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Mathe 3

• Mathe 3
  • Steckbrief aufgaben Berechnen
    • Allgemeine Funktion
      • Symetrie
    • Bedingungen ermitteln
    • Gleichungssystem lösen
    • Funktion aufstellen
    • Beispiele
  • Extremwert aufgaben
    • Haupt Bedingung
    • Nebenbedingungen
    • Zielfunktion
    • Definitionsbereich festlegen
    • Extremwerte der Funktion bestimmen
    • Beispiele
  • Trigonometrie
  • Einheitskreis
    • Gradmaß
    • Bogenmas
    • Geodätischisches Winkelmaß
    • Ranges >>>Bogenmaß
      • umrechnung Sin
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  • sinusfunktion
    • Allgemeine
    • Streckung, Stauchung, Verschiebung
      • Amplitude
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Steckbrief aufgaben Berechnen

Allgemeine Funktion

Meist direkt angegeben oder In grad angegeben

Bsp. Grad 4 $$f(x)= ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$$

Bsp. Grad 3 $$f(x)= ax^3+bx^2+cx+d$$

bsp.

gegebene Funktion

$$f(x)= ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$$

$$D_f=[-15;15] \text{und } a \neq 0 ,b,c,d,c \in \mathbb{R}$$

Symetrie

Wenn Eine Symmetrie vorhanden ist

Symmetrisch zur Y-Achse -> Alle mit ungeraden Exponenten werden weggestrichen

Symmetrisch zum Ursprung -> alle mit Geraden Exponenten werden weggestrichen

bsp.

symetrisch zur y-achse

$$ f(x)= ax^4+bx^3+cx^2+dx+e \to f(x)= ax^4+bx^2+c $$

Bedingungen ermitteln

es bietet sich an gleich die Ableitungen der Allgemeinen formel zu bilden

alle jetzt noch übrig gebliebenen Koeffizienten geben an wie viele Bedingung benötigt werden

Diese Bedingungen sind in der aufgabenstellung angegeben und müssen nur noch entschlüsselt werden

z.B. tief-, hoch- oder wendepunkte etc.

Aus diesen kann festgelegt werden wann die Funktion oder ein Ableitung diesen einen bestimmten wert hat

Tabelle dafür

nr.	Formulierung	f(x)	f'(x)	f''(x)
1	Scheidet die x-Achse an der $x$	$f(x)=0$	--	--
2	Berührt die x-Achse an der stelle $x$	$f(x)=0$	$f'(x)=0$	--
3	Schneidet die y-Achse an der stelle $y$	$f(0)=y$	--	--
4	Geht durch den Punkt $p(x\mid y)$	$f(x)=y$	--	--
5	hat hoch-/Tiefpunkt an der stelle $x$	--	$f'(x)=0$	--
6	hat hoch-/Tiefpunkt $p(x \mid y)$	$f(x)=y$	$f'(x)=0$	--
7	hat and der stelle $x$ Steigung $m$	--	$f'(x)=m$	--
8	hat Wendepunkt an der stelle $x$	--	--	$f''(x)=0$
9	hat die größte Steigung an der stelle $x$	--	--	$f''(x)=0$
10	$p(x \mid y)$ ist ein Wendepunkt	$f(x)=y$	--	$f''(x)=0$
11	$p(x \mid y)$ ist ein Terrassenpunkt	$f(x)=y$	$f'(x)=0$	$f''(x)=0$
12	berührt den Graphen der Funktion an der stelle $x$	$f(x)=g(x)$	$f'(x)=g'(x)$	--
13	die Tangente in $p(x \mid y)$ hat die Steigung $m$	$f(x)=y$	$f'(x)=m$	--
14	die Tangente im Wendepunkt $p(x \mid y)$ hat die Steigung $m$	$f(x)=y$	$f'(x)=m$	$f''(x)=0$

wenn man mehr Bedingungen gegeben hat als Koeffizienten auszufüllen lässt man diese Bedingungen weg

bsp.

Hochpunkt bei $(0\mid10)$

$$\implies f(x)=10 \text{ und } f'(0)=0$$

Tiefpunkt bei $(-10\mid2)$

$$\implies f(-10)=2 \text{ und } f'(-10)=0$$

Gleichungssystem lösen

Die Bedingungen nutzen um die fehlenden Informationen zu berechnen

Meist LGS 3x3 oder 2x2 verfahren

bsp.

$c$

$$ f(0)=10\ \implies a0^4+b0^2+c =10 \ c=10 $$

$\text{I}$

$$ f(-10) =2 \\ \begin{align*} \implies a*(-10)^4+b*(-10)^2+10&=2 & \\ 10000a+100b+10&=2 &|-10 \\ \text{I }:10000a+100b&=-8 \end{align*} $$

$ b$

$$ f'(-10)=0 \ \begin{align*} \implies 0 &= 4a(-10)^3+2b(-10) \ 0 &=-4000a-20b &|+4000a\ 4000a&=-20b &|:(-20) \ -200a&=b& \end{align*} $$

$b \text{ in I} \to a$

$$ 10000a+100*(200a) = -8 \\ a= \frac{1}{1250} $$

$a \text{ in } b \to b$

$$ -200*(\frac{1}{1250})=b \\ -\frac{4}{25}=b $$

Funktion aufstellen

Die berechneten informationen jetzt in die formel einseten und man hat die gesuchte formel

bsp.

$$ f(x)=\frac{1}{1250}x^4-\frac{4}{25}x^2+10 $$

Beispiele

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

Graph dritten gerades besitzt ein Extrempunkt $E(4\mid0)$ schneidet die y-achse in punkt $P(0\mid3)$ und an der stelle $x_w =\frac{7}{3}$ einen Wendepunkt

grundform

$$ f(x)= ax^3+bx^2+cx+d $$

$$ f'(x)= 3ax^2+2bx+c $$

$$ f''(x)= 6ax+2b $$

bedingungen

vier gesucht eine gegeben

1. extempunkt bei $E(4 \mid0)$ $$ f(4)=0, f'(4)=0 $$

2. schneidet y-achse in punkt $p(0\mid3)$

$$ f(0)=3 $$

$$d=3$$

3. Wendepunkt an stelle $x_w =\frac{7}{3}$

$$ f''(\frac{7}{3})=0 $$

lösen

I $$ \begin{align*} f(4)&=0; &\ 0&=a(4)^3+b(4)^2+c(4)+3 &\ 0&=64a+16b+4c+3 &|-3 |(-1)\ 3&=-64a-16b-4c \end{align} $$ II $$ \begin{align*} f'(4)&=0\ 0&=3a(4)^2+2b(4)+c\ 0&=48a+8b+c &|-c\ -c&=48a+8b &| * (-1) \ c&=-48a-8b \end{align*} $$

III $$ \begin{align*} f''(\frac{7}{3})&=0 \ 0&=6a(\frac{7}{3})+2b \ 0&=14a+2b &|-2b | \backslash (-2)\ b&= -7a \end{align*} $$

II in I II' $$ \begin{align*} 3&=-64a-16b-4(-48a-8b) \ 3&=-64a-16b+192a+32b \ 3&=128a +16b \ \end{align*} $$

b in II'

$$ \begin{align*} 3&=128a +16(-7a) \\ 3&=128a -112a \\ 3&=16a \\ \frac{3}{16}&=a \\ \end{align*} $$

a in III

$$ \begin{align*} b&=-7(\frac{3}{16})\\ b&=-\frac{21}{16} \end{align*} $$

a,b in I

$$ \begin{align*} 3&=-64(\frac{3}{16})-16(\frac{21}{16})-4c \\ 3&=-12+21 -4c &|+4c|-3\\ 4c&=6&|\backslash 4 \\ c&=\frac{3}{2}\\ \end{align*} $$

$$ f(x)= \frac{3}{16}x^3-\frac{21}{16}x^2+\frac{3}{2} x+3 $$

Extremwert aufgaben

optimieren eines wertes der erreicht werden kann in abhänigkeit zu gegebeheiten

Haupt Bedingung

Die formel die in optimiert wird

stellte das da wo von die größe ermittelt werden will

z.b.

eine größt mögliche fläche innerhalb eines quadrates mit oben rechts fehlenende ecke 1 x 0,6 links nur noch 0,4 und oben nur noch 0,6

$a$ ist die lange die von der Unterseite abgezogen wird um ein neues möglichst großes rechteck zu bilden die höhe ist von 0 bis 0,6 noch frei

es sind die punkte $D(0,6|0,6)$ und $C(1,0,4)$ die die beiden ecken der fehlenden ecke markieren und $P$ der gesucht wird

als fromel ergibt sich

$$ A=a*b \\ A(a;y)=(1-a)*y \\ \\ P(1-a|y) $$

gesucht wird jetzt der größtmögliche wert für A in Abhängigkeit zu $a$ und $y$

Nebenbedingungen

$P$ liegt auf der geraden der punkte $D$ und $C$ und können somit eine formel aufstellen mit der wir $y$ auflösen können damit nur noch a als variable übrigbleibt

grundform

$$ y=m*x+t $$

steigung $m$

$$ m= \frac{\triangle y}{\triangle x} =\frac{y_C-y_D}{x_C-x_D} = \frac{0,4-0,6}{1-0,6}=-\frac{1}{2} \\ \implies y=-\frac{1}{2}x+t $$

$D$ in y einsetzen

$$ 0,6=-\frac{1}{2}0,6+t \\ t=0,9 $$

$$ g(x)=-\frac{1}{2}x+0,9 $$ btw $x$ = $a$

Zielfunktion

$g(x)$ in Hauptbedingung $$ \begin{align*} A(a) & = (1-a)(-\frac{1}{2}(1-a)+0,9)\ &=(1-a)(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}a+0,9)\ &=-0,5a^2+0,1a+0,4 \end{align} $$

Definitionsbereich festlegen

der definitions berich der bestimmenden variable hier $a$

der kleinst mögliche wert ist 0 (man zeiht von der seite nix ab) und der gröst mögliche ist 1 (da wir von der seie 1 lang ist und negativ keine seinn macht)

also

$$ \mathbb{D}[0;1] $$

Extremwerte der Funktion bestimmen

Extremwerte der Funktion bestimmen, möglicher max $a$ wert und minimal $a$ wert also nullstellen der ersten abletung bestimmen

$$ A(a)= -0,5a^2+0,1a+0,4\\ A'(a) = -a+0,1 $$

$$ \begin{align*} A'(a)&=0\\ 0&=-a+0,1 \\ a&=0,1 \in \mathbb{D} \end{align*} $$

a A'(a) + - 0,1 0

da ein Vorzeichen wechsele stat finden ist dieser Punkt das relative maximum

$$ A(0,1)=-0,5(0,1)^2+0,1(0,1)+0,4\\ A(1,1)=0,405 $$

Rand Untersuchung der Funktion $$ A(0)=-0,5(0)^2+0,1(0)+0,4\ A(0)=0,4 $$

$$ A(1)=-0,5(0,1)^2+0,1(0,1)+0,4\\ A(1)=0 $$

Relative maximum ist auch das maximale maximum

Beispiele

Trigonometrie

sin, cos ,tan

merk satz:

gaga hüner haus ag

$$ \implies \frac{G}{H}\frac{A}{H}\frac{G}{A}\frac{A}{G} $$

reinfolge: Sin, Cos , Tan, Tan2

$$ G =\text{Gegenkatete} \\ A =\text{Ankatete} \\ H =\text{Hypotenuse} $$

Sin $$ \sin(a) =\frac{a}{c} =\frac{\text{Gegenkathete von }a}{\text{Hypotenuse}} $$ Cos $$ \cos(a)= \frac{b}{c}=\frac{\text{Ankathete von }a}{\text{Hypotenuse}} $$ tan $$ tan(a) = \frac{\sin(a)}{\cos(a)}=\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}=\frac{a}{\not{c}}*\frac{\not{c}}{b}=\frac{a}{b}\ \tan(a)= \frac{a}{b}=\frac{\text{Gegenkathete von }a}{\text{Ankathete}} $$

Einheitskreis

Legende

$$ Teile nötig für vollwinkel \\ EinheitsnameName\\ Einheitszeichen \\ Tashenrechenr einstellung\\ Umrechnung $$

Gradmaß

$$ 360 \\ Grad \\ ° \\ D \to Deg \\ Deg = x(rad)*\frac{180°}{\pi} $$

Bogenmas

$$ 2\pi \\ Radiant \\ rad R \to Rad \\ Rad = x(°)*\frac{\pi}{180°} \\ $$

Geodätischisches Winkelmaß

$$ 400 \\ Gon \\ gon \\ G \to Gra \\ gon = \frac{voll-winkel}{400}=\frac{360°}{400}=0,9 $$

Ranges >>>Bogenmaß

$$ sin(\varphi) = 1, \varphi \in [0;\pi] \\ \text{Definitions bereich gibt den oberen halbkreiß des kreises an} $$

also muss das ergbnis in diesesm leigen wenn nicht dann muss der gegen wert ermittelt werden

$$ \varphi = 90°*\frac{\pi}{180°}=\frac{1}{2}\pi $$

Ergebnis liegt im definitions Bereich

potenzielles gegen wert wäre

hier bei muss man wissen in welchen quadranten sich der errechnete wert befindet

umrechnung Sin

I 180-x | x+90

II 180-x | x-90

III x+90

IV x-90

umrechnung Cos

I 360-x | x+90

II 360-x | x+90

III 360-x | x-90

VI 360-x | x-90

umrechnung Tan

eventuelle anpassungen bei negativen zahlen nötig

I x+180

II x+180

III x-180

VI x-180

Umrechnung

$\frac{1}{2}\pi$ ist in der Oberen hälte und ein sinus also ist der wert positiv und wir ziegen unseren wert von einem ganzen kreiß ab

sin $$ \pi-\frac{1}{2}\pi = \frac{1}{2}\pi $$

tan $$ \tan(\varphi) = -\sqrt{3} =-60° \ \varphi=-60°+180°=120° $$

Sätze

für anwendung im nicht rechtwinkligem dreieck

zu beachten ist das der wingel immer mit seiner gegenüberliegenden seite in zusammenhang stehen muss

$$ \alpha \iff a \\ \beta \iff b \\ \delta \iff c $$

Sinussatz

jeweils unterm und über bruch strich

Winkel im sin zur entsprechenden seite gleichstellen

$$ \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\beta)}=\frac{a}{b} \\ \\ \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\delta)}=\frac{a}{c} \\ \\ \frac{\sin(\beta)}{\sin(\delta)}=\frac{b}{c} \\ \\ $$

Winkel im sin geteilt duch entsprechende seite mit dem gleichen einer anderen seite gleichstellen

auch umgekehrt möglich das die seite immer oben anstat von unten ist

mehrmals mögllich zum berechnen von gehlenden varablen

$$ \frac{\sin(\alpha)}{a}=\frac{\sin(\beta)}{b}=\frac{\sin(\delta)}{c}\\ \\ \frac{\sin(a)}{\alpha}=\frac{\sin(b)}{\beta}=\frac{\sin(c)}{\delta} $$

rechnung

$$ \begin{align*} &\alpha = 62°&, &a=6000 \\ &\beta = ? &, &b=4500 \\ &\delta = ? &,&c=? \end{align*} $$

$\beta$ berechnen

$$ \frac{\sin(\alpha)}{a}=\frac{\sin(\beta)}{b} \\ \frac{\sin(62°)*4500}{6000} = sin(\beta) \qquad| ^{-1}\\ 41,47=\beta $$

$\delta$ berechnen

$$ \delta=180°-a+\beta=180°-62-41,47°=76,53° $$

Kosinussatz

seite = im der wurzel die restlichen seiten im quadrat addieren minus 2 mal die restlichen seiten miteinander multipliziert mal cos dem seiten entsprechenden winkel

$$ a=\sqrt{b^2+c^2-2bc*\cos(\alpha))} \
\ b=\sqrt{a^2+c^2-2ac*\cos(\beta))} \
\ c=\sqrt{b^2+c^2-2ac*\cos(\gamma))} $$

Beispiel

$$ \begin{align*} &\alpha = 120°&, &a=6 \\ &\delta = ? &,&c=2 \\ &\beta = ? &, &b= 1,5\\ \end{align*} $$

$$ a=\sqrt{1,5^2+2^2+21,52*\cos(120)} \ a=3,04 $$

sinusfunktion

set terminal svg size 1000,500
set output "graph.svg"
set key left box
set samples 500
set grid nopolar
set grid xtics ytics 
set grid front   lt 0 linecolor 0 linewidth 0.500,  lt 0 linecolor 0 linewidth 0.500
set style data points
set encoding utf8
set xtics pi/4 
set format x "%.2Pπ \\ %.3f"   
f(x)=sin(x)
set style line 1 lt 1 lw 2 lc rgb "green"  
set style line 2 lt 1 lw 2 lc rgb "blue"
set style arrow 1 nohead ls 1
set style arrow 2 nohead ls 2            
set arrow from pi/2,0 to pi/2,1 as 1
set arrow from 0,0 to 2*pi,0 as 2 
set xzeroaxis
set yzeroaxis
plot [-pi/2:2*pi+pi/2][-2:2] f(x)

<title>Gnuplot</title>Produced by GNUPLOT 5.4 patchlevel 2 <title>f(x)</title> f(x) -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -0.50p -1.571 -0.25p -0.785 0.00p 0.000 0.25p 0.785 0.50p 1.571 0.75p 2.356 1.00p 3.142 1.25p 3.927 1.50p 4.712 1.75p 5.498 2.00p 6.283 2.25p 7.069 2.50p 7.854

Grün = Amplitude

Blau = Periode

Allgemeine

$$ f(x)=a*sin(bx+c)+d $$

$$ a = \text{Scheitelwert der Sinusfunktion (Amplitude)} \\ b= \text{Anzahl der schwingungen je 2}\pi \text{ -sekunden} \\ c= \text{Verschiebung entlang der x -achse} \\ d = \text{verschiebung entlang der y-achse} $$

Streckung, Stauchung, Verschiebung

Amplitude

$$ f(x)=a\sin(x) \\ \\ \begin{align*} a&>1:\text{Streckung} \\ 0<a&<1:\text{Stachung} \\ a&<0:\text{Spiegelung an der x-Achse} \end{align*} $$

Periode

Anzahl der schwingungen je $2\pi$-sekunden $$ f(x)=\sin(bx) \
\ \begin{align*} b&>1 :\text{Stauchung}\ 0<b&<1:\text{Dehnug} \ \end{align*} \\ \ T=\frac{2\pi}{b} $$

Phasenverschiebnung

$$ f(x)=\sin(x+c) \\ \begin{align*} c&>0:\text{nach Links}\\ c&<0:\text{nach Rechts} \end{align*} $$

symetrie

Sin

$$ \begin{align*} f(x)&=\sin(x) \\ \\ f(-x)&=-f(x) \\ \sin(-x)&=-\sin(s) \\ \text{für alle } &x \in \mathbb{R} \\ \\ (-1)\sin(a)&=\sin(-a)\\ \sin(a)&=-sin(-a) \end{align*} $$

Cos

$$ \begin{align*} f(x)&=\cos(x) \\ \\ f(-x)&=f(x) \\ \cos(-x)&=\cos(x) \\ \text{für alle } &x \in \mathbb{R}\\ \\ \cos(a)&=\cos(-a) \end{align*} $$

Tan

$$ \begin{align*} f(x)&=\tan(x) \\ \\ f(-x)&=-f(x) \\ \tan(-x)&=-\tan(x)\\ \text{für alle } &x\in \mathbb{R} \backslash \left{ (2k+1)\frac{\pi}{2} \quad k \in \mathbb{Z} \right} \\ (-1)\tan(a)&=\tan(-a) \end{align*} $$

Perioditität

für alle $k \in \mathbb{Z}$ und $x \in \mathbb{R}$

$$ \sin(x)=\sin(x+k2\pi) \\ \cos(x)=\cos(x+k2\pi) \\ \tan(x)=\tan(x+k\pi) $$

Nullstellen

Abstand immer eine halbe perioden zueinander

Die Sinusfunktion is 0 wenn das Argument gleich 0 ist also

$$ sin(0)=0;f(x)=\sin(bx+c) $$

Nullstellen Für alle

sin

$$ \begin{align*} \sin(x)&=0 \\ \sin^{-1}(0)&=x \\ \implies k*\pi&=x,k\in\mathbb{z}\\ \\ \text{NST}\\ \text{für}k=-2&;x=-2\pi \\ \text{für}k=-1&;x=-\pi \\ \text{für}k=0&;x=0 \\ \text{für}k=1&;x=\pi \\ \\ NST(k*\pi&|0) \qquad k\in \mathbb{Z} \end{align*} $$

cos

$$ \begin{align*} \cos(x)&=0 \ \cos^{-1}(0)&=0\ \implies(2k+1)\frac{\pi}{2}&=y \ \ \text{NST} \ \text{für} k=0&;x=\frac{\pi}{2} \ \text{für} k=1&;x=\frac{3}{2}\pi \ \text{für} k=2&;x=\frac{5}{2}\pi \ \text{für} k=3&;x=\frac{7}{2}\pi \ \ NST ((2k+1)\frac{\pi}{2}&|0)\qquad für k\in\mathbb{Z} \end{align*} $$

Tan

$$ \begin{align*} \tan(x)&=0\\ \tan^{-1}(0)&=0 \\ \implies k*\pi=x\\ \\ \text{NST}\\ \text{für }k =-1&;x=-\pi\\ \text{für }k =0&;x=0\\ \text{für }k =1&;x=\pi\\ \text{für }k =2&;x=2 \pi\\ \\ NST(k*\pi&|0) \qquad k=\mathbb{Z} \end{align*} $$

bsp.

$$ \begin{align*} y&=\sin(x+\frac{\pi}{4}) \\ f(x)&=0\\ x-\frac{\pi}{4}&=0 \\ x_1&=\frac{\pi}{4} \end{align*} $$

Weitere nullstellen

$$ T:Periode\\ T:\frac{2\pi}{b}\\ bsp. \\ T=\frac{2\pi}{1} =2\pi $$ Abstand der Nullstellen $$ \frac{T}{2} =\frac{2\pi}{2}=\pi \\ x=\frac{\pi}{4}+K*\pi;K \in \mathbb{Z} $$

Hochpunkte

Der Abstand der Hoch punkte beträgt eine periode

bsp.

$$ f(x)=1,5*sin(2x-\frac{2\pi}{3}) \quad ;\qquad a=1,5\quad b=2\quad c=\frac{2\pi}{3}\\ \\ T=\frac{2\pi}{b}=\frac{2\pi}{2} =\pi $$

Am Hop besitzt die funktion den wert $a=1,5$

$$ \begin{align*} f(x)&=1,5\\ 1,5*\sin(2x-\frac{2\pi}{3})&=1,5 &|:1,5&\\ sin(2x-\frac{2\pi}{3})&=1 &|sin^{-1}&\\ 2x-\frac{2\pi}{3}&=sin^{-1}(1) &|+\frac{2\pi}{3} &\\ x&=\frac{\sin^{-1}(1)+\frac{2\pi}{3}}{2} \\ x&=\frac{7}{12}\pi \end{align*} $$

alle hop

$$ y=x+KT \ =\frac{7}{12}\pi+K\pi \quad ; k\in \mathbb{Z} $$

Phasen verschiebung P

$$ P=\frac{c}{b} $$

bsp.

$$ f(x)=sin(2x+\frac{2\pi}{3}) \\ P=\frac{\frac{2\pi}{3}}{3}=\frac{\pi}{3} $$

Wertemenge

die a maxilame größe der amplitudde b bsp.

$$ f(x)=-2\sin(x-2\pi)\\ \begin{bmatrix} -2;2 \end{bmatrix} $$