Vektor
Ein in Pfeilen angegebene Richtung oder Verbindungsweg zwischen zwei punkten
die Pfeile parallel, gleich orientiert und gleich lang sind
immer mit Pfeil über dem Buchstaben nach rechts
$$
\vec{a}\\
$$
Die Großbuchstaben geben hierbei Punkte an
$$
\vec{AB}\\
$$
Definition durch die x,y und z werte
$$
\vec{a}=(x|y|z)\
oder \
\vec{a}=\begin{pmatrix}
X\
Y\
Z
\end{pmatrix}
$$
definition durch x,y Werte
$$
\vec{AB}\\
A=(1;1)\\
b=(2;2)\\
$$
Länge und richhtung
$$
\vec{a}=(2;45°)
$$
betrang/ länge berechnen von Vector $$
\vert \vec{a} \vert =\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2...}
$$
Winkel Zwischen Zwei Vectoren Berechnen $$
\cos(\varphi)=\frac{a_1b_1+a_2 b_2 ...}{\vert \vec{a}\vert* \vert \vec{b}\vert}
$$
zwei Punnkten zu x,y Richtung $$
A(a_1|a_1)\\
B(b_2|b_2)
$$
$$
\vec{v}=\begin{pmatrix}
v_x\\
v_y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
b_1-a_1\\
b_2-a_2
\end{pmatrix}
$$
x,y Richtung zu Länge und winkel $$
\vec{v}=(\vert\vec{v}\vert;a)
$$
$$
\vert\vec{v}\vert =\sqrt{{v_x}^2+{v_y}^2}
$$
$$
a=\tan^{-1}(\frac{v_y}{v_x})
$$
Länge und winkel zu x,y Richtung $$
\vec{v}=\begin{pmatrix}
v_x\\
v_y
\end{pmatrix}
$$
$$
v_x=\vert\vec{v}\vert *\cos(a)\\
v_y=\vert\vec{v}\vert *\sin(a)\\
$$
zu x,y Richtung zu zwei Punnkten benötigt eine vorgegebenen punkt
$$
A(a_1|a_2)
$$
$$
\begin{pmatrix}
b_1\\
b_2
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
a_1-v_x\\
a_2-v_y
\end{pmatrix}
$$
$$
B(b_1|b_2)
$$
Addition und Substraktion beliebigerweiterbar
$$
\vec{a}+\vec{b}=\begin{pmatrix}
a_x\\
a_y\\
a_z
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
b_x\\
b_y\\
b_z
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
a_x+b_x\\
a_y+b_y\\
a_z+b_z
\end{pmatrix}
$$
$$
\vec{a}-\vec{b}=\begin{pmatrix}
a_x\\
a_y\\
a_z
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
b_x\\
b_y\\
b_z
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
a_x-b_x\\
a_y-b_y\\
a_z-b_z
\end{pmatrix}
$$
kommutativgesetz
$$
\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}
$$
Assoziativgesetz
$$
(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})
$$
Existenz eines neutralen Elemntes
$$
\vec{a}+\vec{0}=\vec{b}
$$
Existenz inverser Elemente
$$
\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}
$$
multiplikation eines vectors mit einer reellen zahl (Skalar)
$$
\lambda*\vec{a}=\lambda*\begin{pmatrix}
a_x\
a_y\
a_z
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\lambdaa_x\
\lambda a_y\
\lambda*a_z
\end{pmatrix}
$$
$$
\lambda =0\\
\lambda*\vec{v}=0*\vec{v}=\vec{0}=\begin{pmatrix}
0\\
0\\
0
\end{pmatrix}
$$
$$
\vec{v} =\vec{0}\\
\\
\lambda\vec{v} =\lambda*\vec{0}=\vec{0}
$$
$$
\vec{v}\neq\vec{0} \And \lambda \neq 0 \|\vec{v}|
\end{align }
$$
$$
\lambda,\mu =\text{Skalare}\\ \
\begin{align*}
a)& \quad \lambda*(\mu*\vec{v})=(\lambda*\mu)\vec{v} \
b)& \quad (\lambda+\mu) \vec{v} =\lambda\vec{v}+\mu\vec{v}\
C)&\quad 1*\vec{v}=\vec{v}\
\end{align*}
$$
Ein vector mit der länge 1
$$
\begin{align*}
\vec{a}^0&=\frac{1}{|\vec{a}|}\vec{a}\
&=\frac{1}{5} \begin{pmatrix}3\-4\end{pmatrix} \
&=\begin{pmatrix}
\frac{3}{5}\
\frac{4}{5}
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$
Gleicher vektor aber in die entgegen gesetzte richtung
$$
\vec{a}\rightarrow-\vec{a}
$$
Beginnt immer am koordinaten ursprung und hat ein ende an einem punkt
eine Relelle zahl
Kollineare und Komplanare Vektoren Wenn etwas kollinear oder komplanar ist bedeutet das es auch Linear abhänig wen es nicht das
Ein vektor ist kolinear zu einem Vektor wenn er zu diesem auf irgendwie parallel zueinander sind, die richtung in die sie verlaufen spielt keine rolle
wenn ein vektor parallel zu einem andern ist ist er durch ein vielfaches des anderen vektores darstellbar so kann man feststellen ob diesen linear abhänigsind oder nicht
$$
\vec{b}=k*\vec{a}\
\begin{pmatrix}2\1\end{pmatrix}=k*\begin{pmatrix}4\2\end{pmatrix} \
\begin{align*}\
I_x:&2=k4 \implies &k_1=\frac{1}{2}\
II_y:&1=k 2 \implies& k_2=\frac{1}{2}\
\end{align*}
\
k_1=k_2\
\implies \text{linear Abhänig}
$$
$$
\vec{c}=k*\vec{a}\
\begin{pmatrix}4\4\end{pmatrix}=k*\begin{pmatrix}4\2\end{pmatrix} \4 \implies &k_1=1\
II_y:&4=k 2 \implies& k_2=2\
\end{align*}
\
k_1 \neq k_2\
\implies \text{linear unabhänig}
$$
$$
\vec{a}\parallel\vec{b}\\
\vec{a}\nparallel\vec{c}
$$
erst in drei deminsionalen raum relevant
Ein vektor ist Komplanar zu einem anderen vektor wenn die vektoren zusamen eine ebene aufspannen sie müssen dafür nicht umbedinkt parallel sein oder in die gleiche richtung verlaufen
$$
\vec{c}=r*\vec{a}+s*\vec{b}\\
\vec{a}=\begin{pmatrix}2\3\4\end{pmatrix};
\vec{b}=\begin{pmatrix}4\5\6\end{pmatrix};
\vec{c}=\begin{pmatrix}1\5\3\end{pmatrix}
$$
$$
\begin{align*}
I_x:&1 =2r+4s \\
II_y:& 2=3r+5s\\
III_z:& 3=4r+6s\\
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*}
&I_x :& 1 &=2r+4s & |&-4s\\
& & 1-4s&=2r & |& :2 \\
&I_x':&\frac{1}{2}-2s&=r&&&
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*}
&r \text{ in } II :& 2 &=3(\frac{ 1}{2}-2s)+5s & & \
& & 2 &=\frac{3}{2}-6s+5s & |&-\frac{3}{2} \
& & \frac{1}{2} &=-s & |&(-1) \
& & s &=-\frac{1}{2} & & \
%& & &= & |& \
\end{align }
$$
$$
\begin{align*}
&s \text{ in } I_x': & \frac{1}{2}-2*(-\frac{1}{2}) &=r & & \\
& & \frac{3}{2} &=t & & \\
%& & &= & |& \\
\end{align*}
$$
probe
$$
3=4*\frac{3}{2} +6*(-\frac{1}{2})\\
3=3 \\
\implies \text{ Die Vektoren sind Linear abhänig}
$$
$$
\vec{e_1}=\begin{pmatrix}1\0\0\end{pmatrix};
\vec{e_2}=\begin{pmatrix}0\1\0\end{pmatrix};
\vec{e_3}=\begin{pmatrix}0\0\1\end{pmatrix};
$$
Aus diesen kann man jeden vektor bilden
$$
\vec{a} =
x*\begin{pmatrix}1\0\0\end{pmatrix}+
y*\begin{pmatrix}0\1\0\end{pmatrix}+
z*\begin{pmatrix}0\0\1\end{pmatrix}
$$
immer eine zahl
$$
\vec{a}\circ\vec{b} \quad \LARGE \rightarrow \normalsize \quad a_xb_x+a_y b_y \
\vec{a}\circ\vec{b} \quad \LARGE \rightarrow \normalsize \quad a_xb_x+a_y b_y+a_z*b_z
$$
$$
\cos \varphi = \frac{\vec{a}\circ\vec{b}}{|\vec{a}|*|\vec{b}|}
$$
Bei
nötig da eine betrag nie negativ sein kann oder auch ein Volumen bei der spat Berechnung
$$
|\vec{a} \circ \vec{b}| \
|\text{skalar}| \
\text{skalar} * \text{skalar}
$$
Nur in $\mathbb{R}^3$
Ergebnis Vektor steht Ortogonal(senkrech) auf $\vec{a}$ und $\vec{b}$
$$
\vec{c}=\vec{a} \times \vec{b}
$$
richting nach rechter hand regel
Pistolen hand und mittel finger 90° zur handfläche
bsp.:
daumen ist ist richtung von $\vec{a}$
zeigefinger ist ist richtung von $\vec{b}$
mittelfinger ist ist richtung von $\vec{c}$
betrag von $\vec{a}\times\vec{b}$ ist die fläche des parallelograms zwischen $\vec{a}$ und $\vec{b}$
$$
A= |\vec{a}\times\vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}| \sin(\alpha)
$$
$$
\begin{align*}
\vec{a}\times\vec{b} &= -(\vec{a}\times\vec{b}) \\
\lambda(\vec{a}\times\vec{b}) &= (\lambda\vec{a})\times \vec{b} = \vec{a} \times (\lambda\vec{b}) \\
(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c} &= \vec{a}\times\vec{b}+\vec{b}\times\vec{c}\\
\vec{a}\times\vec{b} &= \vec{0} \to \text{Prüfung auf lineare abhänigkeit}
\end{align*} \\
$$
$$
\vec{a_1}=\begin{pmatrix}a_1\a_2\a_3\end{pmatrix};
\vec{b_2}=\begin{pmatrix}b_1\b_2\b_3\end{pmatrix}; \vec{a},\vec{b}\in \mathbb{R}^3
$$
Es werden die beiden Vektoren jeweils nochmal unter sich selbst Geschieben
Oberste und unterste wegstreichen
die blaunen vektoren mit dem gegenüberliegenden aber eins weiterunterliegenenn kreuzen
die letzten (grün) werden nicht mehr gekreuzt
$$
\vec{a}\times\vec{b}=
\begin{pmatrix}a_1\a_2\a_3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}b_1\b_2\b_3\end{pmatrix} =
\begin{align*}
&\begin{pmatrix}\cancel{a_1}\ \textcolor{blue}{a_2}\ \textcolor{blue}{a_3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{\cancel{b_1}}\\textcolor{blue}b{_2}\\textcolor{blue}{b_3}\end{pmatrix}\
&\begin{pmatrix}\textcolor{blue}{a_1}\\textcolor{green}{a_2}\\cancel{a_3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \textcolor{blue}{b_1}\ \textcolor{green}{b_2}\\cancel{b_3}\end{pmatrix}
\end{align*}=
$$
$$
\begin{align*}
&\begin{pmatrix}\cancel{a_1}\ \textcolor{blue}{a_2}\searrow b_3\ \textcolor{blue}{a_3}\searrow b_1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{\cancel{b_1}}\ a_1\swarrow \textcolor{blue}b{_2}\ a_2\swarrow \textcolor{blue}{b_3}\end{pmatrix}\
&\begin{pmatrix}\textcolor{blue}{a_1}\searrow b_2\\textcolor{green}{a_2}\\cancel{a_3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_2\swarrow \textcolor{blue}{b_1}\ \textcolor{green}{b_2}\\cancel{b_3}\end{pmatrix}
\end{align*}
= \begin{pmatrix}a_2b_3-b_2 a_1\a_3b_1-b_3 a_2\a_1b_3-b_1 a_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}c_1\c_2\c_3\end{pmatrix}
$$
$$
A_# = |\vec{a}\times\vec{b}|
$$
$$
A_\triangle = \frac{1}{2} *|\vec{a}\times\vec{b}|
$$
$$
V_{spat} = |(\vec{a}\times\vec{b})\circ\vec{c}|
$$
Wenn =0 sind die Vektoren linear abhängig
$$
V = \frac{1}{2}|(\vec{a}\times\vec{b})\circ\vec{c}|
$$
$$
V = \frac{1}{3}|(\vec{a}\times\vec{b})\circ\vec{c}|
$$
Tetraeder 3-Seitige Pyramide $$
V = \frac{1}{6}|(\vec{a}\times\vec{b})\circ\vec{c}|
$$
Standart Darstellung
$$
\vec{x}=\vec{p}+\lambda*\vec{u} \
$$
gerade wird durch 2 punkte festgelegt
$$
P=(1,2,3) \\
Q=(3,2,1) \\
\\
\vec{x}=\vec{p}+\lambda*\vec{u} \\
\\
\vec{p}=\begin{pmatrix}P_x\ P_y\ P_z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\0\0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\ 2\3\end{pmatrix}\\
\vec{u} = \begin{pmatrix}Q_x\ Q_y\ Q_z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}P_x\ P_y\ P_z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\ 0\-2\end{pmatrix} \\
\vec{x}=\begin{pmatrix}1\ 2\ 3\end{pmatrix}+\lambda*\begin{pmatrix}2\ 0\ -2\end{pmatrix} \\
$$
prüfen ob ein punkt auf der geraden liegt Der punkt wird als x eingesetzt und nur wenn alle drei Ergebnisse gleich sind ist der punkt auf der grade
$$
\vec{a}=\begin{pmatrix}
0\-1\10
\end{pmatrix}; \qquad \vec{x}=\begin{pmatrix}3\2\1\end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix}-1\-1\3\end{pmatrix}
$$
$$
\begin{matrix}
0&=3-5 &\implies s=3\\
-1&=2-5 &\implies s=3 \\
10 &=1+3s &\implies s=3
\end{matrix} \Biggr }
= \qquad;A\in g
$$
in der regel auf einer koordinaten eben
$$
\begin{matrix}
S(s_1|s_2|s_3)\\
x_1; x_2 : s_3 =0
\end{matrix} \bigg}
\implies \vec{s}=\begin{pmatrix}s_1\s_2\0\end{pmatrix}
\qquad s_1,s_2 \in \mathbb{R}
$$
$$
\begin{pmatrix}s_1\s_2\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\-1\2\end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix}-2\6\4\end{pmatrix} \begin{matrix}
\\
\\
\implies III: 0=2+4t \implies t=-0,5
\end{matrix}
$$
$$
\begin{align}
t \text{ in } I : s_1 &= 2-0,5-(-2) \implies s_1=3 \\
t \text{ in } II : s_2 &= -1+6*(-0,5) \implies s_2 = -4 \\
&\implies S(3|-4|0)
\end{align}
$$
auch Paramterfreie darstellung
$$
x_2 =mx_1+t
$$
$$
\vec{x}=\begin{pmatrix}x_1\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1\a_2\end{pmatrix}+\lambda*\begin{pmatrix}1\ m\end{pmatrix}; \qquad\lambda\in\mathbb{R} \\
oder\\
\vec{x}=\begin{pmatrix}x\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\ mx+t\end{pmatrix}+\lambda*\begin{pmatrix}0\ t\end{pmatrix}; \qquad x\in\mathbb{R}
$$
$$
\vec{n}\circ\vec{x}=\vec{n}\circ\vec{a} \Leftrightarrow \vec{n}\circ (\vec{x}-\vec{a})=0
$$
$\vec{n}$ erhält man indem zwei koordinaten von $\vec{u}$ miteindander vertauscht werden und eine koordinaten von den getaischenten mit -1 multipliziert
Am besten immer daruf schauen das man alles postiv hat
$$
\mathbb{R}^2: \vec{u}=\begin{pmatrix} u_1\u_2\end{pmatrix} \implies\vec{n}=\begin{pmatrix} u_2\-u_1\end{pmatrix}
$$
in $\mathbb{R}^3$ wird noch eine variable gleich null gesetzt
$$
\vec{u}=\begin{pmatrix} u_1\u_2\u_3\end{pmatrix} \implies \vec{n}=\begin{pmatrix} 0\-u_3\u_2 \end{pmatrix} \text{Auch anderst möglich z.b. } \begin{pmatrix} u_2\-u_1\0\end{pmatrix}
$$
Umrechnung $\mathbb{R}^2$
Parameterform in Normalenform $$
g: \vec{x}=\begin{pmatrix}2\-1\end{pmatrix}+\lambda*\begin{pmatrix}-2\4\end{pmatrix}, \qquad \lambda \in \mathbb{R}\\
\text{Tausch von u durchführen }\\
\implies \vec{n}=\begin{pmatrix}4\2\end{pmatrix}
$$
$$
\text{werte In} \\
\vec{n} \circ (\vec{x}-\vec{a})=0 \\
\text{Eeinseten} \\
\begin{pmatrix}4\2\end{pmatrix} \circ (\vec{x}-\begin{pmatrix}2\-1\end{pmatrix})=0 \\
\text{Klammer auflösen}\\
\begin{pmatrix}4\2\end{pmatrix}\circ \vec{x}-\begin{pmatrix}4\2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}2\-1\end{pmatrix} =0\\
\text{Vektorprodukt auflösen}\\
\begin{pmatrix}4\2\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}x_1\ x_2\end{pmatrix} -6 =0
$$
Normalenform in koordinatenform $$
\begin{align*}
g: \begin{pmatrix}4\2\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}x_1\ x_2\end{pmatrix} -6 &=0\\
\text{Funktionen auf stellen durch}& \text{ ausschreiben des Vektorprodukts}\\
4x_1+2x_2-6 &=0 \\
\text{ mit } x_1=x &\text{ und } x_2 =y\\
4x+2y-6 &=0\\
\implies g : y&=-2x+3
\end{align*}
$$
koordinatenform in normalenform Vektor produkt zurück schreiben
$$
\begin{align*}
\textcolor{orange}{4}x+ \textcolor{orange}{2}y-6&=0\\
\text{ mit } x_1=x &\text{ und } x_2 =y\\
\implies \begin{pmatrix} \textcolor{orange}{4}\ \textcolor{orange}{2}\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}x_1\ x_2\end{pmatrix} -6 &=0
\end{align*}
$$
Normalenform in Paramterform Komplexeste
Aufpunkt ermitteln :
$$
\vec{n}\circ\vec{x}-b = 0 \
\underbrace{\begin{pmatrix}4\2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}x_1\x_2\end{pmatrix}}{\vec{n}\circ\vec{x}}-\underbrace{6} {\vec{n}\circ\vec{a}}=0 \
\implies \vec{n} \circ \vec{a}=6 \
\implies \begin{pmatrix}4\2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}a_1\a_2\end{pmatrix} =6\
\text{eine Stelle Kann frei gewählt werden}\
a_1 = 2\
\implies 4*2+2a_2 =6 \
a_2 =-1\
\vec{a}=\begin{pmatrix}2\-1\end{pmatrix}
$$
Richtingsvektor ermitteln:
$$
\vec{u} \perp\vec{n}; \qquad \vec{n}=\begin{pmatrix}4\2\end{pmatrix} \quad \implies \vec{u}\circ\vec{n} =0 \\
\text{Tausch trick verwenden} \\
\vec{u}=\begin{pmatrix}-2\4\end{pmatrix}\\
\implies g: \vec{x}=\begin{pmatrix}2\-2\end{pmatrix}+\lambda*\begin{pmatrix}-2\4\end{pmatrix} \qquad ;\lambda \in \mathbb{R}
$$
Wird durch drei punkte eindeutig definiert
die Verbindungsvektoren sind $\vec{AU},\vec{AV},\vec{VU}$ sind komplanar, je zwei sind nicht kollinear
Der punkt x, vektor $\vec{AX}$ wird aus der linear kombination der vekoren $\vec{u}\text{ und }\vec{v}$ dargestellt
Punnkt richtiungs gleichung
$$
E: \vec{x}=\vec{a}+\lambda*\vec{u}+\mu*\vec{v}\qquad mit \quad \lambda,\mu\in\mathbb{R}
$$
Drei punkte Gleichung
$$
E:\vec{x}=\vec{a}+\lambda*(\vec{u}-\vec{a})+\mu *(\vec{v}-\vec{a}) \qquad mit \quad \lambda,\mu\in\mathbb{R}
$$
$\vec{u}$ und $\vec{v}$ müssen linear unabhänig sein für eine eindeute Ebenengleichung
$$
E: \vec{x}=\vec{a}+\lambda*\vec{u}+\mu*\vec{v}\qquad mit \quad \lambda,\mu\in\mathbb{R}
$$
$$
E: \vec{n}\circ\vec{x}=\vec{b}\circ \vec{a} \\
\\
E: \vec{n}\circ(\vec{c}-\vec{a})=0
$$
Ebenen lassen sich durch die gleichung
$$
ax_1+b x_2+c*x_3=d
$$
paramterfrei beschrieben
Parameter zu normalenform $$
\vec{x} =\begin{pmatrix}3\2\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}2\6\-7\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\2\-6\end{pmatrix} \\
\vec{u}=\begin{pmatrix}2\6\ -7\end{pmatrix} \qquad \vec{v}=\begin{pmatrix}2\2\-6\end{pmatrix}
$$
NormalenVektor
Ortigonalen Vektor $\vec{n}$ zur den vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ mit dem kreuzprodukt erstellen
$$
\textcolor{green}{\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}} = \begin{pmatrix}2\6\-7\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}2\2\-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\-2\-2\end{pmatrix}
$$
$$
\textcolor{green}{\vec{n}\circ\vec{x}=\vec{n}\circ\vec{a}} \implies \begin{pmatrix}-1\-2\-2\end{pmatrix}\circ\vec{x}= \underbrace{ \begin{pmatrix}-1\-2\-2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}3\2\1\end{pmatrix}}_{-9}
$$
Normalengleiung
$$
\begin{pmatrix}-1\-2\-2\end{pmatrix} \circ\vec{x}=-9
$$
Normalenform in Koordinateform $$
\begin{pmatrix}-1\-2\-2\end{pmatrix}\circ\vec{x}=-9\\
\begin{pmatrix}-1\-2\-2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix}=-9
$$
vektorprodukt auflösen
Koordinaten gelchung:
$$
-x_1-2x_2-2s_3=-9
$$
Parameterform zu Koordinatenform $$
\begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\0\10\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\0\-2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\1\4\end{pmatrix} \qquad s,t\in\mathbb{R}
$$
umrechnung
$$
\vec{x}=\begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0+s+0t\\
0+0s+t\\
10-2s+4t
\end{pmatrix}\implies\begin{matrix}x_1&=&s&\x_2&=&t&\x_3&=&10&-2s+4t\end{matrix}
$$
$s$ und $t$ in $x_3$ einsetzen
$$
x_3=10-2x_1+4x_2\\
\implies 2x_1-4x_2+x_3 = 10
$$
Koordinatenform zu Parameterform $$
E: x_1+2x_2+2s_3=9 \\
x_1= x,\qquad x_2=y,\qquad x_3=z \\
\text{Nach x auflösen}\\
x_1=\quad x=9-2y-2z
$$
$$
\vec{x}=\begin{pmatrix}
x_1\x_2\x_3
\end{pmatrix}=\left(\begin{array}{}9\0\0\end{array}
\begin{array}{}-2y\y\0\end{array}
\begin{array}{}-2z\0\z\end{array}
\right) =
$$
$$
\vec{x}=
\begin{pmatrix}
9\0\0
\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}
-2\0\0
\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}
-2\0\1
\end{pmatrix} \qquad x,y\in \mathbb{R}
$$
Über Koordinaten gleichung
$$
E: x_1+2x_2+2s_3=9
$$
$$
\vec{p}=\begin{pmatrix}
p_1\p_2\p_3
\end{pmatrix} \text{Frei wählen}
$$
Trick: 1 und 2 =0 setzen und drei ausrechnechen
$$
p_1=0,\quad p_2=0\\
p_1+2p_2+2p_3=9 \\
p_3=9 \\
\\
\vec{p}=\begin{pmatrix}
9\0\0
\end{pmatrix} \in E
$$
n bestimmen
$$
\begin{align*}x_1+n_2 x_2+n_3x_3 &= \vec{n}\circ\vec{p} \
1 x_1+2x_2+2 x_3 &= 9
\end{align*}
$$
$$
\vec{n}=
\begin{pmatrix}
1\2\2
richttungsvektoren bestimmen
Tausch und minus trick eine 0 setzen
$$
\vec{n}=\begin{pmatrix}1\2\2\end{pmatrix} \implies\vec{u}=\begin{pmatrix}-2\1\0\end{pmatrix};\vec{v}=\begin{pmatrix}-2\0\1\end{pmatrix}
$$
$$
E:\vec{x}=\begin{pmatrix}
9\0\0
\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}
-2\1\0
\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}
-2\0\1
\end{pmatrix}\qquad, \lambda,\mu \in \mathbb{R}
$$
Koordinateform in Normalenform $$
E: x_1+2x_2+2s_3=9
$$
$$
\vec{p}=\begin{pmatrix}
p_1\p_2\p_3
\end{pmatrix} \text{Frei wählen}
$$
Trick: 1 und 2 =0 setzen und drei ausrechnechen
$$
p_1=0,\quad p_2=0\\
p_1+2p_2+2p_3=9 \\
p_3=9 \\
\\
\vec{p}=\begin{pmatrix}
9\0\0
\end{pmatrix} \in E
$$
n bestimmen
$$
\begin{align*}x_1+n_2 x_2+n_3x_3 &= \vec{n}\circ\vec{p} \
1 x_1+2x_2+2 x_3 &= 9
\end{align*} \qquad
\vec{n}=
\begin{pmatrix}
1\2\2
$$
g:
\begin{pmatrix}
1\2\2
\end{pmatrix} \circ \left[ \begin{pmatrix}
x_1\x_2\x_3
\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}
9\0\0
\end{pmatrix}\right]=0
$$
Normalenform in Parameterfrom $$
g:
\begin{pmatrix}
1\2\2
\end{pmatrix} \circ \left[ \begin{pmatrix}
x_1\x_2\x_3
\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}
9\0\0
\end{pmatrix}\right]=0
$$
Tausch und minus trick eine 0 setzen
$$
\vec{n}=\begin{pmatrix}1\2\2\end{pmatrix} \implies\vec{u}=\begin{pmatrix}-2\1\0\end{pmatrix};\vec{v}=\begin{pmatrix}-2\0\1\end{pmatrix}
$$
$$
E:\vec{x}=\begin{pmatrix}
9\0\0
\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}
-2\1\0
\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}
-2\0\1
\end{pmatrix}\qquad, \lambda,\mu \in \mathbb{R}
$$
Richtungs vercktor aus punkten erstellen
Betrag dessen berechnen
Formel
$$
\big( \frac{a_1+b_1}{2} | \frac{a_2+b_2}{2}| \frac{a_3+b_3}{2} \big)
$$
Prüfung auf Vielfachheit
$$
\vec{u} = k*\vec{v} \qquad k \in \mathbb{R}
$$
$$
\begin{pmatrix}2\1\4\end{pmatrix}= K\begin{pmatrix}6\8\20\end{pmatrix} \implies \begin{matrix}
I \quad 2 =6s \implies s=\frac{1}{3}\\
II \quad 1=8s\implies s= \frac{1}{8}\\
III \quad 4=20s \implies \end{matrix} => \text{nicht Kolinear}
$$
Parallel $g_1||g_2$
Identisch $g_1=g_2$
Auf punkt in die jeweils andere formel einsetzen
$$
\vec{p}=\vec{q}+t\vec{v}
$$
Ortiggonal $g_1 \perp g_2$
Scneiden sich
Windschief
Beide Formel gleichsetzen
$$\vec{p}+r*\vec{u}=\vec{q}+t*\vec{v}$$
LGS aufstellen und Auflösen
Wenn LGS lösba Geraden sind Identisch
Wenn LGS nicht lösbar gerade sind Echt Parallel
Wenn Kein LGS aufgeläst werden kann, keine wahre aussage Gerade ist Windschief
Wenn LGS nach punkt aufgelöt werden kann
Ortogonal oder Schnittpunkt
$$\vec{u}\circ\vec{v}=0$$
Wenn gleich 0 Ortoginal
Wenn ungelich 0 normaler schnitpunkt
Ebenen Gleichung mit Geraden Gleichung gleichsetzten
Sotieren aufpunkte auf einer seite verrechnen
Gaus aufstellen
Gaus Lösen
$$g_1 \subset E$$
$0=0 \text{ Wahre aussage}$
$$g_2 \not\subset E \quad \& \& \quad g_2 || E $$
$0=8 \text{ Falsche Aussage}$
$$
g_3 \cap E = {s}\\
s \in E ^ s\in g
$$
$r=1; s=5; t=3$
Ebene Sind Identisch
Eben Sind Parallel
Ebene Bilden schnitt gerade
Parameterfoorm und Parameterform $$
E_1:\vec{x}=\begin{pmatrix}
1\2\3
\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}
1\1\-1\\
\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}
2\1\4
\end{pmatrix} \\
E_2:\vec{x}=\begin{pmatrix}
0\0\-\frac{4}{3}
\end{pmatrix}+f\begin{pmatrix}
1\0\\frac{2}{3}
\end{pmatrix}+g\begin{pmatrix}
0\1\\frac{1}{3}
\end{pmatrix}
$$
$\vec{x}$ gleich setzen
$$
\begin{pmatrix}
1\2\3
\end{pmatrix}
+r\begin{pmatrix}
1\1\-1\\
\end{pmatrix}
+t\begin{pmatrix}
2\1\4
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
0\0\-\frac{4}{3}
\end{pmatrix}
+f\begin{pmatrix}
1\0\\frac{2}{3}
\end{pmatrix}
+g\begin{pmatrix}
0\1\\frac{1}{3}
\end{pmatrix}\\
r\begin{pmatrix}
1\1\-1\\
\end{pmatrix}
+t\begin{pmatrix}
2\1\4
\end{pmatrix}
-f\begin{pmatrix}
1\0\\frac{2}{3}
\end{pmatrix}
-g\begin{pmatrix}
0\1\\frac{1}{3}
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
0\0\-\frac{4}{3}
\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}
1\2\3
\end{pmatrix}
$$
Zusammen fassen und LGS aufstellen mit Gaus Lösen
$$
\begin{align*}
& r &t, & f & g &|& \\
I: & +1, &2, &-1, &-0, &|&-1 \\
II: & +1, &1, &-0, &-1, &|&-2 \\
III:& -1, &4, &-\frac{2}{3},&-\frac{1}{3},&|&-\frac{13}{3}\\
\end{align*}
$$
$$...$$
$$
\begin{align*}
: & r& t, & f& g& |& \\
III:&1,&+2,&-1,& 0,&|&-1\\
II:& 0,&-1,&+1,&-1,&|&-1\\
I:& 0,&+0,&+\frac{13}{3},&-\frac{19}{3},&|&-\frac{34}{3}\\
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*}
\frac{13}{3}f-\frac{19}{3}g&=-\frac{34}{3}\
f&=-\frac{34}{13}+\frac{19}{13}g
\end{align*}
$$
Einsetzen
$$
E_1:\vec{x}=\begin{pmatrix}
0\0\-\frac{4}{3}
\end{pmatrix}+(-\frac{34}{13}+\frac{19}{13}g)\begin{pmatrix}
1\0\\frac{2}{3}
\end{pmatrix}+g\begin{pmatrix}
0\1\\frac{1}{3}
\end{pmatrix}\\
\vec{x}=\begin{pmatrix}
0\0\-\frac{4}{3}
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
-\frac{34}{13}+\frac{19}{13}g\0\ -\frac{68}{39}+\frac{38}{39}g
\end{pmatrix}+g\begin{pmatrix}
0\1\\frac{1}{3}
\end{pmatrix}\\
\vec{x}=\begin{pmatrix}
-\frac{34}{13}\0\-\frac{40}{13}
\end{pmatrix}+g\begin{pmatrix}
\frac{19}{13}\1\\frac{17}{13}
\end{pmatrix}\\
$$
Koordinatenform und Parameterform Parameter form nach $x_x$ auflösen
$$
E_1:\vec{x}=\begin{pmatrix}
1\2\3
\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}
1\1\-1\\
\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}
2\1\4
\end{pmatrix}\implies
\begin{matrix}
x_1=1+r+2t\\
x_2=2+r+t\\
x_3=3-r+4t
\end{matrix}
$$
$$
E_2:2x_1+x_2-3x_3=4
$$
In Koordinaten form einsetzen
$$
x_1,x_2,x_3 in E_2: \\
\begin{align*}
2(1+r+2t)+(2+r+t)-3(3-r+4t)&=4\\
2+2r+4t+2+r+t+9+3r-12t&=4\\
-5-7t+6r&=4\\
6r&=9+7t\\
r&=\frac{9}{6}+\frac{7}{6}t\\
\end{align*}
$$
Schnitt gerade auf stellen
$$
\vec{x}=\begin{pmatrix}
1\2\3
\end{pmatrix}+(\frac{9}{6}+\frac{7}{6}t)\begin{pmatrix}
1\1\-1
\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}
2\1\4
\end{pmatrix}\\
\vec{x}=\begin{pmatrix}
1\2\3
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
\frac{9}{6}+\frac{7}{6}t\ \frac{9}{6}+\frac{7}{6}t\ -\frac{9}{6}-\frac{7}{6}t
\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}
2\1\4
\end{pmatrix}\\
\vec{x}=\begin{pmatrix}
\frac{5}{2}\\frac{7}{2}\\frac{3}{2}
\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}
\frac{19}{6}\\frac{13}{6}\\frac{17}{6}
\end{pmatrix}\\
$$
Koordinatenform und Koordinatenform Eine Variable muss mit Additions verfahren oder Gaus aufgelößt werden
$$
E_1:2x_1-4x_2+6x_3=8\\
E_2:x_1+4x_2+3x_3=-5\\
------------\\
1x_1+1x_3=1\\
x_1=1+x_3
$$
Keine Wahre oder Falsche Aussage
Schnitt gerade bestimen
$x_1=1-x_3$ in $E_1$ oder $E_2$ einsetzen
$$
\begin{align*}
(1-x_3)+4s_2-3x_3&=-5\\
4x_2&=-6+4x_3\\
x_2&=-\frac{3}{2}+x_3
\end{align*}
$$
In abhännigkeit zu hier $x_3$ auflößen
Dies wird der parameter der schnittgerade
Aufstellen
$$
gs:\vec{x}=\begin{pmatrix}
x_1\ x_2\ x_3
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1-x_3\ - \frac{3}{2}+x_3 \ x_3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 \ - \frac{3}{2} \ 0
\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}
-1 \1\1
\end{pmatrix} \qquad x_3\in \mathbb{R}
$$
Normalenform und Normalenform Normalen Vecktoren den beiden funktionen vergleichen
$$\vec{n_1}= \lambda* \vec{n_2} \qquad \lambda \in \mathbb{R}$$
Wenn Kein vielfaches LGS aufstellen und schnittgerade bestimmen
Wenn vielfaches Punkt Proben der auf punkte durch führen
$$a_1 \in E_2 \text{ oder } a_2 \in E_1$$
Wenn wahre aussage Eben sind identisch
Wenn Falsche Aussage Eben Sind Echt Parallel
Die schnittwinkel sind immer die kleinsten sich gegenüber liegenden winkel
Berechnet werden immer 180°
Welcher Teil Berechnet wied Bestimmen Die Richtungs Vectoren
Oranger Berich
$$
\cos(\sphericalangle(u_1,u_2))=\frac{\vec{u_1}\circ\vec{u_2}}{|\vec{u_1}|*|\vec{u_2}|}
$$
Baluer Bereich
$$
\cos(\sphericalangle(u_1,u_2))=\frac{\vec{u_1}\circ\vec{u_2}}{|\vec{u_1}|*|\vec{u_2}|}
$$
Die anderen Beiden Winkel sind denen identisch mann muss auch nur einen berechnen da mann dien anderen durch substraktion mit 180° bekommt es empfielt sich den winkel den man benötigt zu berechnen
Der winkel zweiereben ist der der durch die beiden normalen vekroen bestimmt wird
Schnittwinken immer spitzer oder rechter winkel
$$
\cos(\alpha)=\bigg|\frac{\vec{n_1}\circ\vec{n_2}}{|\vec{n_1}|*|\vec{n_2}|}\bigg| \qquad \alpha \in [0°,90°]
$$
Hier wichtig es wird der sinus genutzt
Der Winkel ist wo die geraden Projektion auf die eben sich trifft
$$
\sin(a)=\bigg|\frac{\vec{u}\circ\vec{n}}{|\vec{u}|*|\vec{n}|}\bigg| \qquad a\in[0°;90°]
$$
$$
d(a,b)=|\vec{AB}|
$$
Bedingungen
$$
\vec{AL}\circ\vec{u}=0\\
\vec{AL}=\vec{OL}-\vec{OA}\\
\vec{0L}=\vec{p}+\lambda*\vec{u} \qquad \lambda \in \mathbb{R}
$$
$$
[\vec{p}+\lambda\vec{u}-\vec{0A}]\circ \vec{u}=0\\
\implies d(A,l)=|\vec{AL}|
$$
bsp.:
$$
g:\vec{x}=\begin{pmatrix}
-1\3\1
\end{pmatrix}+\lambda*\begin{pmatrix}
2\1\-1
\end{pmatrix} \qquad \lambda \in \mathbb{R}\\
A(-2|-5|3)
$$
$$
\bigg[ \begin{pmatrix}
-1\3\1
\end{pmatrix}+\lambda*\begin{pmatrix}
2\1\-1
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
2\1\-1
\end{pmatrix}\bigg]\circ\begin{pmatrix}
2\1\-1
\end{pmatrix} =0\
\bigg[ \begin{pmatrix}
1\8\-2
\end{pmatrix}+\lambda*\begin{pmatrix}
2\1\-1
\end{pmatrix}\bigg]\circ\begin{pmatrix}
2\1\-1
\end{pmatrix} =0\
\begin{pmatrix}
1\8\-2
\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}
2\1\-1
\end{pmatrix}+\lambda*\begin{pmatrix}
2\1\-1
\end{pmatrix} \circ\begin{pmatrix}
2\1\-1
\end{pmatrix} =0\
12+8 1-2*(-1)+2\lambda*2+\lambda+\lambda=0\
12+6\lambda=0\
\lambda=-2
$$
$\lambda$ in g
$$
\vec{OL}=\begin{pmatrix}
-1\3\1
\end{pmatrix}-2*\begin{pmatrix}
2\1\-1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-5\1\3
\end{pmatrix}\\
\vec{AL}=\begin{pmatrix}
-5+2\1-5\3-3
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-3\6\0
\end{pmatrix}
$$
$$
d(A,L)=|\vec{AL}|=3\sqrt{5} LE
$$
Beleibiger Punkt Auf einer der Geraden wählen und dann wie in "Punkt zu gerade" berechnen
$$
\begin{align*}
\vec{GH}&=\vec{OH}-\vec{OG}\\
I:& \vec{GH}=(\vec{P}+\lambda*\vec{u})-(\vec{r}+\mu*\vec{v}) \qquad \lambda,\mu\in\mathbb{R}\\
II:& \vec{GH}\circ\vec{v}=0 \\
III:& \vec{GH} \circ \vec{U}=0
\end{align*}\ \implies \mu,\lambda \text{ in } I \implies d(D,H)=|\vec{GH}|
$$
Viel Schreibarbeit
$\vec{n=\vec{u}\times\vec{v}}$ Koordinatenform von $E$ \
Abstand Von $p$ zu $E$
berechnen Wie Punkt zu Ebene
$\vec{n}$ = kreuzprodukt der Ebenen Richtungsverktoren
lot gerade aufstellen
$l:\vec{x}=\vec{p}+\lambda\vec{n}$
Schnitt von $l$ und $E$ (s.lagebeziehung) $\rightarrow s \implies d(S,P)=d(E,P)$
bsp.
$$
E:\vec{x}=\begin{pmatrix}
0\0\0,6
\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}
1\0\-0,2
\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}
0\1\0,3
\end{pmatrix}\\
P(0,0,4)
$$
$$
\vec{n}=\begin{pmatrix}
1\0\-0,2
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
0\1\0,3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0,2\-0,3\1
\end{pmatrix}
$$
$$
l:\vec{x}=\begin{pmatrix}
0\0\4
\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}
0,2\-0,3\1
\end{pmatrix}
$$
$$
\begin{pmatrix}
0\0\4
\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}
0,2\-0,3\1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0\0\0,6
\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}
1\0\-0,2
\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}
0\1\0,3
\end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix}
0\0\3,4
\end{pmatrix}=-\lambda\begin{pmatrix}
0,2\-0,3\1
\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}
1\0\-0,2
\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}
0\1\0,3
\end{pmatrix}\\
\qquad\\
\begin{align*}
\lambda=-\frac{340}{113}
\end{align*}
$$
$$
l:\vec{s}=\begin{pmatrix}
0\0\4
\end{pmatrix}-\frac{340}{113}\begin{pmatrix}
-0,2\-0,3\1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{68}{113}\ \frac{102}{113}\\frac{112}{113}
\end{pmatrix}
$$
$$
\begin{pmatrix}
\frac{68}{113}-0\ \frac{102}{113}-0\\frac{112}{113}-4
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\frac{68}{113}\ \frac{102}{113}\-\frac{340}{113}
\end{pmatrix}\\
\sqrt{\frac{68}{113}^2 \frac{102}{113}^2 (-\frac{340}{113})^2} = 3,198 \approx 3,2LE
$$
$$
d(P,E)=\bigg|\frac{ax_1+b x_2+c*x_3+d}{|\vec{n}|} \bigg|\
mit \quad \vec{n}=\begin{pmatrix}
a\ b\ c
\end{pmatrix}und \quad x_1,x_2,x_3 \quad aus \quad P
$$
bsp.:
$$
E:2x-3y+10z=6\\
P(0_x|0_y|4_z)
$$
$$
\vec{n}=\begin{pmatrix}
2\-3\10
\end{pmatrix}=\sqrt{2^2+(-3)^2+10^2}=\sqrt{113}\
d(P,E)=\bigg|\frac{20-3 0+10*4-6}{\sqrt{113}}\bigg|=\bigg|\frac{34}{\sqrt{113}}\bigg|=3,198\approx 3,2
$$
Wie Punkt zur Ebene
Wie Punkt zur Ebene