Skip to content

Latest commit

 

History

History
507 lines (398 loc) · 14.9 KB

Mathe_5.md

File metadata and controls

507 lines (398 loc) · 14.9 KB

Mathe 5

Gebrochen rationale Funktion

$$ f(x)=\frac{Z(x) \text{ ZählerFunktion}}{N(x) \text{ NennerFunktion}} $$

$$ f(x)=\frac{x^2+1}{x};\qquad \mathbb{g}=\mathbb{R} $$

Definitions Bereich

wenn die Nenner Funktion null ist

$$ N(x)=0 \implies x=0 \quad \mathbb{D}=\mathbb{R} \backslash { 0} $$

Symmetrie

$$ f(x)=f(-x) A.S\\ f(x)=-f(-x) P.S $$

$$ f(-x)=\frac{(-x)^2+1}{-x}=\frac{x^2+1}{-x}=-\frac{x^2+1}{x}\implies \text{ nicht A.S} $$

$$ -f(-x) = --\frac{x^2+1}{x}=+\frac{x^2+1}{x}=f(x)\implies f(x) \text{ ist P.S zum Ursprung} $$

Achsen schnittpunkte

Y achse

kein $Sy$, da F(0) nicht definiert

$$ f(x)=\frac{Z(x)}{N(x)}=0 \quad |*N(x) \\ Z(x)=0 $$

X Achse (Nullstellen)

NST:

$$ \begin{align*} f(x)=0\implies Z(x)&=0 \\ x^2+1&=0 &|&-1\\ x^2&=-1 &|&\sqrt{} \\ |x|&=\sqrt{-1} &\implies& \text{ Keine NST} \end{align*} $$

Extrempunkte

Erste Ableitung

$$ \begin{align*} f(x)&=\frac{x^2+1}{x} \qquad \text{ableitungs regel nutzen} \qquad \frac{NAz-ZAN}{N^2}\ f'(x)&=\frac{x*2x-(x^2+1)1}{x^2}\ f'(x)&=\frac{2x^2-x^2-1}{x^2}\ f'(x)&=\frac{x^2-1}{x^2} \quad \text{bruch auf spalten}\ f'(x)&=\frac{x^2}{x^2}-\frac{1}{x^2} \ f'(x)&=1-\frac{1}{x^2} \end{align} $$

$$ f'(x)=1-\frac{1}{x^2} = 1-x^{-2}\\ f''(x)=2x^{-3}=\frac{2}{x^3} $$

$$ \begin{align*} f'(x_0)=0 &:& 1-\frac{1}{x^2}&=0 &|& -1 \ && -\frac{1}{x^2}&=-1 &|&(-x^2) \ && 1&=x^2 &|& \sqrt{}\ && |x|&=1 && \end{align} $$ $$ \begin{align*} \implies x_1 &=1\ x_2&=-1 \end{align*} $$

$$ \begin{align*} f''(x_1)&=f''(1) &=2&>0&\implies& TIP (1|2)\\ f''(x_2)&=f''(-1)&=-2&<0&\implies& HOP (-1|-2) \\ \qquad\\ f(x_1)&=f(1)&=2\\ f(x_2)&=f(-1)&=-2 \end{align*} $$

Asymptoten

Höchste expnenenten im nenner und zähler

$$ \frac{x^3-20x^2+4}{30x^2+60x} $$

Zähler $\implies 3$

Nenner $\implies 2$
$m&lt;n$ Zählergrad < Nennergrad Wagerechte Asymptote $A:y=0$
$m=n$ Zählergrad = Nennergrad Wagerechte Asymptote $A:y=\frac{a_m}{b_n}$
$m=n+1$ Zählergrad ist um 1 größer als Nennergrad Schiefe oder schräge Asymptote $x\rightarrow+\infty \implies f(x) \rightarrow \pm \infty\x\rightarrow-\infty \implies f(x) \rightarrow \mp \infty$
$m&gt;n$ Zählergrad > Nennergrad Schiefe oder schräge Asymptote $x\rightarrow+\infty \implies f(x) \rightarrow \pm \infty\x\rightarrow-\infty \implies f(x) \rightarrow \pm \infty$

$3=2+1 \implies$ Schräge Asy. $\implies$ Polynomdivision

$$ \begin{aligned} &f(x)=& &(x^3 &&-20x^2 &&+0x+4)&:&(30x^2+60x)=\frac{1}{30}x-\frac{22}{30}+\frac{44x+4}{30x2+60x}\\ & &-&(x^3 &&+2x^2) && &&\\ & & &0 &&-22x^2 &&+0x &&\\ & & & &&-(-22x^2&&-44x)&&\\ & & & &&0 &&+44x+4 &&\\ \end{aligned} $$

$$ A_1:y=\frac{1}{30}x+\frac{22}{30} $$

Prüfen auf behebbare defintions Lücken

$$ \begin{align*} Z(x_1)&=Z(0) &&=x^3-200^2+4&=&&4 \neq0\ Z(x_2)&=Z(-2)&&=(-2)^2-20(-2)^2+4&=&&-8-80+4\neq0 \end{align*}\bigg}\implies\text{Polstellen} $$

$\implies$ Senkrechte Asymptoten.: $A2: x_{p1}=-2\ A3: x_{p2}=0$

Tangenten

Tangente die die funktion in eine bestimmten x punkt berührt

m (steigung) errechnen indem man x in die erste abletung einsetzt

$$ m= f'(-2)=\frac{(-2)^2-(-2)-1}{(-2-0,5)^2}=\frac{4}{5} $$

y brecrechnen indem man x in funktion einsetzt

$$ y=f(-2)=\frac{(-2)^2-4(-2)+3}{(-2)-0,5}=-6 $$

t brechnen

$$ -6=\frac{4}{5}(-2)+t\\ t=-\frac{22}{5} $$

funktion aufstellen

$$ f(x)=\frac{4}{5}x-\frac{22}{5} $$

Steigungsverhalten montonioe verhalten

Die intervalle werden durch z.b. definitions lücken oder nullstellen

Deflücke = ${1}$ Nullstellen = ${0}$

$$ f(x)=\frac{2x^2}{(x-1)^2}\\ f'(x)=\frac{-4x^2+4x}{(x-1)^2} $$

x f'(x) - -1 + 0,5 - 2 1 NaN 0 0

interwalle

$$ \begin{align*} I_1 &]& -\infty&;0 &[ & FSM\\ I_2 &]& 0&;1 &[ &SSM\\ I_2 &]& 1&;\infty &[ &FSM\\ \end{align*} $$

Verhalten im unendlichen

in $\infty$ und $-\infty$ I'Hospital Nutzen

$$ f(x)=\frac{2x^2}{(x-1)^2} $$

$$ \begin{align*} \lim_{x\to\infty}f(x)=&\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2}{(x-1)^2}&=\frac{\infty}{\infty}\\ \lim_{x\to\infty} \underset{L'H}{\overset{\mathrm{\frac{\infty}{\infty}}}{=}}& \lim_{x\to\infty}\frac{4x}{x(x-1)^2}&=\frac{\infty}{\infty}\\ \lim_{x\to\infty} \underset{L'H}{\overset{\mathrm{\frac{\infty}{\infty}}}{=}}& \lim_{x\to\infty}\frac{4}{2}&=2 \end{align*} $$

$$ \begin{align*} \lim_{x\to-\infty}f(x)=&\lim_{x\to-\infty}\frac{2x^2}{(x-1)^2}&=\frac{-\infty}{-\infty}\\ \lim_{x\to-\infty} \underset{L'H}{\overset{\mathrm{\frac{\infty}{\infty}}}{=}}& \lim_{x\to-\infty}\frac{4x}{x(x-1)^2}&=\frac{-\infty}{-\infty}\\ \lim_{x\to-\infty} \underset{L'H}{\overset{\mathrm{\frac{\infty}{\infty}}}{=}}& \lim_{x\to-\infty}\frac{4}{2}&=2 \end{align*} $$

I'Hospital

Zähler und nenner Funktion werden getrennt voneinander abgeleitet

wenn ableitung $\frac{0}{0}$ oder $\frac{\infty}{\infty}$ ergibt

wird die nenner und zähler funktion abgeleitet und dann erneut gelößt

$$ \lim_{x\to x_0}\frac{g(x)}{h(x)}=\lim_{x\to x_o}\frac{g'(x)}{g'(x)} \quad ... $$

Es gibt auch ausnahmen wo es nicht geht

bsp.

(Ln Kann nicht in den Negativen bereich gehen)

$$ \begin{align*} \lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}&\\ \lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x} &= \frac{\infty}{\infty}\\ \lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x} &\underset{L'H}{\overset{\mathrm{\frac{\infty}{\infty}}}{=}}\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x}}{1}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=\frac{1}{\infty}=0^+ \end{align*} $$

$$ \begin{align*} \lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x} \underset{L'H}{\overset{\mathrm{\frac{0}{0}}}{=}} \lim_{x\to0}\frac{e^x}{1}= \lim_{x\to0}e^x =1 \end{align*} $$

KuvenDiskussion $e$ funktion

Was ist $e$ Funktion

Fnuktion die $e^x$ enthält

$$ f(x)=e^x $$

Die allgemeine e-funktion unterschreitet die X achse niemals und nur wenn eine y achsen verschiebung vor liegt

Symetrie

Efinktionen besitzen keine Symetrie

$$ f(-x)=f(x)\\ f(x)=(x+1)*e^x\\ f(-x)=(-x+1)*e^{-x}=\frac{(1-x)}{e^x} \neq f(x) $$ $$ -f(x)=-(\frac{1-x}{e^x})=\frac{-1+x}{e^x}\neq f(x)\\ \implies KEINE \quad Symetrie $$

Nullstellen

$$ f(x)=0\ 0=\underbrace{(x+1)}{=-1}*\underbrace{e^x}{>0} $$

$$ \text{Fall 1.}:x+1 =0 \implies x_1=-1 \implies einfache NST(-1|0)\\ \text{Fall 2.}:e^x =0 \implies e^x>0 \implies \text{Keine Nst} $$

Vorzeichen Verteilung

x (x+1) e^x f(x) -1 - 0 + + + - +

$$ \text{für } > -1: f(x)>0\\ \text{für } < -1: f(x)<0 $$

Y-achsen Abschnitt

$$ f(0)=(0+1)e^0=11=1\implies S_y(0|1) $$

Asymtoten

$$ \lim_{x\to-\infty}(x+1)e^x=-\infty0= \lim_{x\to-\infty}\frac{(x+1)}{e^{-x}} \underset{L'H}{\overset{\mathrm{\frac{\infty}{\infty}}}{=}}\lim_{x\to\infty}\frac{1}{-e^{-x}}=\frac{1}{-\infty}=0^-\ A_1:y=0\ \lim_{x\to\infty}(x+1)e^x=\infty\infty=\infty\implies \text{Keine Weitere Asy.} $$

Abletungen

Ableitung von $e^x \implies e^x$

$$ \begin{align*} f(x)&=(x+1)e^x\ f'(x)&=1e^x+(x+1)*e^x\ &e \text{ Ausklammern} \ f'(x)&=e^x(1+(x+1))\ &\text{Zusammenfassen}\ f'(x)&=e^x(x+2)\ f'(x)&=(x+2)e^x\ \end{align} $$

zweite

$$ f''(x)=1*e^x+(x+2)*e^x\\ f''(x)=e^x(1+(x+2))\\ f''(x)=(x+3)*e^x $$

Monitonoieverhalten

$$ f'(x)=(x+2)e^x\ f'(x)=0\ 0=\underbrace{(x+2)}_{=-2}\underbrace{e^x}_{>0}\ x_2=-2 $$

x (x+2) e^x f'(x) -2 - 0 + + + - + VZW

$$ \qquad\\ I_1 ]-\infty;-2[ FSM\\ I_2 ]-2;\infty[ SSM $$

Extrempunkte

$$ TIP(-2|f(-2)) \implies TIP(-2|-1,34)\\ $$

Krümmungsverhalten

$$ f''(x)=0\ 0=\underbrace{(x+3)}{=-3}*\underbrace{e^x}{>0}\ x_1=-3 \implies NST_3(-3|0) $$

x f''(x) -3 - 0 + VZW

$$ I_3 = ]-\infty;-3 [ \text{Rechts Gekrm}\\ I_4 = ]-3;\infty [ \text{Links Gekrm}\\ $$

Wendepunkte

$$ \implies WEP(-3|f(-3)) \implies WEP(-3|0,1) $$