机器学习算法Python实现

一、线性回归

• 全部代码

1、代价函数

• 

• 其中：

• 下面就是要求出theta，使代价最小，即代表我们拟合出来的方程距离真实值最近

• 共有m条数据，其中代表我们要拟合出来的方程到真实值距离的平方，平方的原因是因为可能有负值，正负可能会抵消

• 前面有系数2的原因是下面求梯度是对每个变量求偏导，2可以消去

• 实现代码：

# 计算代价函数
def computerCost(X,y,theta):
    m = len(y)
    J = 0
    
    J = (np.transpose(X*theta-y))*(X*theta-y)/(2*m) #计算代价J
    return J

• 注意这里的X是真实数据前加了一列1，因为有theta(0)

2、梯度下降算法

• 代价函数对求偏导得到：
  
• 所以对theta的更新可以写为：
  
• 其中为学习速率，控制梯度下降的速度，一般取0.01,0.03,0.1,0.3.....
• 实现代码

# 梯度下降算法
def gradientDescent(X,y,theta,alpha,num_iters):
    m = len(y)      
    n = len(theta)
    
    temp = np.matrix(np.zeros((n,num_iters)))   # 暂存每次迭代计算的theta，转化为矩阵形式
    
    
    J_history = np.zeros((num_iters,1)) #记录每次迭代计算的代价值
    
    for i in range(num_iters):  # 遍历迭代次数    
        h = np.dot(X,theta)     # 计算内积，matrix可以直接乘
        temp[:,i] = theta - ((alpha/m)*(np.dot(np.transpose(X),h-y)))   #梯度的计算
        theta = temp[:,i]
        J_history[i] = computerCost(X,y,theta)      #调用计算代价函数
        print '.',      
    return theta,J_history  

3、均值归一化

• 目的是使数据都缩放到一个范围内，便于使用梯度下降算法
• 
• 其中 为所有此feture数据的平均值
• 可以是最大值-最小值，也可以是这个feature对应的数据的标准差
• 实现代码：

# 归一化feature
def featureNormaliza(X):
    X_norm = np.array(X)            #将X转化为numpy数组对象，才可以进行矩阵的运算
    #定义所需变量
    mu = np.zeros((1,X.shape[1]))   
    sigma = np.zeros((1,X.shape[1]))
    
    mu = np.mean(X_norm,0)          # 求每一列的平均值（0指定为列，1代表行）
    sigma = np.std(X_norm,0)        # 求每一列的标准差
    for i in range(X.shape[1]):     # 遍历列
        X_norm[:,i] = (X_norm[:,i]-mu[i])/sigma[i]  # 归一化
    
    return X_norm,mu,sigma

• 注意预测的时候也需要均值归一化数据

4、最终运行结果

• 代价随迭代次数的变化
  

5、使用scikit-learn库中的线性模型实现

• 导入包

from sklearn import linear_model
from sklearn.preprocessing import StandardScaler    #引入缩放的包

• 归一化

    # 归一化操作
    scaler = StandardScaler()   
    scaler.fit(X)
    x_train = scaler.transform(X)
    x_test = scaler.transform(np.array([1650,3]))

• 线性模型拟合

    # 线性模型拟合
    model = linear_model.LinearRegression()
    model.fit(x_train, y)

• 预测

    #预测结果
    result = model.predict(x_test)

二、逻辑回归

• 全部代码

1、代价函数

• 
• 可以综合起来为： 其中：
• 为什么不用线性回归的代价函数表示，因为线性回归的代价函数可能是非凸的，对于分类问题，使用梯度下降很难得到最小值，上面的代价函数是凸函数
• 的图像如下，即y=1时：

可以看出，当趋于1，y=1,与预测值一致，此时付出的代价cost趋于0，若趋于0，y=1,此时的代价cost值非常大，我们最终的目的是最小化代价值

• 同理的图像如下（y=0）：
  

2、梯度

• 同样对代价函数求偏导：
  可以看出与线性回归的偏导数一致
• 推到过程

3、正则化

• 目的是为了防止过拟合
• 在代价函数中加上一项，所以最终的代价函数为：
  
• 注意j是重1开始的，因为theta(0)为一个常数项，X中最前面一列会加上1列，所以乘积还是theta(0),feature没有关系，没有必要正则化
• 正则化后的代价：

# 代价函数
def costFunction(initial_theta,X,y,inital_lambda):
    m = len(y)
    J = 0
    
    h = sigmoid(np.dot(X,initial_theta))    # 计算h(z)
    theta1 = initial_theta.copy()           # 因为正则化j=1从1开始，不包含0，所以复制一份，前theta(0)值为0 
    theta1[0] = 0   
    
    temp = np.dot(np.transpose(theta1),theta1)
    J = (-np.dot(np.transpose(y),np.log(h))-np.dot(np.transpose(1-y),np.log(1-h))+temp*inital_lambda/2)/m   # 正则化的代价方程
    return J

• 正则化后的代价的梯度

# 计算梯度
def gradient(initial_theta,X,y,inital_lambda):
    m = len(y)
    grad = np.zeros((initial_theta.shape[0]))
    
    h = sigmoid(np.dot(X,initial_theta))# 计算h(z)
    theta1 = initial_theta.copy()
    theta1[0] = 0

    grad = np.dot(np.transpose(X),h-y)/m+inital_lambda/m*theta1 #正则化的梯度
    return grad  

4、S型函数（即）

• 实现代码：

# S型函数    
def sigmoid(z):
    h = np.zeros((len(z),1))    # 初始化，与z的长度一置
    
    h = 1.0/(1.0+np.exp(-z))
    return h

5、映射为多项式

• 因为数据的feture可能很少，导致偏差大，所以创造出一些feture结合
• eg:映射为2次方的形式:
• 实现代码：

# 映射为多项式 
def mapFeature(X1,X2):
    degree = 3;                     # 映射的最高次方
    out = np.ones((X1.shape[0],1))  # 映射后的结果数组（取代X）
    '''
    这里以degree=2为例，映射为1,x1,x2,x1^2,x1,x2,x2^2
    '''
    for i in np.arange(1,degree+1): 
        for j in range(i+1):
            temp = X1**(i-j)*(X2**j)    #矩阵直接乘相当于matlab中的点乘.*
            out = np.hstack((out, temp.reshape(-1,1)))
    return out