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二维凸包

凸多边形

凸多边形是指所有内角大小都在 $[0,\pi]$ 范围内的 简单多边形 。

凸包

在平面上能包含所有给定点的最小凸多边形叫做凸包。

其定义为：

对于给定集合 $X$ ，所有包含 $X$ 的凸集的交集 $S$ 被称为 $X$ 的 凸包 。

实际上可以理解为用一个橡皮筋包含住所有给定点的形态。

凸包用最小的周长围住了给定的所有点。如果一个凹多边形围住了所有的点，它的周长一定不是最小，如下图。根据三角不等式，凸多边形在周长上一定是最优的。

凸包的求法

常用的求法有 Graham 扫描法和 Andrew 算法，这里主要介绍 Andrew 算法。

Andrew 算法求凸包

首先把所有点以横坐标为第一关键字，纵坐标为第二关键字排序。

显然排序后最小的元素和最大的元素一定在凸包上。而且因为是凸多边形，我们如果从一个点出发逆时针走，轨迹总是“左拐”的，一旦出现右拐，就说明这一段不在凸包上。因此我们可以用一个单调栈来维护上下凸壳。

因为从左向右看，上下凸壳所旋转的方向不同，为了让单调栈起作用，我们首先 升序枚举 求出下凸壳，然后 降序 求出上凸壳。

求凸壳时，一旦发现即将进栈的点（ $P$ ）和栈顶的两个点（ $S_1,S_2$ ，其中 $S_1$ 为栈顶）行进的方向向右旋转，即叉积小于 $0$ ： $\overrightarrow{S_2S_1}\times \overrightarrow{S_1P}<0$ ，则弹出栈顶，回到上一步，继续检测，直到 $\overrightarrow{S_2S_1}\times \overrightarrow{S_1P}\ge 0$ 或者栈内仅剩一个元素为止。

通常情况下不需要保留位于凸包边上的点，因此上面一段中 $\overrightarrow{S_2S_1}\times \overrightarrow{S_1P}<0$ 这个条件中的“ $<$ ”可以视情况改为 $\le$ ，同时后面一个条件应改为 $>$ 。

代码实现

// stk[]是整型，存的是下标
// p[]存储向量或点
tp = 0;                       //初始化栈
std::sort(p + 1, p + 1 + n);  //对点进行排序
stk[++tp] = 1;
//栈内添加第一个元素，且不更新used，使得1在最后封闭凸包时也对单调栈更新
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
  while (tp >= 2  //下一行*被重载为叉积
         && (p[stk[tp]] - p[stk[tp - 1]]) * (p[i] - p[stk[tp]]) <= 0)
    used[stk[tp--]] = 0;
  used[i] = 1;  // used表示在凸壳上
  stk[++tp] = i;
}
int tmp = tp;  // tmp表示下凸壳大小
for (int i = n - 1; i > 0; --i)
  if (!used[i]) {
    //      ↓求上凸壳时不影响下凸壳
    while (tp > tmp && (p[stk[tp]] - p[stk[tp - 1]]) * (p[i] - p[stk[tp]]) <= 0)
      used[stk[tp--]] = 0;
    used[i] = 1;
    stk[++tp] = i;
  }
for (int i = 1; i <= tp; ++i)  //复制到新数组中去
  h[i] = p[stk[i]];
int ans = tp - 1;

根据上面的代码，最后凸包上有 $ans$ 个元素（额外存储了 $1$ 号点，因此 $h$ 数组中有 $ans+1$ 个元素），并且按逆时针方向排序。周长就是

$$ \sum_{i=1}^{ans}\left|\overrightarrow{h_ih_{i+1}}\right| $$

例题

UVA11626 Convex Hull

「USACO5.1」圈奶牛 Fencing the Cows

POJ1873 The Fortified Forest

POJ1113 Wall

「SHOI2012」信用卡凸包