diff --git "a/2024/11/29/13-\351\273\204\350\276\276\351\207\221\350\236\215\345\255\246/index.html" "b/2024/11/29/13-\351\273\204\350\276\276\351\207\221\350\236\215\345\255\246/index.html" index 13d6bc8..a2f24df 100644 --- "a/2024/11/29/13-\351\273\204\350\276\276\351\207\221\350\236\215\345\255\246/index.html" +++ "b/2024/11/29/13-\351\273\204\350\276\276\351\207\221\350\236\215\345\255\246/index.html" @@ -1360,7 +1360,7 @@

金融监管国际协调的未来发展

-

黄达金融学笔记

https://codefoxs.github.io/2024/11/29/13-黄达金融学/

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统计学导论曾五一
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统计学导论曾五一

-

统计学导论申博复习

-
- - -

1 基本概念

（1）什么是统计学

统计是人们认识客观世界总体数量变动关系和变动规律的活动的总称，是人们认识客观世界的一种有力工具。

-

统计学是在统计实践的基础上产生并逐步发展起来的一门科学，是研究如何测定、收集、整理、归纳和分析反映客观现象总体数量的数据，以帮助人们正确认识客观世界数量规律的方法论科学。

-

主要流派包括：政治算术派（威廉·配第）、国势学派（阿亨瓦尔）、社会统计学派（克尼斯）、数理统计学派（凯特勒）：细分为经典学派、贝叶斯学派

-

（2）统计数据及其类型

    -
  • 数据的计量尺度
    • -
-

定类尺度、定序尺度、定距尺度、定比尺度

-
    -
  • 数据类型
    • -
-

横截面数据（静态数据）：在同一时间对同一总体内不同单位的数量进行观察而获得的数据

-

时间序列数据（动态数据）：在不同时间对同一总体的数量表现进行观察而获得的数据

-

面板数据：同时在时间和横截面空间上取得的二维数据

-
    -
  • 数据的表现形式
    • -
-

绝对数、相对数、平均数

-

（3）总体、样本、参数、统计量和变量

统计总体：根据一定目的确定所要研究的事物的全体，是由客观存在的、具有某种相同性质的许多个别事物构成的整体

-

总体单位（简称单位）：组成总体的各个个体

-

根据单位数量，总体可以分为有限总体和无限总体

-

样本：基于一定的方式，从由作为研究对象的事物全体构成的总体中抽取的、具有代表性的部分单位

-

总体参数：总体分布的数量特征，抽样统计推断的对象

-

样本统计量：样本的函数，用以估计和推断总体有关的参数

-

变量：用以解释现象的某一数量特征的概念

-

变量值：变量的具体取值

-

连续型变量：在数轴上取值连续不断的变量

-

离散型变量：仅可通过计数获得的变量，通常取值为整数值

-

（4）数据的来源

数据主要可分为一手数据与二手数据

-

一手数据来源包括但不限于直接观察、统计调查、实验记录、人员采访等，二手数据来源包括但不限于统计年鉴、相关期刊、有关网站、数据库等

-

（5）数据的预处理

    -
  1. 数据清洗
    2. -
  2. 数据合并
    3. -
  3. 数据转换
    4. -
  4. 数据检查
    5. -
-

（6）分类数据的整理与图示

统计分组：根据统计研究的目的和客观现象的内在特点，按某个标志（或几个标志）把被研究的总体划分为若干个不同性质的组。统计分组的对象是总体。统计标志可以是品质标志，也可以是数量标志。

-
    -
  • 统计分组的种类
    • -
-
    -
  1. 按分组标志的多少：简单分组和复合分组
    2. -
  2. 按分组的标志性质不同：数量分组（定距尺度和定比尺度）和品质分组（定类尺度和定序尺度）
    3. -
-
    -

  • 统计分组的原则：穷尽原则和互斥原则

    -
    • -

  • 品质分组的方法：需要制定一套标准的分类指引

    -
    • -

  • 数量分组的方法：

    -
      -

    1. 单项式分组和组距式分组

      -
        -

      1. 单项式分组（1、2、3、4）

        -
        2. -

      2. 组距式分组（1、2、3、4个及以上 或 100以下、100-200、200以上）

        -

        组限：一组数据中上下限的距离，相邻两组的界限。

        -
          -
        1. 间断型组距分组（1、2、3、4个及以上）：组限不相连的数量分组方法
          2. -
        2. 连续型组距分组（100以下、100-200、200以上）：组限相连的数量分组方法，一般要求左闭右开
          3. -
        -
        3. -
      -
      2. -

    2. 等距分组和异距分组

      -
      3. -
    -
    • -

  • 斯特杰斯经验公式：$n = 1 + 3.3\lg N$，$d = R / n = (x_{max} - x_{min}) / (1 + 3.3 \lg N)$

    -
    • -

  • 统计数据的显示

    -
      -
    1. 统计表
      1.
      2. -
    2. 统计图
      3. -
    -
    • -
-

统计学导论曾五一

https://codefoxs.github.io/2024/11/30/14-曾五一统计学/

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CodeFox

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2024-11-30

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2024-12-23

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\ No newline at end of file diff --git "a/2024/11/30/14-\347\273\237\350\256\241\345\255\246/index.html" "b/2024/11/30/14-\347\273\237\350\256\241\345\255\246/index.html" new file mode 100644 index 0000000..7b925ad --- /dev/null +++ "b/2024/11/30/14-\347\273\237\350\256\241\345\255\246/index.html" @@ -0,0 +1,426 @@ + +统计学申博复习 - CodeFox
统计学申博复习
发表更新经济学25 分钟读完 (大约3748个字)0次访问

统计学申博复习

+

统计学导论申博复习，参考书目：

+

《统计学导论》第四版：曾五一、肖红叶

+

《统计学》第八版：贾俊平、何晓群、金勇进

+
+ + +

1 基本概念

（1）什么是统计学

统计学是收集、处理、分析、解释数据并从数据中得出结论的科学

+

严格来说不是数学的分支，并且不是独立学科

+

主要流派包括：政治算术派（威廉·配第）、国势学派（阿亨瓦尔）、社会统计学派（克尼斯）、数理统计学派（凯特勒）：细分为经典学派、贝叶斯学派

+

（2）统计数据及其类型

    +
  • 计量尺度来看
    • +
+

分类数据（定类尺度和定序尺度）、数值型数据（定距尺度和定比尺度）（贾俊平）

+
+

数据的尺度包括：定类尺度、定序尺度、定距尺度、定比尺度（曾五一）

+
+
    +
  • 收集方法来看
    • +
+

观测数据：通过观察或观测收集到的数据

+

实验数据：在实验中控制实验对象得到的数据

+
    +
  • 从现象与时间关系来看
    • +
+

横截面数据（静态数据）：在同一时间对同一总体内不同单位的数量进行观察而获得的数据

+

时间序列数据（动态数据）：在不同时间对同一总体的数量表现进行观察而获得的数据

+

面板数据：同时在时间和横截面空间上取得的二维数据

+
    +
  • 数据的表现形式
    • +
+

绝对数、相对数、平均数

+
+ +

（3）总体、样本、参数、统计量和变量

统计总体：根据一定目的确定所要研究的事物的全体，是由客观存在的、具有某种相同性质的许多个别事物构成的整体

+

总体单位（简称单位）：组成总体的各个个体

+

根据单位数量，总体可以分为有限总体和无限总体

+

样本：从总体中抽取的一部分元素的集合

+

总体参数：描述统计特征的概括性数字度量

+

样本统计量：样本的函数，用来描述样本特征的概括性数字度量

+
+ +

变量：说明现象某种特征的概念

+
    +
  • 分类变量
    • +
  • 数值变量
      +
    • 连续型变量：在数轴上取值连续不断的变量
      • +
    • 离散型变量：仅可通过计数获得的变量，通常取值为整数值
      • +
    +
    • +
+

变量值：变量的具体取值

+

（4）一个案例

+ +

（5）数据的来源

数据主要可分为一手数据与二手数据

+

一手数据来源包括但不限于直接观察、统计调查、实验记录、人员采访等

+

二手数据来源包括但不限于统计年鉴、相关期刊、有关网站、数据库等

+

（6）概率抽样与非概率抽样

概率抽样：也称随机抽样，是指遵循随机原则进行的抽样，总体中每个单位都有一定的机会被选入样本。这个概率不一定要相等，但是是可计算的。（等概率抽样和不等概率抽样）

+
    +
  • 简单随机抽样：从包括总体 $N$ 个单位的抽样框中随机地、一个个地抽取 $n$ 个单位作为样本，每个单位的入样概率是相等的。（1948年的总统选举获胜的方法）
    • +
  • 分层抽样
    • +
  • 整群抽样
    • +
  • 系统抽样
    • +
  • 多阶段抽样
    • +
+

非概率抽样：抽取样本时不是依据随机原则，而是根据研究目的对数据的要求，采用某种方式从总体中抽出部分单位对其实施调查。

+
    +
  • 方便抽样
    • +
  • 判断抽样
    • +
  • 自愿样本（文学文摘的方式，曾经在1916年到1932年间成功预测当选的总统）
    • +
  • 滚雪球抽样
    • +
  • 配额抽样（盖洛普公司的方式，1936年的总统选举获胜的方法）
    • +
+

（7）抽样误差与非抽样误差

抽样误差：由抽样随机性引起的样本结果与总体真值之间的差异，是可计算的

+

非抽样误差：除了抽样误差外，由其他原因引起的样本观测结果与总体真值之间的差异

+
    +
  • 抽样框误差：抽样框不全或者抽样框未更新
    • +
  • 回答误差
      +
    • 理解误差
      • +
    • 记忆误差
      • +
    • 有意识误差
      • +
    +
    • +
  • 无回答误差
    • +
  • 调查员误差
    • +
  • 测量误差
    • +
+

（8）数据的预处理

    +
  1. 数据审核
    2. +
  2. 数据筛选
    3. +
  3. 数据排序
    4. +
+

（9）分类数据的整理与图示

统计分组：根据统计研究的目的和客观现象的内在特点，按某个标志（或几个标志）把被研究的总体划分为若干个不同性质的组。统计分组的对象是总体。统计标志可以是品质标志，也可以是数量标志。

+
    +
  • 统计分组的种类
    • +
+
    +
  1. 按分组标志的多少：简单分组和复合分组
    2. +
  2. 按分组的标志性质不同：数量分组（定距尺度和定比尺度）和品质分组（定类尺度和定序尺度）
    3. +
+
    +

  • 统计分组的原则：穷尽原则和互斥原则

    +
    • +

  • 品质分组的方法：需要制定一套标准的分类指引

    +
    • +

  • 数量分组的方法：

    +
      +

    1. 单项式分组和组距式分组

      +
        +

      1. 单项式分组（1、2、3、4）

        +
        2. +

      2. 组距式分组（1、2、3、4个及以上 或 100以下、100-200、200以上）

        +

        组限：一组数据中上下限的距离，相邻两组的界限。

        +
          +
        1. 间断型组距分组（1、2、3、4个及以上）：组限不相连的数量分组方法
          2. +
        2. 连续型组距分组（100以下、100-200、200以上）：组限相连的数量分组方法，一般要求左闭右开
          3. +
        +
        3. +
      +
      2. +

    2. 等距分组和异距分组

      +
      3. +
    +
    • +

  • 斯特杰斯经验公式：$n = 1 + 3.3\lg N$，$d = R / n = (x_{max} - x_{min}) / (1 + 3.3 \lg N)$

    +
    • +

  • 统计数据的显示：统计表和统计图

    +
    • +
+

（10）集中趋势的度量

    +
  • 平均数
      +
    • 简单平均数
      • +
    • 加权平均数
      • +
    • 调和平均数
      • +
    • 几何平均数
      • +
    +
    • +
  • 中位数
    • +
  • 分位数
    • +
  • 众数
    • +
+

（11）离散程度的度量

    +
  • 全距
    • +
  • 四分位距
    • +
  • 方差和标准差
    • +
  • 离散系数
    • +
  • 标准分数（z-score）
    • +
+

（12）分布的形状

    +

  • 偏度系数

    +

    $SK=\frac{n}{(n-1)(n-2)}\sum\left(\frac{x_i-\overline{x}}{s}\right)^3$

    +
    • +

  • 峰度系数

    +

    $K=\frac{n(n+1)}{(n-1)(n-2)(n-3)}\sum\left(\frac{x_i-\overline{x}}{s}\right)^4-\frac{3(n-1)^2}{(n-2)(n-3)}$

    +
    • +
+

2 统计量及抽样分布

（1）统计量的定义

+ +

（2）常用统计量

+ +

（3）抽样分布

    +

  • 样本均值分布：近似服从正态分布，$\overline{x} \overset{.}{\sim} N(\mu, \sigma ^2 / n)$

    +
    • +

  • 样本方差分布

    +
    • +

  • 样本比率分布

    +
    • +

  • 卡方分布：若 $X_1, X_2, \cdots , X_n$ 是独立同分布于正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的随机变量，且 $\chi^{2} = X_{1}^2 + X_{2}^2 + \cdots + X_{n}^2$，那么 $\chi^2 \sim \chi^2(n)$

    +
      +
    • $E(\chi^2) = n$
      • +
    • $D(\chi^2) = 2n$
      • +
    • $x_1, x_2, \cdots x_n$ 是来自正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的一个样本，$\overline{x}, s^2$ 分别是他们的均值和方差，则
        +
      • $\overline{x}$ 和 $s^2$ 独立
        • +
      • $\overline{x} \sim N(\mu, \sigma^2/n)$，标准化后，$\frac{\overline{x} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0, 1)$
        • +
      • $\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$
        • +
      +
      • +
    +
    • +

  • $t$ 分布：若$X_1 \sim N(0, 1), X_2 \sim \chi^2(n)$，那么 $t = \frac{X_1}{\sqrt{X_2/n}} \sim t(n)$

    +
    • +

  • 若$t \sim t(n)$，则$t^2 \sim F(1, n)$

    +
      +

    • $x_1, x_2, \cdots x_n$是来自正态总体$N(\mu, \sigma^2)$的一个样本，$\overline{x}, s^2$分别是他们的均值和方差，则有$t = \frac{\sqrt{n} (\overline{x} - \mu)}{s} = \frac{\overline{x} - \mu}{s/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$ （注意变形）

      +
      • +

    • $x_1, x_2, \cdots x_m$来自正态总体$N(\mu_1, \sigma_1^2)$，$y_1, y_2, \cdots y_n$来自正态总体$N(\mu_2, \sigma_2^2)$，如果总体中$\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$，那么样本中满足，$\frac{(\overline{x}-\overline{y})-(\mu_1 - \mu_2)}{s_w^2\sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}} \sim t(m + n -2)$，其中，$s_w$是两个样本的方差的加权平均，即$s_w=\frac{(m-1)s_x + (n-1)s_n}{m+n-2} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{m}(x_i-\overline)^2 + \sum\limits_{i=1}^{n}(y_i-\overline)^2}{m+n-2}$

      +
      • +
    +
    • +

  • $F$ 分布：若 $X_1 \sim \chi^2(m), X_2 \sim \chi^2(n)$ ，$F = \frac{X_1/m}{X_2/n}$，那么 $F \sim F(m, n)$

    +
      +
    • 服从$F$分布的随机变量的倒数依然服从$F$分布，$F \sim F(m, n), 1/F \sim F(n, m)$
      • +
    • $F_{\alpha}(m, n) = \frac{1}{F_{1-\alpha}(n, m)}$
      • +
    • $x_1, x_2, \cdots x_m$来自正态总体$N(\mu_1, \sigma_1^2)$，$y_1, y_2, \cdots y_n$来自正态总体$N(\mu_2, \sigma_2^2)$，那么有，$F = \frac{s_x^2/\sigma_1^2}{s_y^2/\sigma_2^2} \sim F(m-1, n-1)$（可以注意到，这个表达式与$\mu$无关）
      • +
    +
    • +
+

3 参数估计

（1）基本概念

参数估计：用样本统计量去估计总体参数（基本原理）

+

估计量：用来估计参数的统计量（随机变量）

+

估计值：根据一个具体的样本估计出来的值（常数）

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
名词概念
点估计用样本一个统计量去估计总体未知参数（包括矩估计和极大似然估计）
区间估计最后求出一个区间，这个区间包含真实值的概率称为置信水平
矩估计点估计的一种，用样本的中心距或者原点矩替换总体的中心距或者原点矩
极大似然估计点估计的一种，假装自己抽到了最有可能的结果，调整参数 $\theta$ 让这组样本被抽到的可能性（似然函数$L(\theta)$）最大
置信区间估计对未知参数的区间估计
预测区间估计对预测值的区间估计
无偏性/无偏估计最终估计量的期望 $E(\hat{\theta})$ 等于实际值 $\theta$ ，估计值围绕着实际值上下波动，没有系统误差
有效性在无偏性的基础上，减小波动的幅度（方差），越小越有效
一致性/相合性/相合估计当样本量足够大的时候，估计值朝着真实值接近，则称为相合估计
均方误差$MSE$$E(\hat{\theta}-\theta)^2=Var(\hat{\theta})+(E\hat{\theta}-\theta)^2$ 前面方差衡量有效性，后面距离中心平方衡量无偏性
+

点估计：$x_1, x_2, \cdots , x_n$ 是来自总体的一个样本，总体中含有未知参数 $\theta$，那么利用样本的一个统计量 $\hat{\theta}=\hat{\theta}(x_1, x_2, \cdots , x_n)$ 来估计总体未知参数 $\theta$ 的方法叫做点估计。

+

区间估计：在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间通常由样本统计量加减估计误差得到。置信区间对应的置信水平就是估算得到总体参数 $\theta$ 落入区间的概率。

+
+ +

（2）评价指标

    +
  • 无偏性：$E(\hat{\theta}) = \theta$
    • +
  • 有效性：若 $\hat{\theta}_1,\hat{\theta}_2$ 是 $\theta$ 的两个无偏估计，那么若 $Var(\hat{\theta}_1) < Var(\hat{\theta}_2)$，我们称 $\hat{\theta}_1$ 比 $\hat{\theta}_2$ 有效
    • +
  • 一致性（相合性）：设 $\theta \in \Theta$，$\hat{\theta} = \hat{\theta}_n(x_1, x_2, \cdots, x_n)$ 是 $\theta$ 的一个估计量，$n$ 是样本容量，如果 $\forall \varepsilon>0$，当 $n\rightarrow\infty$ 时，总有 $\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}P(|\hat{\theta}-\theta|\geq \epsilon)=0$，那么称 $\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的相合估计
    • +
+

（3）常见的参数估计

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
id待估参数条件枢轴量
1单个正态总体 $\mu$$\sigma$ 已知$G=\frac{\overline{x}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0, 1)$
2单个正态总体 $\mu$$\sigma$ 未知$G=\frac{\overline{x}-\mu}{s/\sqrt{n}} \sim t(n - 1)$，OLS
3单个正态总体 $\sigma^2$$\mu$ 未知$G=\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$
4二点分布 $p$大样本，$X \sim b(1, p)$$G=\frac{\overline{x}-p}{\sqrt{p(1-p)/n}} \overset{.}{\sim} N(0, 1)$
5两个独立正态总体$\mu_1 - \mu_2$$\sigma_1, \sigma_2$ 已知$G = \frac{\overline{x} - \overline{y} - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{m} + \frac{\sigma_2^2}{n}}} \sim N(0, 1)$
6两个独立正态总体$\mu_1 - \mu_2$$\sigma_1=\sigma_2=\sigma = ?$$G = \sqrt {\frac{{mn(m + n - 2)}}{{m + n}}} \frac{{\bar x - \bar y - ({\mu _1} - {\mu _2})}}{{\sqrt {(m - 1)s_x^2 + (n - 1)s_y^2} }} \sim t(m+n-2)$
7两个独立正态总体$\mu_1 - \mu_2$$\sigma_1/\sigma_2=c$$G = \sqrt {\frac{{mn(m + n - 2)}}{{mc + n}}} \frac{{\bar x - \bar y - ({\mu _1} - {\mu _2})}}{{\sqrt {(m - 1)s_x^2 + (n - 1)s_y^2/c} }} \sim t(m+n-2)$
8两个独立正态总体$\mu_1 - \mu_2$$\sigma_1, \sigma_2$ 没啥信息，但是 $m, n$ 很大$G = \frac{\overline{x} - \overline{y} - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{\frac{s_1^2}{m} + \frac{s_2^2}{n}}} \overset{.}{\sim} N(0, 1)$
9两个独立正态总体$\mu_1 - \mu_2$$\sigma_1, \sigma_2$ 没啥信息， $m, n$ 也很小$G = \frac{\overline{x} - \overline{y} - (\mu_1 - \mu_2)}{s_0} \overset{.}{\sim} t(l), s_0=\sqrt{\frac{s_x^2}{m}+\frac{s_y^2}{n}}, l=s_0^4 / \left(\frac{s_x^4}{m^2(m-1)}+\frac{s_y^4}{n^2(n-1)} \right)$
10两个独立正态总体$\sigma_1^2/\sigma_2^2$无$G = \frac{s_x^2/\sigma_1^2}{s_y^2/\sigma_2^2} \sim F(m-1, n-1)$
+

估计思路（id 排序）：

+
    +
  1. 通过已有样本的分布 $\overline{x} \sim N(\mu, \sigma^2)$ 进行标准化得到
    2. +
  2. $\sigma$ 未知，应该用 $s$ 去替代 $\sigma$ ，得到的分布是 $t$ 分布，$\frac{\overline{x}-\mu}{s/\sqrt{n}} \sim t(n - 1)$
    3. +
  3. 涉及到方差的，单正态总体卡方分布，两正态总体 $F$ 分布，此处卡方分布。利用性质，$\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-1)$
    4. +
  4. 此处是由中心极限定理得到的，二点分布样本均值服从如下分布，$\overline{x} \sim N(p, \frac{p(1-p)}{n})$，标准化即可
    5. +
  5. 因为独立，所以有，$\overline{x} - \overline{y} \sim N(\mu_1 - \mu_2, \sigma_1^2/m+\sigma_2^2/n)$，标准化即可
    6. +
  6. 因为独立，所以有，$\overline{x} - \overline{y} \sim N(\mu_1 - \mu_2, (1/m+1/n)\sigma^2)$，标准化之后是有$\sigma$的，但是通过下式，$\frac{(m-1)s_x^2}{\sigma^2}+ \frac{(n-1)s_y^2}{\sigma^2} =\frac{(m-1)s_x^2+(n-1)s_y^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(m+n-2)$（卡方分布的可加性），将方差进行替换，得到一个 $t$ 分布（ $t$ 分布是标准正态分布除以根号下卡方分布除以自由度）
    7. +
  7. 构造思路同上，最后保留 $\sigma_1$，$\frac{(m-1)s_x^2+(n-1)s_y^2/c}{\sigma_1^2}\sim \chi^2(m+n-2)$，然后操作同上
    8. +
  8. 因为基本上任何分布，样本量足够大的时候都朝着正态分布趋近
    9. +
  9. 死记硬背吧，这个还在研究中
    10. +
  10. 两个卡方分布变量$\frac{(m-1)s_x^2}{\sigma_1^2}\sim \chi^2(m-1)$、$\frac{(n-1)s_y^2}{\sigma_2^2}\sim \chi^2(n-1)$除以各自的自由度（$m-1$和$n-1$）后再相除是$F$分布
    11. +
+

统计学申博复习

https://codefoxs.github.io/2024/11/30/14-统计学/

作者

CodeFox

发布于

2024-11-30

更新于

2024-12-27

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