From 899de88f93fab102ba58ac838f929ad8950cebad Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: msantos Date: Sat, 2 Feb 2019 13:38:40 +0100 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?updates=20y=20se=20fin=C3=AD?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- teoria/Tema11.Rmd | 86 +++++++++++++++++++++++++++--------- teoria/Tema11.html | 48 ++++++++++++++------ teoria/TemaX.Rmd | 107 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++----- teoria/TemaX.html | 63 +++++++++++++++++++------- 4 files changed, 244 insertions(+), 60 deletions(-) diff --git a/teoria/Tema11.Rmd b/teoria/Tema11.Rmd index 55061956..e76386da 100644 --- a/teoria/Tema11.Rmd +++ b/teoria/Tema11.Rmd @@ -179,7 +179,7 @@ Si $X$ es una v.a. discreta y $g:D_X\longrightarrow \mathbb{R}$ una función, $$ ## Distribuciones en `R` -Dada cualquier variable aleatoria, $va$, `R` nos da cuatro funciones para poder trabajar con ellas: +Dada cualquier variable aleatoria, `va`, `R` nos da cuatro funciones para poder trabajar con ellas: - `dva(x,...)`: Función de densidad o de probabilidad $f(x)$ de la variable aleatoria para el valor $x$ del dominio de definición. - `pva(x,...)`: Función de distribución $F(x)$ de la variable aleatoria para el valor $x$ del dominio de definición. @@ -197,9 +197,7 @@ Dada cualquier variable aleatoria, en `Python` tenemos las mismas cuatro funcion # Distribuciones discretas más conocidas -## Distribuciones discretas - -Distribución discreta +## Distribuciones discretas - [Bernoulli](https://es.wikipedia.org/wiki/Distribución_de_Bernoulli) - [Binomial](https://es.wikipedia.org/wiki/Distribución_binomial) @@ -215,7 +213,7 @@ $$X\sim \text{Be}(p)$$ donde $p$ es la probabilidad de éxito y $q = 1-p$ es la probabilidad de fracaso. -- El **espacio muestral** de $X$ será $X(\Omega) = \{0,1\}$ +- El **dominio** de $X$ será $D_X = \{0,1\}$ - La **función de densidad** vendrá dada por $$f(k) = p^k(1-p)^{1-k} = \left\{ \begin{array}{rl} p & \text{si } k=1 @@ -251,7 +249,7 @@ $$X\sim \text{B}(n,p)$$ donde $p$ es la probabilidad de éxito y $q = 1-p$ es la probabilidad de fracaso -- El **espacio muestral** de $X$ será $X(\Omega) = \{0,1,2,\dots,n\}$ +- El **dominio** de $X$ será $D_X = \{0,1,2,\dots,n\}$ - La **función de densidad** vendrá dada por $$f(k) = {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k} $$ ## Distribución Binomial @@ -285,7 +283,7 @@ Si $X$ es variable aleatoria que mide el "número de repeticiones independientes $$X\sim \text{Ge}(p)$$ donde $p$ es la probabilidad de éxito y $q = 1-p$ es la probabilidad de fracaso -- El **espacio muestral** de $X$ será $X(\Omega) = \{0,1,2,\dots\}$ o bien $X(\Omega) = \{1,2,\dots\}$ en función de si empieza en 0 o en 1 +- El **dominio** de $X$ será $D_X= \{0,1,2,\dots\}$ o bien $D_X = \{1,2,\dots\}$ en función de si empieza en 0 o en 1, respectivamente - La **función de densidad** vendrá dada por $$f(k) = (1-p)^{k}p \qquad\text{ si empieza en 0}$$ $$f(k) = (1-p)^{k-1}p \qquad\text{ si empieza en 1}$$ @@ -300,14 +298,24 @@ $$f(k) = (1-p)^{k-1}p \qquad\text{ si empieza en 1}$$ \right.$$ - **Esperanza** $E(X) = \frac{1-p}{p}$ si empieza en 0 y E$(X) = \frac{1}{p}$ si empieza en 1 - **Varianza** $Var(X) = \frac{1-p}{p^2}$ -- Propiedad de la falta de memoria. Si $X$ es una v.a. \text{Ge}(p), entonces, $$p\{X\ge m+n:\ X\ge n\} = p\{X\ge m\}\ \forall m,n=0,1,\dots$$ +- Propiedad de la falta de memoria. Si $X$ es una v.a. $\text{Ge}(p)$, entonces, $$p\{X\ge m+n:\ X\ge n\} = p\{X\ge m\}\ \forall m,n=0,1,\dots$$ + +## Distribución Geométrica + +```{r, echo = FALSE} +par(mfrow = c(1,2)) +plot(dgeom(1:20,0.5),col = "purple", xlab = "", ylab = "", main = "Función de probabilidad de una Ge(0.5)") +plot(pgeom(1:20,0.5),col = "purple", xlab = "", ylab = "", main = "Función de distribución de una Ge(0.5)") +par(mfrow= c(1,1)) + +``` ## Distribución Hipergeométrica -Consideremos el experimento "extraer a la vez (o una detrás de otra, sin retornarlos) $n$ objetos donde hay $N$ de tipo A y $M$ de tipo B". Si $X$ es variable aleatoria que mide el "número de objetos del tipo A", diremos que $X$ se distribuye como una Hipergeométrica con parámetro $N,M,n$ +Consideremos el experimento "extraer a la vez (o una detrás de otra, sin retornarlos) $n$ objetos donde hay $N$ de tipo A y $M$ de tipo B". Si $X$ es variable aleatoria que mide el "número de objetos del tipo A", diremos que $X$ se distribuye como una Hipergeométrica con parámetros $N,M,n$ $$X\sim \text{H}(N,M,n)$$ -- El **espacio muestral** de $X$ será $X(\Omega) = \{0,1,2,\dots,N\}$ (en general) +- El **dominio** de $X$ será $D_X = \{0,1,2,\dots,N\}$ (en general) - La **función de densidad** vendrá dada por $$f(k) = \frac{{N\choose k}{M\choose n-k}}{N+M\choose n}$$ ## Distribución Hipergeométrica @@ -322,6 +330,16 @@ $$X\sim \text{H}(N,M,n)$$ - **Esperanza** $E(X) = \frac{nN}{N+M}$ - **Varianza** $Var(X) = \frac{nNM}{(N+M)^2}\cdot\frac{N+M-n}{N+M-1}$ +## Distribución Hipergeométrica + +```{r, echo = FALSE} +par(mfrow = c(1,2)) +plot(dhyper(1:30,10,20,10),col = "purple", xlab = "", ylab = "", main = "Función de probabilidad de una H(20,10,30)") +plot(phyper(1:30,10,20,10),col = "purple", xlab = "", ylab = "", main = "Función de distribución de una H(20,10,30)") +par(mfrow= c(1,1)) + +``` + ## Distribución de Poisson Si $X$ es variable aleatoria que mide el "número de eventos en un cierto intervalo de tiempo", diremos que $X$ se distribuye como una Poisson con parámetro $\lambda$ @@ -329,7 +347,7 @@ Si $X$ es variable aleatoria que mide el "número de eventos en un cierto interv $$X\sim \text{Po}(\lambda)$$ donde $\lambda$ representa el número de veces que se espera que ocurra el evento durante un intervalo dado -- El **espacio muestral** de $X$ será $X(\Omega) = \{0,1,2,\dots\}$ +- El **dominio** de $X$ será $D_X = \{0,1,2,\dots\}$ - La **función de densidad** vendrá dada por $$f(k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$$ @@ -345,6 +363,16 @@ donde $\lambda$ representa el número de veces que se espera que ocurra el event - **Esperanza** $E(X) = \lambda$ - **Varianza** $Var(X) = \lambda$ +## Distribución de Poisson + +```{r, echo = FALSE} +par(mfrow = c(1,2)) +plot(dpois(1:20,2),col = "purple", xlab = "", ylab = "", main = "Función de probabilidad de una Po(2)") +plot(ppois(1:20,2),col = "purple", xlab = "", ylab = "", main = "Función de distribución de una Po(2)") +par(mfrow= c(1,1)) + +``` + ## Distribuciones discretas en R R conoce las distribuciones de probabilidad más importantes. @@ -435,7 +463,7 @@ Una v.a. continua $X$ tiene distribución uniforme sobre el intervalo real $[a,b Modela el elegir un elemento del intervalo $[a,b]$ de manera equiprobable -## Distribución uniforme +## Distribución Uniforme - El **dominio** de $X$ será $D_X = [a,b]$ @@ -450,10 +478,16 @@ Modela el elegir un elemento del intervalo $[a,b]$ de manera equiprobable - **Esperanza** $E(X) = \frac{a+b}{2}$ - **Varianza** $Var(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$ +## Distribución Uniforme + +```{r, echo = FALSE} +plot(punif(1:20,min = 0, max = 20),col = "purple", xlab = "", ylab = "", main = "Función de densidad de una U(0,20)", type = "o") +``` + ## Distribución Exponencial -Una v.a. $X$ tiene distribución exponencial de parámetro $\lambda$, $X\sim\text{Exp}(\lambda)$ si su función de densidad es $$f_X(x)=\left\{ +Una v.a. $X$ tiene distribución exponencial de parámetro $\lambda$, $X\sim\text{Exp}(\lambda)$, si su función de densidad es $$f_X(x)=\left\{ \begin{array}{rl} 0 & \text{si } x\le 0 \\ \lambda\cdot e^{-\lambda x} & \text{si }x>0 @@ -478,6 +512,12 @@ Una v.a. $X$ tiene distribución exponencial de parámetro $\lambda$, $X\sim\tex - **Esperanza** $E(X) = \frac{1}{\lambda}$ - **Varianza** $Var(X) = \frac{1}{\lambda^2}$ +## Distribución Exponencial + +```{r, echo = FALSE} +plot(pexp(1:20,0.2),col = "purple", xlab = "", ylab = "", main = "Función de densidad de una Exp(0.2)", type = "o") +``` + ## Distribución Normal @@ -496,7 +536,19 @@ $$f_Z(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}\quad \forall z\in\mathbb{R}$$ En particualr, si $Z$ sigue una distribución estándar, - **Esperanza** $E(X) = 0$ -- **Varianza** $Var(X) = 1$ +- **Varianza** $Var(X) = 1$ + +## Distribución Normal + +```{r, echo = FALSE} +z_scores <- seq(-10, 10, by = .1) +dvalues <- dnorm(z_scores) +plot(dvalues, ylab = "", xlab= "", + xaxt = "n", + type = "l", + col = "purple", + main = "Función de densidad de una N(0,1)") +``` ## Distribución Normal @@ -521,12 +573,6 @@ Si a la hora de llamar a alguna de las 4 funciones siguientes: `dnorm`, `pnorm`, Es decir, R interpreta $\mu = 0$ y $\sigma = 1$ -## Distribución Khi cuadrado - -## Distribución t de Student - -## Distribución F de Fisher - ## Distribuciones continuas en R Distribución | Instrucción | Parámetros diff --git a/teoria/Tema11.html b/teoria/Tema11.html index 2641c45d..17e7abf2 100644 --- a/teoria/Tema11.html +++ b/teoria/Tema11.html @@ -282,7 +282,7 @@

Distribuciones en R

-

Dada cualquier variable aleatoria, \(va\), R nos da cuatro funciones para poder trabajar con ellas:

+

Dada cualquier variable aleatoria, va, R nos da cuatro funciones para poder trabajar con ellas:

  • dva(x,...): Función de densidad o de probabilidad \(f(x)\) de la variable aleatoria para el valor \(x\) del dominio de definición.
    • @@ -306,8 +306,6 @@

Distribuciones discretas

-

Distribución discreta

-
  • Bernoulli
  • Binomial
    • @@ -325,7 +323,7 @@

    donde \(p\) es la probabilidad de éxito y \(q = 1-p\) es la probabilidad de fracaso.

      -
    • El espacio muestral de \(X\) será \(X(\Omega) = \{0,1\}\)
      • +
    • El dominio de \(X\) será \(D_X = \{0,1\}\)
    • La función de densidad vendrá dada por \[f(k) = p^k(1-p)^{1-k} = \left\{ \begin{array}{rl} p & \text{si } k=1 @@ -367,7 +365,7 @@

      donde \(p\) es la probabilidad de éxito y \(q = 1-p\) es la probabilidad de fracaso

        -
      • El espacio muestral de \(X\) será \(X(\Omega) = \{0,1,2,\dots,n\}\)
        • +
      • El dominio de \(X\) será \(D_X = \{0,1,2,\dots,n\}\)
      • La función de densidad vendrá dada por \[f(k) = {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k} \]
      @@ -398,7 +396,7 @@

      \[X\sim \text{Ge}(p)\] donde \(p\) es la probabilidad de éxito y \(q = 1-p\) es la probabilidad de fracaso

        -

      • El espacio muestral de \(X\) será \(X(\Omega) = \{0,1,2,\dots\}\) o bien \(X(\Omega) = \{1,2,\dots\}\) en función de si empieza en 0 o en 1

        • +

      • El dominio de \(X\) será \(D_X= \{0,1,2,\dots\}\) o bien \(D_X = \{1,2,\dots\}\) en función de si empieza en 0 o en 1, respectivamente

      • La función de densidad vendrá dada por \[f(k) = (1-p)^{k}p \qquad\text{ si empieza en 0}\] \[f(k) = (1-p)^{k-1}p \qquad\text{ si empieza en 1}\]

      @@ -413,15 +411,19 @@

      \right.\]
    • Esperanza \(E(X) = \frac{1-p}{p}\) si empieza en 0 y E\((X) = \frac{1}{p}\) si empieza en 1
    • Varianza \(Var(X) = \frac{1-p}{p^2}\)
      • -
    • Propiedad de la falta de memoria. Si \(X\) es una v.a. (p), entonces, \[p\{X\ge m+n:\ X\ge n\} = p\{X\ge m\}\ \forall m,n=0,1,\dots\]
      • +
    • Propiedad de la falta de memoria. Si \(X\) es una v.a. \(\text{Ge}(p)\), entonces, \[p\{X\ge m+n:\ X\ge n\} = p\{X\ge m\}\ \forall m,n=0,1,\dots\]
    +

Distribución Geométrica

+ +

+

Distribución Hipergeométrica

-

Consideremos el experimento "extraer a la vez (o una detrás de otra, sin retornarlos) \(n\) objetos donde hay \(N\) de tipo A y \(M\) de tipo B". Si \(X\) es variable aleatoria que mide el "número de objetos del tipo A", diremos que \(X\) se distribuye como una Hipergeométrica con parámetro \(N,M,n\) \[X\sim \text{H}(N,M,n)\]

+

Consideremos el experimento "extraer a la vez (o una detrás de otra, sin retornarlos) \(n\) objetos donde hay \(N\) de tipo A y \(M\) de tipo B". Si \(X\) es variable aleatoria que mide el "número de objetos del tipo A", diremos que \(X\) se distribuye como una Hipergeométrica con parámetros \(N,M,n\) \[X\sim \text{H}(N,M,n)\]

    -
  • El espacio muestral de \(X\) será \(X(\Omega) = \{0,1,2,\dots,N\}\) (en general)
    • +
  • El dominio de \(X\) será \(D_X = \{0,1,2,\dots,N\}\) (en general)
  • La función de densidad vendrá dada por \[f(k) = \frac{{N\choose k}{M\choose n-k}}{N+M\choose n}\]
@@ -439,6 +441,10 @@

  • Varianza \(Var(X) = \frac{nNM}{(N+M)^2}\cdot\frac{N+M-n}{N+M-1}\)
    • +

    Distribución Hipergeométrica

    + +

    +

    Distribución de Poisson

    Si \(X\) es variable aleatoria que mide el "número de eventos en un cierto intervalo de tiempo", diremos que \(X\) se distribuye como una Poisson con parámetro \(\lambda\)

    @@ -446,7 +452,7 @@

    \[X\sim \text{Po}(\lambda)\] donde \(\lambda\) representa el número de veces que se espera que ocurra el evento durante un intervalo dado

      -

    • El espacio muestral de \(X\) será \(X(\Omega) = \{0,1,2,\dots\}\)

      • +

    • El dominio de \(X\) será \(D_X = \{0,1,2,\dots\}\)

    • La función de densidad vendrá dada por \[f(k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}\]

    @@ -464,6 +470,10 @@

  • Varianza \(Var(X) = \lambda\)
    • +

    Distribución de Poisson

    + +

    +

    Distribuciones discretas en R

    R conoce las distribuciones de probabilidad más importantes.

    @@ -575,7 +585,7 @@

    Modela el elegir un elemento del intervalo \([a,b]\) de manera equiprobable

    -

    Distribución uniforme

    +

    Distribución Uniforme

    • El dominio de \(X\) será \(D_X = [a,b]\)

      • @@ -590,9 +600,13 @@

    • Varianza \(Var(X) = \frac{(b-a)^2}{12}\)

    +

    Distribución Uniforme

    + +

    +

    Distribución Exponencial

    -

    Una v.a. \(X\) tiene distribución exponencial de parámetro \(\lambda\), \(X\sim\text{Exp}(\lambda)\) si su función de densidad es \[f_X(x)=\left\{ +

    Una v.a. \(X\) tiene distribución exponencial de parámetro \(\lambda\), \(X\sim\text{Exp}(\lambda)\), si su función de densidad es \[f_X(x)=\left\{ \begin{array}{rl} 0 & \text{si } x\le 0 \\ \lambda\cdot e^{-\lambda x} & \text{si }x>0 @@ -617,6 +631,10 @@

  • Varianza \(Var(X) = \frac{1}{\lambda^2}\)

    • +

    Distribución Exponencial

    + +

    +

    Distribución Normal

    Una v.a. \(X\) tiene distribución normal o gaussiana de parámetros \(\mu\) y \(\sigma\), \(X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma)\) si su función de densidad es \[f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\quad \forall x\in\mathbb{R}\]

    @@ -641,13 +659,17 @@

    Distribución Normal

    +

    + +

    Distribución Normal

    +

    Estandarización de una v.a. normal. Si \(X\) es una v.a. \(\mathcal{N}(\mu,\sigma)\), entonces \[Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim\mathcal{N}(0,1)\]

    Las probabilidades de una normal estándar \(Z\) determinan las de cualquier \(X\) de tipo \(\mathcal{N}(\mu,\sigma)\):

    \[p(X\le x)=p\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\le\frac{x-\mu}{\sigma}\right)=p\left(Z\le\frac{x-\mu}{\sigma}\right)\]

    -

    Distribución Normal

    +

    Distribución Normal

    \(F_Z\) no tiene expresión conocida.

    diff --git a/teoria/TemaX.Rmd b/teoria/TemaX.Rmd index 8c9b0124..1a20811f 100644 --- a/teoria/TemaX.Rmd +++ b/teoria/TemaX.Rmd @@ -405,7 +405,7 @@ Si $X$ es una v.a. discreta y $g:D_X\longrightarrow \mathbb{R}$ una función, $$ ## Distribuciones en `R` -Dada cualquier variable aleatoria, $va$, `R` nos da cuatro funciones para poder trabajar con ellas: +Dada cualquier variable aleatoria, `va`, `R` nos da cuatro funciones para poder trabajar con ellas: - `dva(x,...)`: Función de densidad o de probabilidad $f(x)$ de la variable aleatoria para el valor $x$ del dominio de definición. - `pva(x,...)`: Función de distribución $F(x)$ de la variable aleatoria para el valor $x$ del dominio de definición. @@ -441,7 +441,7 @@ $$X\sim \text{Be}(p)$$ donde $p$ es la probabilidad de éxito y $q = 1-p$ es la probabilidad de fracaso. -- El **espacio muestral** de $X$ será $X(\Omega) = \{0,1\}$ +- El **dominio** de $X$ será $D_X = \{0,1\}$ - La **función de densidad** vendrá dada por $$f(k) = p^k(1-p)^{1-k} = \left\{ \begin{array}{rl} p & \text{si } k=1 @@ -477,7 +477,7 @@ $$X\sim \text{B}(n,p)$$ donde $p$ es la probabilidad de éxito y $q = 1-p$ es la probabilidad de fracaso -- El **espacio muestral** de $X$ será $X(\Omega) = \{0,1,2,\dots,n\}$ +- El **dominio** de $X$ será $D_X= \{0,1,2,\dots,n\}$ - La **función de densidad** vendrá dada por $$f(k) = {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k} $$ ## Distribución Binomial @@ -511,7 +511,7 @@ Si $X$ es variable aleatoria que mide el "número de repeticiones independientes $$X\sim \text{Ge}(p)$$ donde $p$ es la probabilidad de éxito y $q = 1-p$ es la probabilidad de fracaso -- El **espacio muestral** de $X$ será $X(\Omega) = \{0,1,2,\dots\}$ o bien $X(\Omega) = \{1,2,\dots\}$ en función de si empieza en 0 o en 1 +- El **dominio** de $X$ será $D_X = \{0,1,2,\dots\}$ o bien $D_X = \{1,2,\dots\}$ en función de si empieza en 0 o en 1, respectivamente - La **función de densidad** vendrá dada por $$f(k) = (1-p)^{k}p \qquad\text{ si empieza en 0}$$ $$f(k) = (1-p)^{k-1}p \qquad\text{ si empieza en 1}$$ @@ -526,14 +526,24 @@ $$f(k) = (1-p)^{k-1}p \qquad\text{ si empieza en 1}$$ \right.$$ - **Esperanza** $E(X) = \frac{1-p}{p}$ si empieza en 0 y E$(X) = \frac{1}{p}$ si empieza en 1 - **Varianza** $Var(X) = \frac{1-p}{p^2}$ -- Propiedad de la falta de memoria. Si $X$ es una v.a. \text{Ge}(p), entonces, $$p\{X\ge m+n:\ X\ge n\} = p\{X\ge m\}\ \forall m,n=0,1,\dots$$ +- Propiedad de la falta de memoria. Si $X$ es una v.a. $\text{Ge}(p)$, entonces, $$p\{X\ge m+n:\ X\ge n\} = p\{X\ge m\}\ \forall m,n=0,1,\dots$$ + +## Distribución Geométrica + +```{r, echo = FALSE} +par(mfrow = c(1,2)) +plot(dgeom(1:20,0.5),col = "purple", xlab = "", ylab = "", main = "Función de probabilidad de una Ge(0.5)") +plot(pgeom(1:20,0.5),col = "purple", xlab = "", ylab = "", main = "Función de distribución de una Ge(0.5)") +par(mfrow= c(1,1)) + +``` ## Distribución Hipergeométrica -Consideremos el experimento "extraer a la vez (o una detrás de otra, sin retornarlos) $n$ objetos donde hay $N$ de tipo A y $M$ de tipo B". Si $X$ es variable aleatoria que mide el "número de objetos del tipo A", diremos que $X$ se distribuye como una Hipergeométrica con parámetro $N,M,n$ +Consideremos el experimento "extraer a la vez (o una detrás de otra, sin retornarlos) $n$ objetos donde hay $N$ de tipo A y $M$ de tipo B". Si $X$ es variable aleatoria que mide el "número de objetos del tipo A", diremos que $X$ se distribuye como una Hipergeométrica con parámetros $N,M,n$ $$X\sim \text{H}(N,M,n)$$ -- El **espacio muestral** de $X$ será $X(\Omega) = \{0,1,2,\dots,N\}$ (en general) +- El **dominio** de $X$ será $D_X = \{0,1,2,\dots,N\}$ (en general) - La **función de densidad** vendrá dada por $$f(k) = \frac{{N\choose k}{M\choose n-k}}{N+M\choose n}$$ ## Distribución Hipergeométrica @@ -548,6 +558,16 @@ $$X\sim \text{H}(N,M,n)$$ - **Esperanza** $E(X) = \frac{nN}{N+M}$ - **Varianza** $Var(X) = \frac{nNM}{(N+M)^2}\cdot\frac{N+M-n}{N+M-1}$ +## Distribución Hipergeométrica + +```{r, echo = FALSE} +par(mfrow = c(1,2)) +plot(dhyper(1:30,10,20,10),col = "purple", xlab = "", ylab = "", main = "Función de probabilidad de una H(20,10,30)") +plot(phyper(1:30,10,20,10),col = "purple", xlab = "", ylab = "", main = "Función de distribución de una H(20,10,30)") +par(mfrow= c(1,1)) + +``` + ## Distribución de Poisson Si $X$ es variable aleatoria que mide el "número de eventos en un cierto intervalo de tiempo", diremos que $X$ se distribuye como una Poisson con parámetro $\lambda$ @@ -555,7 +575,7 @@ Si $X$ es variable aleatoria que mide el "número de eventos en un cierto interv $$X\sim \text{Po}(\lambda)$$ donde $\lambda$ representa el número de veces que se espera que ocurra el evento durante un intervalo dado -- El **espacio muestral** de $X$ será $X(\Omega) = \{0,1,2,\dots\}$ +- El **dominio** de $X$ será $D_X = \{0,1,2,\dots\}$ - La **función de densidad** vendrá dada por $$f(k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$$ @@ -591,6 +611,16 @@ $$\lambda_{x\cdot t}=x\cdot \lambda_t \text{ y, en particular, } \lambda_t = t\c - Si $X_1,\dots,X_n$ son v.a. de Poisson independientes, con cada $X_i$ con parámetro $\lambda_i$, entonces $X_1+\cdots+X_n$ es una v.a. de Poisson con parámetro $\lambda_1+\cdots+\lambda_n$ - $X_1,X_2$ v.a. de Poisson independientes, con cada $X_i$ con parámetro $\lambda_i$, entonces la probabilidad condicionada $p(X_1=k \ :\ X_1+X_2=n )$ es binomial de parámetros $n$ y $p = \frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}$ +## Distribución de Poisson + +```{r, echo = FALSE} +par(mfrow = c(1,2)) +plot(dpois(1:20,2),col = "purple", xlab = "", ylab = "", main = "Función de probabilidad de una Po(2)") +plot(ppois(1:20,2),col = "purple", xlab = "", ylab = "", main = "Función de distribución de una Po(2)") +par(mfrow= c(1,1)) + +``` + ## Distribuciones discretas en R R conoce las distribuciones de probabilidad más importantes. @@ -656,7 +686,7 @@ Si el dominio $D_X$ de $X$ es un intervalo de extremos $aVarianza de una v.a. continua. Como en el caso discreto, $$Var(X)=E((X-E(X))^2)$$ +Varianza de una v.a. continua. Como en el caso discreto, $$Var(X)=E((X-E(X))^2)$$ y se puede demostrar que @@ -689,7 +719,7 @@ Una v.a. continua $X$ tiene distribución uniforme sobre el intervalo real $[a,b Modela el elegir un elemento del intervalo $[a,b]$ de manera equiprobable -## Distribución uniforme +## Distribución Uniforme - El **dominio** de $X$ será $D_X = [a,b]$ @@ -704,9 +734,15 @@ Modela el elegir un elemento del intervalo $[a,b]$ de manera equiprobable - **Esperanza** $E(X) = \frac{a+b}{2}$ - **Varianza** $Var(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$ +## Distribución Uniforme + +```{r, echo = FALSE} +plot(dunif(1:20,min = 0, max = 20),col = "purple", xlab = "", ylab = "", main = "Función de densidad de una U(0,20)", type = "o") +``` + ## Distribución Exponencial -Una v.a. $X$ tiene distribución exponencial de parámetro $\lambda$, $X\sim\text{Exp}(\lambda)$ si su función de densidad es $$f_X(x)=\left\{ +Una v.a. $X$ tiene distribución exponencial de parámetro $\lambda$, $X\sim\text{Exp}(\lambda)$, si su función de densidad es $$f_X(x)=\left\{ \begin{array}{rl} 0 & \text{si } x\le 0 \\ \lambda\cdot e^{-\lambda x} & \text{si }x>0 @@ -731,6 +767,12 @@ Una v.a. $X$ tiene distribución exponencial de parámetro $\lambda$, $X\sim\tex - **Esperanza** $E(X) = \frac{1}{\lambda}$ - **Varianza** $Var(X) = \frac{1}{\lambda^2}$ +## Distribución Exponencial + +```{r, echo = FALSE} +plot(dexp(1:20,0.2),col = "purple", xlab = "", ylab = "", main = "Función de densidad de una Exp(0.2)", type = "o") +``` + ## Distribución Normal Una v.a. $X$ tiene distribución normal o gaussiana de parámetros $\mu$ y $\sigma$, $X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma)$ si su función de densidad es $$f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\quad \forall x\in\mathbb{R}$$ @@ -747,6 +789,11 @@ $$f_Z(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}\quad \forall z\in\mathbb{R}$$ - $f_X$ es simétrica respecto de $x=\mu$: $$f_X(\mu-x)=f_X(\mu+x)$$ - $f_X$ alcanza su máximo en $x=\mu$ - En particular, si $Z\sim\mathcal{N}(0,1)$, entonces $f_Z(-z)=f_Z(z)$ y alcanza su máximo en $z=0$ + +## Distribución Normal + +Propiedades. + - La simetría hace iguales las áreas a la izquierda de $\mu-x$ y a la derecha de $\mu+x$: $$F_X(\mu-x) = p(X\le \mu-x) = p(X\ge\mu+x)=1-F_X(\mu+x)$$ - En $\mathcal{N}(0,1)$ esta simetría hace iguales las áreas a la izquierda de $-z$ y a la derecha de $z$: $$F_Z(-z)=p(Z\le -z)=p(Z\ge z)=1-F_Z(z)$$ @@ -758,7 +805,20 @@ $$f_Z(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}\quad \forall z\in\mathbb{R}$$ En particualr, si $Z$ sigue una distribución estándar, - **Esperanza** $E(X) = 0$ -- **Varianza** $Var(X) = 1$ +- **Varianza** $Var(X) = 1$ + +## Distribución Normal + +```{r, echo = FALSE} +z_scores <- seq(-10, 10, by = .1) +dvalues <- dnorm(z_scores) +plot(dvalues, ylab = "", xlab= "", + xaxt = "n", + type = "l", + col = "purple", + main = "Función de densidad de una N(0,1)") +``` + ## Distribución Normal @@ -766,6 +826,18 @@ Aumentar $\mu$ hace que el máximo se desplace a la derecha y con él, toda la c Aumentar $\sigma$ aplasta la curva: al aumentar la varianza, los valores se alejan más del valor medio $\mu$ +```{r, echo = FALSE} +par(mfrow = c(1,2)) +x <- seq(5, 15, length=1000) +y <- dnorm(x, mean=10, sd=3) +plot(x, y, type="l", lwd=1, xlab = "", ylab = "", col = "purple", main = "Función de densidad de una N(10,3)") +x <- seq(5, 15, length=1000) +y <- dnorm(x, mean=12.5, sd=5) +plot(x, y, type="l", lwd=1, xlab = "", ylab = "", col = "purple", main = "Función de densidad de una N(12.5,5)") +par(mfrow = c(1,1)) +``` + + ## Distribución Normal Estandarización de una v.a. normal. Si $X$ es una v.a. $\mathcal{N}(\mu,\sigma)$, entonces $$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim\mathcal{N}(0,1)$$ @@ -788,6 +860,17 @@ Si a la hora de llamar a alguna de las 4 funciones siguientes: `dnorm`, `pnorm`, Es decir, R interpreta $\mu = 0$ y $\sigma = 1$ +## Distribuciones continuas en R + +Distribución | Instrucción | Parámetros +--------------------|--------------------|-------------------- +Uniforme | `unif` | mínimo y máximo +Exponencial | `exp` | $\lambda$ +Normal | `norm` | media $\mu$, desviación típica $\sigma$ +Khi cuadrado | `chisq` | grados de libertad +t de Student | `t` | grados de libertad +F de Fisher | `f` | los dos grados de libertad + diff --git a/teoria/TemaX.html b/teoria/TemaX.html index 22b66333..2671c2b8 100644 --- a/teoria/TemaX.html +++ b/teoria/TemaX.html @@ -531,7 +531,7 @@

    Distribuciones en R

    -

    Dada cualquier variable aleatoria, \(va\), R nos da cuatro funciones para poder trabajar con ellas:

    +

    Dada cualquier variable aleatoria, va, R nos da cuatro funciones para poder trabajar con ellas:

    • dva(x,...): Función de densidad o de probabilidad \(f(x)\) de la variable aleatoria para el valor \(x\) del dominio de definición.
      • @@ -572,7 +572,7 @@

      donde \(p\) es la probabilidad de éxito y \(q = 1-p\) es la probabilidad de fracaso.

        -
      • El espacio muestral de \(X\) será \(X(\Omega) = \{0,1\}\)
        • +
      • El dominio de \(X\) será \(D_X = \{0,1\}\)
      • La función de densidad vendrá dada por \[f(k) = p^k(1-p)^{1-k} = \left\{ \begin{array}{rl} p & \text{si } k=1 @@ -614,7 +614,7 @@

        donde \(p\) es la probabilidad de éxito y \(q = 1-p\) es la probabilidad de fracaso

          -
        • El espacio muestral de \(X\) será \(X(\Omega) = \{0,1,2,\dots,n\}\)
          • +
        • El dominio de \(X\) será \(D_X= \{0,1,2,\dots,n\}\)
        • La función de densidad vendrá dada por \[f(k) = {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k} \]
        @@ -645,7 +645,7 @@

        \[X\sim \text{Ge}(p)\] donde \(p\) es la probabilidad de éxito y \(q = 1-p\) es la probabilidad de fracaso

          -

        • El espacio muestral de \(X\) será \(X(\Omega) = \{0,1,2,\dots\}\) o bien \(X(\Omega) = \{1,2,\dots\}\) en función de si empieza en 0 o en 1

          • +

        • El dominio de \(X\) será \(D_X = \{0,1,2,\dots\}\) o bien \(D_X = \{1,2,\dots\}\) en función de si empieza en 0 o en 1, respectivamente

        • La función de densidad vendrá dada por \[f(k) = (1-p)^{k}p \qquad\text{ si empieza en 0}\] \[f(k) = (1-p)^{k-1}p \qquad\text{ si empieza en 1}\]

        @@ -660,15 +660,19 @@

        \right.\]
      • Esperanza \(E(X) = \frac{1-p}{p}\) si empieza en 0 y E\((X) = \frac{1}{p}\) si empieza en 1
      • Varianza \(Var(X) = \frac{1-p}{p^2}\)
        • -
      • Propiedad de la falta de memoria. Si \(X\) es una v.a. (p), entonces, \[p\{X\ge m+n:\ X\ge n\} = p\{X\ge m\}\ \forall m,n=0,1,\dots\]
        • +
      • Propiedad de la falta de memoria. Si \(X\) es una v.a. \(\text{Ge}(p)\), entonces, \[p\{X\ge m+n:\ X\ge n\} = p\{X\ge m\}\ \forall m,n=0,1,\dots\]
      +

    Distribución Geométrica

    + +

    +

    Distribución Hipergeométrica

    -

    Consideremos el experimento "extraer a la vez (o una detrás de otra, sin retornarlos) \(n\) objetos donde hay \(N\) de tipo A y \(M\) de tipo B". Si \(X\) es variable aleatoria que mide el "número de objetos del tipo A", diremos que \(X\) se distribuye como una Hipergeométrica con parámetro \(N,M,n\) \[X\sim \text{H}(N,M,n)\]

    +

    Consideremos el experimento "extraer a la vez (o una detrás de otra, sin retornarlos) \(n\) objetos donde hay \(N\) de tipo A y \(M\) de tipo B". Si \(X\) es variable aleatoria que mide el "número de objetos del tipo A", diremos que \(X\) se distribuye como una Hipergeométrica con parámetros \(N,M,n\) \[X\sim \text{H}(N,M,n)\]

      -
    • El espacio muestral de \(X\) será \(X(\Omega) = \{0,1,2,\dots,N\}\) (en general)
      • +
    • El dominio de \(X\) será \(D_X = \{0,1,2,\dots,N\}\) (en general)
    • La función de densidad vendrá dada por \[f(k) = \frac{{N\choose k}{M\choose n-k}}{N+M\choose n}\]
    @@ -686,6 +690,10 @@

  • Varianza \(Var(X) = \frac{nNM}{(N+M)^2}\cdot\frac{N+M-n}{N+M-1}\)
    • +

    Distribución Hipergeométrica

    + +

    +

    Distribución de Poisson

    Si \(X\) es variable aleatoria que mide el "número de eventos en un cierto intervalo de tiempo", diremos que \(X\) se distribuye como una Poisson con parámetro \(\lambda\)

    @@ -693,7 +701,7 @@

    \[X\sim \text{Po}(\lambda)\] donde \(\lambda\) representa el número de veces que se espera que ocurra el evento durante un intervalo dado

      -

    • El espacio muestral de \(X\) será \(X(\Omega) = \{0,1,2,\dots\}\)

      • +

    • El dominio de \(X\) será \(D_X = \{0,1,2,\dots\}\)

    • La función de densidad vendrá dada por \[f(k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}\]

    @@ -734,6 +742,10 @@

  • \(X_1,X_2\) v.a. de Poisson independientes, con cada \(X_i\) con parámetro \(\lambda_i\), entonces la probabilidad condicionada \(p(X_1=k \ :\ X_1+X_2=n )\) es binomial de parámetros \(n\) y \(p = \frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}\)
    • +

    Distribución de Poisson

    + +

    +

    Distribuciones discretas en R

    R conoce las distribuciones de probabilidad más importantes.

    @@ -823,7 +835,7 @@

    Varianza

    -

    l class = "definition">Varianza de una v.a. continua. Como en el caso discreto, \[Var(X)=E((X-E(X))^2)\]

    +

    Varianza de una v.a. continua. Como en el caso discreto, \[Var(X)=E((X-E(X))^2)\]

    y se puede demostrar que

    @@ -857,7 +869,7 @@

    Modela el elegir un elemento del intervalo \([a,b]\) de manera equiprobable

    -

    Distribución uniforme

    +

    Distribución Uniforme

    • El dominio de \(X\) será \(D_X = [a,b]\)

      • @@ -872,9 +884,13 @@

    • Varianza \(Var(X) = \frac{(b-a)^2}{12}\)

    +

    Distribución Uniforme

    + +

    +

    Distribución Exponencial

    -

    Una v.a. \(X\) tiene distribución exponencial de parámetro \(\lambda\), \(X\sim\text{Exp}(\lambda)\) si su función de densidad es \[f_X(x)=\left\{ +

    Una v.a. \(X\) tiene distribución exponencial de parámetro \(\lambda\), \(X\sim\text{Exp}(\lambda)\), si su función de densidad es \[f_X(x)=\left\{ \begin{array}{rl} 0 & \text{si } x\le 0 \\ \lambda\cdot e^{-\lambda x} & \text{si }x>0 @@ -899,6 +915,10 @@

  • Varianza \(Var(X) = \frac{1}{\lambda^2}\)

    • +

    Distribución Exponencial

    + +

    +

    Distribución Normal

    Una v.a. \(X\) tiene distribución normal o gaussiana de parámetros \(\mu\) y \(\sigma\), \(X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma)\) si su función de densidad es \[f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\quad \forall x\in\mathbb{R}\]

    @@ -915,11 +935,18 @@

  • \(f_X\) es simétrica respecto de \(x=\mu\): \[f_X(\mu-x)=f_X(\mu+x)\]
  • \(f_X\) alcanza su máximo en \(x=\mu\)
  • En particular, si \(Z\sim\mathcal{N}(0,1)\), entonces \(f_Z(-z)=f_Z(z)\) y alcanza su máximo en \(z=0\)
    • + + +

    Distribución Normal

    + +

    Propiedades.

    + +
    • La simetría hace iguales las áreas a la izquierda de \(\mu-x\) y a la derecha de \(\mu+x\): \[F_X(\mu-x) = p(X\le \mu-x) = p(X\ge\mu+x)=1-F_X(\mu+x)\]
    • En \(\mathcal{N}(0,1)\) esta simetría hace iguales las áreas a la izquierda de \(-z\) y a la derecha de \(z\): \[F_Z(-z)=p(Z\le -z)=p(Z\ge z)=1-F_Z(z)\]
    -

    Distribución Normal

    +

    Distribución Normal

    • Esperanza \(E(X) = \mu\)
      • @@ -933,13 +960,19 @@

    • Varianza \(Var(X) = 1\)
    -

    Distribución Normal

    +

    Distribución Normal

    + +

    + +

    Distribución Normal

    Aumentar \(\mu\) hace que el máximo se desplace a la derecha y con él, toda la curva

    Aumentar \(\sigma\) aplasta la curva: al aumentar la varianza, los valores se alejan más del valor medio \(\mu\)

    -

    Distribución Normal

    +

    + +

    Distribución Normal

    Estandarización de una v.a. normal. Si \(X\) es una v.a. \(\mathcal{N}(\mu,\sigma)\), entonces \[Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim\mathcal{N}(0,1)\]

    @@ -947,7 +980,7 @@

    \[p(X\le x)=p\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\le\frac{x-\mu}{\sigma}\right)=p\left(Z\le\frac{x-\mu}{\sigma}\right)\]

    -

    Distribución Normal

    +

    Distribución Normal

    \(F_Z\) no tiene expresión conocida.