{R}$ bei gebrochenen $\mathbb{R} \backslash {...}$

für $y$ einsetz bares $\mathbb{W}$ |alles was herrauskommen kann, oft $\mathbb{R}$

Nullstellen

X-Achse

Nullstellen der grundlegenden Funktion Berechnen

Schlagwort: Abzisse -> X-Achse

$f(x)=0$

wenn man kein x ausklammern kann und nicht auf $x^2$ kommt, Polynmo division mit erratener nullstelle (Taschenrechner rät gut), $(x-{geratenenNST})$

bsp.

$$ f(x)=x^4-8x^3+18x^2 \qquad x\in\mathbb{R}\ f(x)=0\ 0=x^2(x^2-8x-18)=0\ \rightarrow x_1,x_2=0\ 0=x^2-8x+18\ x_3,x_4=\frac{+8\plusmn \sqrt{(-8)^2-4118} }{2*1}\ x_3,x_4=\frac{+8\plusmn \sqrt{-8} }{2}= ↯ \ \implies Nst(0|0) \quad Doppelt $$

Y-Achsen Abschnitt

Schlagowrt: Ordinate -> Y-Achse

$$ f(0)=0^4-80^3+180=0\ \implies S_y(0|0) $$

Symmetrie

Beachten das $-x^4 = -x*-x*-x*-x = + ;\qquad -x^3 = -x*-x*-x=-$

achsen sysmetrie

$$ f(x)=f(-x) $$

bsp.

$$ f(x)=x^4-8x^3+18x^2 \qquad x\in\mathbb{R}\\ f(-x)=(-x)^4-8(-x)^3+18(-x)^2\\ f(-x)\neq x^4+8x^3+18x^2\\ \implies\text{Nicht Achsen Symetrisch} $$

Punkt sysmetrie

$$ \begin{align*} f(-x)&=-f(x) \qquad |(-1)\-f(-x)&=f(x) \end{align} $$ bsp.w $$ f(x)=x^4-8x^3+18x^2 \qquad x\in\mathbb{R}\ -f(-x)=-((x)^4+8(x)^3+18(-x)^2)\ -f(-x)\neq -x^4-8x^3-18x^2\ \implies\text{Nicht Punkt Symetrisch} $$

Verhalten Für $f$ für $|x|\to\infty$

Grenzwerte Nur die Höchste Potentz ist relevant

bsp. $\frac{1}{12}x^3$

$x^3$ ist ungerade

$$ \begin{align*} \rightarrow\quad&x\to-\infty&:&f(x)\to- \infty\\ &x\to+\infty&:&f(x)\to+\infty \end{align*} $$

Koeffizient $\frac{1}{12}$ ist positiv

Lim für $\lim\limits_{x\to x_0^+}$ und $\lim\limits_{x\to x_0^-}$

ergibnt $\infty$ und $-\infty$

stetigkeit

Eine Ungebrochene funktionen ist Stetig

$$\lim\limits_{x\to x_0^-} f(x)=\lim\limits_{x\to x_0^+} f(x)=f(x)$$

Wenn der Nenner bei einer gebrochen rationalen funktion mit einem Faktor im zähler gekürzt werden kann dann ist die Definitions lücke behebbar

Es ist nur die höchste potenz relevant

bsp.

Positive seite

$$ \lim_{x\rightarrow \infty}(x^4-8x^3+18x^2)=\lim_{x\rightarrow \infty}x^4(1-\frac{8}{x}+\frac{18}{x^2})=\infty(1-0^++0^+)=0*\infty=+\infty $$

negative seite

$$ \lim_{x\rightarrow -\infty}(x^4-8x^3+18x^2)=\lim_{x\rightarrow -\infty}x^4(1-\frac{8}{x}+\frac{18}{x^2})=\infty(1-0+0)=0*\infty=+\infty $$

Die funktion verläuft auf beiden seiten ins positive unendlich

Extrempunkte

Die Nullstelle der 1. Ableitung sind Mögliche Extrema, müssen aber nicht

HOP / TIP

$$ f'(x)=0 $$

Vorzeichen wechsel von $f'(x)$ ->Extrempunkt

Vorzeichen Bleibt Gleich ->Terassenpunkt (TEP)

HOP oder Top?

VZW von + zu - $f'$ -> HOP$(x_1|f(x_1))$

VZW von - zu + $f'$ -> TIP$(x_1|f(x_1))$

$$ f'(x)=0\\ \frac{1}{4}x^2+\frac{1}{4}x+\frac{3}{2}=0 $$ $$lösungsformel\x_1=-3\x_2=2$$

Vorzeichen Tabelle


x	--	-3	--	2	--
$f'(x)$	+	0	-	0	+
steigung	$\nearrow$	--	$\searrow$	--	$\nearrow$
--	$\big\backslash$	VZ	$\bigwedge$	VZ	$\big/$
--	--	HOP	--	TIP	--

um die verlaufs form bestimmen zu können um die zahlen ein ne minimal großere oder kleiner zahl wähne und einsetzen vorzeichen bestimmt dann den verlauf

x f'(x) + - + 2 0 -3 0

Monotonie / Steigunsverhalten

VZ tabelle Von Extrempunkt weiter nutzbar

$f'(x) < 0$ -> Streng Monoton Fallend $f'(x) > 0$ -> Streng Monoton steigend

intervalle

Streng monton steigend/Fallend ist wenn bis zum steigungs wechsel im verlauf keine unterbrechung ist

monoton steigend/Fallend ist wenn der verlauf durch z.b. einen Terrasen punkt

$$ \begin{align*} f(x)\text{ ist im } &I_1 =]-\infty;-3[ & \text{streng monoton steigend (sms)} \\ &I_2 = ]-3;2[& \text{streng monoton fallend (smf)} \\ &I_3 =]2;\infty[& \text{streng monoton steigend (sms)}\\ \end{align*} $$

Wendepunkte

WEP

Wenn $f''(x)$ and der stelle $x_1$ einen VZ wechsel hat und ungrade vielfachheit -> WEP

Doppelte NST ->Terrassenpunkt ohne Krümmungs Änderung

mit VZTabelle

$$f''(x)=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}$$

$$0=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\x_3=-\frac{1}{2}$$


x	/	$-\frac{1}{2}$	/
f''(x)	-	0	+
/	/	VZ	/
/	/	WEP	/

WEP$(-\frac{1}{2}|f(-\frac{1}{2}))$

x f'(x) - + -0,5 0

Krümmungsverhalten

VZ tabelle Von Wendepunkt weiter nutzbar

$f''(x)<0 \to$ ist rechts gekrümmt (steigung nimmt ab) $f''(x)>0 \to$ ist links gekrümmt (steigung nimmt zu)

Die richung stellt man sich vor indem man von oben drauf schaut auf den verlauf

$$ \begin{align*} f(x)\text{ ist } &I_1 =]-\infty &;-\frac{1}{2}[ & \text{ rechtsgekümmt} \\ &I_2 =]\frac{1}{2}&;\infty[& \text{ Linksgekrümmt}\\ \end{align*} $$

Unterschied WeP / TeP

WeP

$f''(x_0) =0$ und $f(x)$ wechselt an der stellte das vorzeichen

alt.

$f''(x_0)=0 \land f''(x)\neq0$

TeP

$f''(x_0) =0$ und $f(x_0)=0$ Und $f''(X)$ wechselt an der stelle das vorzeichen

Wird einmal Flach also die steigung 0

alt.

$f''(x_0)=0 \land f'''(x_0)\neq0\land f'(x_0)=0$

Wendetangente und Wendenormale

$$ f(x)=-\frac{1}{6}x^4+x^2-\frac{4}{3}x+\frac{1}{2} $$

<title>Gnuplot</title>Produced by GNUPLOT 5.4 patchlevel 2 <title>f(x)</title> f(x) <title>t(x)</title> t(x) <title>n(x)</title> n(x) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Wendetankgente

grundform

$ t(x)=m_t*x+S_{yt} $

Wep bestimmen

$$ \text{Wep }(-1|\frac{8}{3}) $$

$$ x_0 =-1 $$

$t_m$ bestimmen

$$ m_t=f'(x_0)=f'(-1)=-\frac{8}{3} $$

$t(x_0)$

$$ t(x_0)=f(x_0)=f(-1)=\frac{8}{3} \widehat{=} \text{ y-wert des WEPs} $$

y-Achsenabschnitt | $S_{yt}$ bestimmen

$$ \begin{align*} S_{yt} &= t(x_0) - m_t * x_0 \ &= \frac{8}{3}-(-\frac{8}{3})(-1) &=0 \end{align} $$

Gleichung aufstellen

$$ t(x) = -\frac{8}{3}x $$

Wende Normale

grundform

$$ n(x) = m_nxS_{Yn}\ t(x) \perp n(x) $$

$m_n$ Bestimmen

$$ \begin{align*} m_nm_t&=-1 \ m_n&=-\frac{1}{m_t} \ m_n&=-\frac{1}{-\frac{3}{8}}\ &=\frac{3}{8} \end{align} $$

$n(x_0)$ Bestimmen

$$ \begin{align*} \widehat{=}& \text{Y-wert des WeP} \\ n(x_0) =& f(x_0) = f(-1)=\frac{8}{3} \end{align*} $$

$S_{Yn}$ Bestimmen

$$ \begin{align*} S_{Yn} &=n(x_0)-m_nY_0 \ &=\frac{8}{3}- \frac{3}{8}(-1)\ &=\frac{73}{24} \approx 3,04 \end{align*} $$

Wendenormale Aufstellen

$$ n(x)=\frac{3}{8}x+\frac{73}{24} $$

Tests

$$ \frac{x^3-20x^2+4}{30x^2+60x} $$

set terminal svg
set title "Simple Plots" font ",20"
set key left box
set samples 500
set grid nopolar
set grid xtics ytics 
set grid front   lt 0 linecolor 0 linewidth 0.500,  lt 0 linecolor 0 linewidth 0.500
set style data points
f(x) =(x**(3)-20*x**(2)+4)/(30*x**(2)+60*x) #x**3-20*x
plot [-4:4][-5:5]  f(x)

<title>Gnuplot</title>Produced by GNUPLOT 5.4 patchlevel 2 <title>f(x)</title> f(x) -4 -2 0 2 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

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Stetigkeit

Differenzialrechnung

Sekanten- und Tangentensteigungen

Differenzierbarkeit/Knickestelle

Ableitungsregeln

Potenz

Faktor

Konstantenregel

Summenregel

Produkt Regel

Quotientenregel

KehrwertRegel

Ketten Regel

Ableitungen Physik

Kurven Diskussion

Definitionsmenge

Nullstellen

X-Achse

Y-Achsen Abschnitt

Symmetrie

achsen sysmetrie

Punkt sysmetrie

Verhalten Für $f$ für $|x|\to\infty$

stetigkeit

Extrempunkte

Monotonie / Steigunsverhalten

Wendepunkte

Krümmungsverhalten

Unterschied WeP / TeP

WeP

TeP

Wendetangente und Wendenormale

Wendetankgente

Wende Normale

Tests