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<div id='write' class = 'is-node'><h1><a name='header-n0' class='md-header-anchor '></a>第四门课 卷积神经网络（Convolutional Neural Networks）</h1><h2><a name='header-n4' class='md-header-anchor '></a>第一周 卷积神经网络（Foundations of Convolutional Neural Networks）</h2><div class='md-toc' mdtype='toc'><p class="md-toc-content"><span class="md-toc-item md-toc-h1" data-ref="n0"><a class="md-toc-inner" style="cursor: pointer;" href="#header-n0">第四门课 卷积神经网络（Convolutional Neural Networks）</a></span><span class="md-toc-item md-toc-h2" data-ref="n4"><a class="md-toc-inner" style="cursor: pointer;" href="#header-n4">第一周 卷积神经网络（Foundations of Convolutional Neural Networks）</a></span><span class="md-toc-item md-toc-h3" data-ref="n6"><a class="md-toc-inner" style="cursor: pointer;" href="#header-n6">1.1 计算机视觉（Computer vision）</a></span><span class="md-toc-item md-toc-h3" data-ref="n38"><a class="md-toc-inner" style="cursor: pointer;" href="#header-n38">1.2 边缘检测示例（Edge detection example）</a></span><span class="md-toc-item md-toc-h3" data-ref="n111"><a class="md-toc-inner" style="cursor: pointer;" href="#header-n111">1.3 更多边缘检测内容（More edge detection）</a></span><span class="md-toc-item md-toc-h3" data-ref="n154"><a class="md-toc-inner" style="cursor: pointer;" href="#header-n154">1.4 Padding</a></span><span class="md-toc-item md-toc-h3" data-ref="n199"><a class="md-toc-inner" style="cursor: pointer;" href="#header-n199">1.5 卷积步长（Strided convolutions）</a></span><span class="md-toc-item md-toc-h3" data-ref="n254"><a class="md-toc-inner" style="cursor: pointer;" href="#header-n254">1.6 三维卷积（Convolutions over volumes）</a></span><span class="md-toc-item md-toc-h3" data-ref="n303"><a class="md-toc-inner" style="cursor: pointer;" href="#header-n303">1.7 单层卷积网络（One layer of a convolutional network）</a></span><span class="md-toc-item md-toc-h3" data-ref="n366"><a class="md-toc-inner" style="cursor: pointer;" href="#header-n366">1.8 简单卷积网络示例（A simple convolution network example）</a></span><span class="md-toc-item md-toc-h3" data-ref="n399"><a class="md-toc-inner" style="cursor: pointer;" href="#header-n399">1.9 池化层（Pooling layers）</a></span><span class="md-toc-item md-toc-h3" data-ref="n446"><a class="md-toc-inner" style="cursor: pointer;" href="#header-n446">1.10 卷积神经网络示例（Convolutional neural network example）</a></span><span class="md-toc-item md-toc-h3" data-ref="n505"><a class="md-toc-inner" style="cursor: pointer;" href="#header-n505">1.11 为什么使用卷积？（Why convolutions?）</a></span></p></div><h3><a name='header-n6' class='md-header-anchor '></a>1.1 计算机视觉（Computer vision）</h3><p>欢迎参加这次的卷积神经网络课程，计算机视觉是一个飞速发展的一个领域，这多亏了深度学习。深度学习与计算机视觉可以帮助汽车，查明周围的行人和汽车，并帮助汽车避开它们。还使得人脸识别技术变得更加效率和精准，你们即将能够体验到或早已体验过仅仅通过刷脸就能解锁手机或者门锁。当你解锁了手机，我猜手机上一定有很多分享图片的应用。在上面，你能看到美食，酒店或美丽风景的图片。有些公司在这些应用上使用了深度学习技术来向你展示最为生动美丽以及与你最为相关的图片。机器学习甚至还催生了新的艺术类型。深度学习之所以让我兴奋有下面两个原因，我想你们也是这么想的。</p><p>第一，计算机视觉的高速发展标志着新型应用产生的可能，这是几年前，人们所不敢想象的。通过学习使用这些工具，你也许能够创造出新的产品和应用。</p><p>其次，即使到头来你未能在计算机视觉上有所建树，但我发现，人们对于计算机视觉的研究是如此富有想象力和创造力，由此衍生出新的神经网络结构与算法，这实际上启发人们去创造出计算机视觉与其他领域的交叉成果。举个例子，之前我在做语音识别的时候，我经常从计算机视觉领域中寻找灵感，
并将其应用于我的文献当中。所以即使你在计算机视觉方面没有做出成果，我也希望你也可以将所学的知识应用到其他算法和结构。就介绍到这儿，让我们开始学习吧。</p><p><img src='../images/373615de4e30035c662958ce39115fb4.png' alt='' /></p><p>这是我们本节课将要学习的一些问题，你应该早就听说过图片分类，或者说图片识别。比如给出这张64×64的图片，让计算机去分辨出这是一只猫。</p><p><img src='../images/f8ff84bc95636d9e37e35daef5149164.png' alt='' /></p><p>还有一个例子，在计算机视觉中有个问题叫做目标检测，比如在一个无人驾驶项目中，你不一定非得识别出图片中的物体是车辆，但你需要计算出其他车辆的位置，以确保自己能够避开它们。所以在目标检测项目中，首先需要计算出图中有哪些物体，比如汽车，还有图片中的其他东西，再将它们模拟成一个个盒子，或用一些其他的技术识别出它们在图片中的位置。注意在这个例子中，在一张图片中同时有多个车辆，每辆车相对与你来说都有一个确切的距离。</p><p><img src='../images/bf57536975bce32f78c9e66a2360e8a1.png' alt='' /></p><p>还有一个更有趣的例子，就是神经网络实现的图片风格迁移，比如说你有一张图片，但你想将这张图片转换为另外一种风格。所以图片风格迁移，就是你有一张满意的图片和一张风格图片，实际上右边这幅画是毕加索的画作，而你可以利用神经网络将它们融合到一起，描绘出一张新的图片。它的整体轮廓来自于左边，却是右边的风格，最后生成下面这张图片。这种神奇的算法创造出了新的艺术风格，所以在这门课程中，你也能通过学习做到这样的事情。</p><p>但在应用计算机视觉时要面临一个挑战，就是数据的输入可能会非常大。举个例子，在过去的课程中，你们一般操作的都是64×64的小图片，实际上，它的数据量是64×64×3，因为每张图片都有3个颜色通道。如果计算一下的话，可得知数据量为12288，所以我们的特征向量<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-345-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.329ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 572 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E346-MJMATHI-78" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E346-MJMATHI-78" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-345">x</script>维度为12288。这其实还好，因为64×64真的是很小的一张图片。</p><p><img src='../images/f126bca19d15f113c0f0371fdf0833d8.png' alt='' /></p><p>如果你要操作更大的图片，比如一张1000×1000的图片，它足有1兆那么大，但是特征向量的维度达到了1000×1000×3，因为有3个<strong>RGB</strong>通道，所以数字将会是300万。如果你在尺寸很小的屏幕上观察，可能察觉不出上面的图片只有64×64那么大，而下面一张是1000×1000的大图。</p><p><img src='../images/9dc51757210398f26ec96d13540beacb.png' alt='' /></p><p>如果你要输入300万的数据量，这就意味着，特征向量<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-345-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.329ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 572 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E346-MJMATHI-78" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E346-MJMATHI-78" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-345">x</script>的维度高达300万。所以在第一隐藏层中，你也许会有1000个隐藏单元，而所有的权值组成了矩阵 <span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-375-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="4.473ex" height="2.461ex" viewBox="0 -956.9 1926 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E376-MJMATHI-57" d="M436 683Q450 683 486 682T553 680Q604 680 638 681T677 682Q695 682 695 674Q695 670 692 659Q687 641 683 639T661 637Q636 636 621 632T600 624T597 615Q597 603 613 377T629 138L631 141Q633 144 637 151T649 170T666 200T690 241T720 295T759 362Q863 546 877 572T892 604Q892 619 873 628T831 637Q817 637 817 647Q817 650 819 660Q823 676 825 679T839 682Q842 682 856 682T895 682T949 681Q1015 681 1034 683Q1048 683 1048 672Q1048 666 1045 655T1038 640T1028 637Q1006 637 988 631T958 617T939 600T927 584L923 578L754 282Q586 -14 585 -15Q579 -22 561 -22Q546 -22 542 -17Q539 -14 523 229T506 480L494 462Q472 425 366 239Q222 -13 220 -15T215 -19Q210 -22 197 -22Q178 -22 176 -15Q176 -12 154 304T131 622Q129 631 121 633T82 637H58Q51 644 51 648Q52 671 64 683H76Q118 680 176 680Q301 680 313 683H323Q329 677 329 674T327 656Q322 641 318 637H297Q236 634 232 620Q262 160 266 136L501 550L499 587Q496 629 489 632Q483 636 447 637Q428 637 422 639T416 648Q416 650 418 660Q419 664 420 669T421 676T424 680T428 682T436 683Z"></path><path stroke-width="0" id="E376-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E376-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path stroke-width="0" id="E376-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E376-MJMATHI-57" x="0" y="0"></use><g transform="translate(1079,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E376-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E376-MJMAIN-31" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E376-MJMAIN-5D" x="778" y="0"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-375">W^{[1]}</script>。如果你使用了标准的全连接网络，就像我们在第一门和第二门的课程里说的，这个矩阵的大小将会是1000×300万。因为现在<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-345-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.329ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 572 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E346-MJMATHI-78" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E346-MJMATHI-78" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-345">x</script>的维度为<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-923-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="3.201ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1378 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E933-MJMAIN-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 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stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E933-MJMAIN-33" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E933-MJMATHI-6D" x="500" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-923">3m</script>，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-923-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="3.201ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 1378 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E933-MJMAIN-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 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-0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E376-MJMATHI-57" d="M436 683Q450 683 486 682T553 680Q604 680 638 681T677 682Q695 682 695 674Q695 670 692 659Q687 641 683 639T661 637Q636 636 621 632T600 624T597 615Q597 603 613 377T629 138L631 141Q633 144 637 151T649 170T666 200T690 241T720 295T759 362Q863 546 877 572T892 604Q892 619 873 628T831 637Q817 637 817 647Q817 650 819 660Q823 676 825 679T839 682Q842 682 856 682T895 682T949 681Q1015 681 1034 683Q1048 683 1048 672Q1048 666 1045 655T1038 640T1028 637Q1006 637 988 631T958 617T939 600T927 584L923 578L754 282Q586 -14 585 -15Q579 -22 561 -22Q546 -22 542 -17Q539 -14 523 229T506 480L494 462Q472 425 366 239Q222 -13 220 -15T215 -19Q210 -22 197 -22Q178 -22 176 -15Q176 -12 154 304T131 622Q129 631 121 633T82 637H58Q51 644 51 648Q52 671 64 683H76Q118 680 176 680Q301 680 313 683H323Q329 677 329 674T327 656Q322 641 318 637H297Q236 634 232 620Q262 160 266 136L501 550L499 587Q496 629 489 632Q483 636 447 637Q428 637 422 639T416 648Q416 650 418 660Q419 664 420 669T421 676T424 680T428 682T436 683Z"></path><path stroke-width="0" id="E376-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E376-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path stroke-width="0" id="E376-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E376-MJMATHI-57" x="0" y="0"></use><g transform="translate(1079,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E376-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E376-MJMAIN-31" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E376-MJMAIN-5D" x="778" y="0"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-375">W^{[1]}</script>会有30亿个参数，这是个非常巨大的数字。在参数如此大量的情况下，难以获得足够的数据来防止神经网络发生过拟合和竞争需求，要处理包含30亿参数的神经网络，巨大的内存需求让人不太能接受。</p><p>但对于计算机视觉应用来说，你肯定不想它只处理小图片，你希望它同时也要能处理大图。为此，你需要进行卷积计算，它是卷积神经网络中非常重要的一块。下节课中，我会为你介绍如何进行这种运算，我将用边缘检测的例子来向你说明卷积的含义。</p><h3><a name='header-n38' class='md-header-anchor '></a>1.2 边缘检测示例（Edge detection example）</h3><p>卷积运算是卷积神经网络最基本的组成部分，使用边缘检测作为入门样例。在这个视频中，你会看到卷积是如何进行运算的。</p><p><img src='../images/a4b8429a41f31afb14adaa9204f98c66.png' alt='' /></p><p>在之前的视频中，我说过神经网络的前几层是如何检测边缘的，然后，后面的层有可能检测到物体的部分区域，更靠后的一些层可能检测到完整的物体，这个例子中就是人脸。在这个视频中，你会看到如何在一张图片中进行边缘检测。</p><p><img src='../images/47c14f666d56e509a6863e826502bda2.png' alt='' /></p><p>让我们举个例子，给了这样一张图片，让电脑去搞清楚这张照片里有什么物体，你可能做的第一件事是检测图片中的垂直边缘。比如说，在这张图片中的栏杆就对应垂直线，与此同时，这些行人的轮廓线某种程度上也是垂线，这些线是垂直边缘检测器的输出。同样，你可能也想检测水平边缘，比如说这些栏杆就是很明显的水平线，它们也能被检测到，结果在这。所以如何在图像中检测这些边缘？</p><p>看一个例子，这是一个6×6的灰度图像。因为是灰度图像，所以它是6×6×1的矩阵，而不是6×6×3的，因为没有<strong>RGB</strong>三通道。为了检测图像中的垂直边缘，你可以构造一个3×3矩阵。在共用习惯中，在卷积神经网络的术语中，它被称为过滤器。我要构造一个3×3的过滤器，像这样<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-924-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="13.775ex" height="9.114ex" viewBox="0 -2213.4 5931.1 3924.2" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -3.974ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E934-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E934-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path stroke-width="0" id="E934-MJMAIN-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path stroke-width="0" id="E934-MJMAIN-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E934-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path><path stroke-width="0" id="E934-MJSZ4-23A1" d="M319 -645V1154H666V1070H403V-645H319Z"></path><path stroke-width="0" id="E934-MJSZ4-23A3" d="M319 -644V1155H403V-560H666V-644H319Z"></path><path stroke-width="0" id="E934-MJSZ4-23A2" d="M319 0V602H403V0H319Z"></path><path stroke-width="0" id="E934-MJSZ4-23A4" d="M0 1070V1154H347V-645H263V1070H0Z"></path><path stroke-width="0" id="E934-MJSZ4-23A6" d="M263 -560V1155H347V-644H0V-560H263Z"></path><path stroke-width="0" id="E934-MJSZ4-23A5" d="M263 0V602H347V0H263Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g transform="translate(0,2150)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E934-MJSZ4-23A1" x="0" y="-1154"></use><g transform="translate(0,-2051) scale(1,0.5016611295681063)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E934-MJSZ4-23A2"></use></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E934-MJSZ4-23A3" x="0" y="-3156"></use></g><g transform="translate(834,0)"><g transform="translate(-15,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E934-MJMAIN-31" x="0" y="1350"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E934-MJMAIN-31" x="0" y="-50"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E934-MJMAIN-31" x="0" y="-1450"></use></g><g transform="translate(1485,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E934-MJMAIN-30" x="0" y="1350"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E934-MJMAIN-30" x="0" y="-50"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E934-MJMAIN-30" x="0" y="-1450"></use></g><g transform="translate(2985,0)"><g transform="translate(0,1350)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E934-MJMAIN-2212" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E934-MJMAIN-31" x="778" y="0"></use></g><g transform="translate(0,-50)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E934-MJMAIN-2212" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E934-MJMAIN-31" x="778" y="0"></use></g><g transform="translate(0,-1450)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E934-MJMAIN-2212" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E934-MJMAIN-31" x="778" y="0"></use></g></g></g><g transform="translate(5264,2150)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E934-MJSZ4-23A4" x="0" y="-1154"></use><g transform="translate(0,-2051) scale(1,0.5016611295681063)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E934-MJSZ4-23A5"></use></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E934-MJSZ4-23A6" x="0" y="-3156"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-924">\begin{bmatrix}1 & 0 & -1\\ 1 & 0 & -1\\ 1 & 0 & -1\end{bmatrix}</script>。在论文它有时候会被称为核，而不是过滤器，但在这个视频中，我将使用过滤器这个术语。对这个6×6的图像进行卷积运算，卷积运算用“<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-933-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.161ex" height="1.41ex" viewBox="0 -554.9 500 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: 0.081ex; margin-bottom: -0.203ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E943-MJMAIN-2217" d="M229 286Q216 420 216 436Q216 454 240 464Q241 464 245 464T251 465Q263 464 273 456T283 436Q283 419 277 356T270 286L328 328Q384 369 389 372T399 375Q412 375 423 365T435 338Q435 325 425 315Q420 312 357 282T289 250L355 219L425 184Q434 175 434 161Q434 146 425 136T401 125Q393 125 383 131T328 171L270 213Q283 79 283 63Q283 53 276 44T250 35Q231 35 224 44T216 63Q216 80 222 143T229 213L171 171Q115 130 110 127Q106 124 100 124Q87 124 76 134T64 161Q64 166 64 169T67 175T72 181T81 188T94 195T113 204T138 215T170 230T210 250L74 315Q65 324 65 338Q65 353 74 363T98 374Q106 374 116 368T171 328L229 286Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E943-MJMAIN-2217" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-933">*</script>”来表示，用3×3的过滤器对其进行卷积。</p><p><img src='../images/7099a5373f2281626aa8ddd47a180571.png' alt='' /></p><p>关于符号表示，有一些问题，在数学中“<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-933-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.161ex" height="1.41ex" viewBox="0 -554.9 500 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: 0.081ex; margin-bottom: -0.203ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E943-MJMAIN-2217" d="M229 286Q216 420 216 436Q216 454 240 464Q241 464 245 464T251 465Q263 464 273 456T283 436Q283 419 277 356T270 286L328 328Q384 369 389 372T399 375Q412 375 423 365T435 338Q435 325 425 315Q420 312 357 282T289 250L355 219L425 184Q434 175 434 161Q434 146 425 136T401 125Q393 125 383 131T328 171L270 213Q283 79 283 63Q283 53 276 44T250 35Q231 35 224 44T216 63Q216 80 222 143T229 213L171 171Q115 130 110 127Q106 124 100 124Q87 124 76 134T64 161Q64 166 64 169T67 175T72 181T81 188T94 195T113 204T138 215T170 230T210 250L74 315Q65 324 65 338Q65 353 74 363T98 374Q106 374 116 368T171 328L229 286Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E943-MJMAIN-2217" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-933">*</script>”就是卷积的标准标志，但是在<strong>Python</strong>中，这个标识常常被用来表示乘法或者元素乘法。所以这个“<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-933-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.161ex" height="1.41ex" viewBox="0 -554.9 500 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: 0.081ex; margin-bottom: -0.203ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E943-MJMAIN-2217" d="M229 286Q216 420 216 436Q216 454 240 464Q241 464 245 464T251 465Q263 464 273 456T283 436Q283 419 277 356T270 286L328 328Q384 369 389 372T399 375Q412 375 423 365T435 338Q435 325 425 315Q420 312 357 282T289 250L355 219L425 184Q434 175 434 161Q434 146 425 136T401 125Q393 125 383 131T328 171L270 213Q283 79 283 63Q283 53 276 44T250 35Q231 35 224 44T216 63Q216 80 222 143T229 213L171 171Q115 130 110 127Q106 124 100 124Q87 124 76 134T64 161Q64 166 64 169T67 175T72 181T81 188T94 195T113 204T138 215T170 230T210 250L74 315Q65 324 65 338Q65 353 74 363T98 374Q106 374 116 368T171 328L229 286Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E943-MJMAIN-2217" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-933">*</script>”有多层含义，它是一个重载符号，在这个视频中，当“<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-933-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.161ex" height="1.41ex" viewBox="0 -554.9 500 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: 0.081ex; margin-bottom: -0.203ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E943-MJMAIN-2217" d="M229 286Q216 420 216 436Q216 454 240 464Q241 464 245 464T251 465Q263 464 273 456T283 436Q283 419 277 356T270 286L328 328Q384 369 389 372T399 375Q412 375 423 365T435 338Q435 325 425 315Q420 312 357 282T289 250L355 219L425 184Q434 175 434 161Q434 146 425 136T401 125Q393 125 383 131T328 171L270 213Q283 79 283 63Q283 53 276 44T250 35Q231 35 224 44T216 63Q216 80 222 143T229 213L171 171Q115 130 110 127Q106 124 100 124Q87 124 76 134T64 161Q64 166 64 169T67 175T72 181T81 188T94 195T113 204T138 215T170 230T210 250L74 315Q65 324 65 338Q65 353 74 363T98 374Q106 374 116 368T171 328L229 286Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E943-MJMAIN-2217" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-933">*</script>”表示卷积的时候我会特别说明。</p><p><img src='../images/d6ecaeb7228172a00bc3948e8b214a27.png' alt='' /></p><p>这个卷积运算的输出将会是一个4×4的矩阵，你可以将它看成一个4×4的图像。下面来说明是如何计算得到这个4×4矩阵的。为了计算第一个元素，在4×4左上角的那个元素，使用3×3的过滤器，将其覆盖在输入图像，如下图所示。然后进行元素乘法（<strong>element-wise products</strong>）运算，所以<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-929-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="44.457ex" height="9.581ex" viewBox="0 -2313.9 19141 4125.3" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -4.207ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E939-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E939-MJMAIN-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path stroke-width="0" id="E939-MJMAIN-D7" d="M630 29Q630 9 609 9Q604 9 587 25T493 118L389 222L284 117Q178 13 175 11Q171 9 168 9Q160 9 154 15T147 29Q147 36 161 51T255 146L359 250L255 354Q174 435 161 449T147 471Q147 480 153 485T168 490Q173 490 175 489Q178 487 284 383L389 278L493 382Q570 459 587 475T609 491Q630 491 630 471Q630 464 620 453T522 355L418 250L522 145Q606 61 618 48T630 29Z"></path><path stroke-width="0" id="E939-MJMAIN-31" 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/></p><p>把这9个数加起来得到-5，当然，你可以把这9个数按任何顺序相加，我只是先写了第一列，然后第二列，第三列。</p><p>接下来，为了弄明白第二个元素是什么，你要把蓝色的方块，向右移动一步，像这样，把这些绿色的标记去掉：</p><p><img src='../images/ad626a7a5a1cda8eb679e15f953f84a7.png' alt='' /></p><p>继续做同样的元素乘法，然后加起来，所以是 <span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-931-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="86.078ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 37061.1 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E941-MJMAIN-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path stroke-width="0" id="E941-MJMAIN-D7" d="M630 29Q630 9 609 9Q604 9 587 25T493 118L389 222L284 117Q178 13 175 11Q171 9 168 9Q160 9 154 15T147 29Q147 36 161 51T255 146L359 250L255 354Q174 435 161 449T147 471Q147 480 153 485T168 490Q173 490 175 489Q178 487 284 383L389 278L493 382Q570 459 587 475T609 491Q630 491 630 471Q630 464 620 453T522 355L418 250L522 145Q606 61 618 48T630 29Z"></path><path stroke-width="0" id="E941-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path stroke-width="0" id="E941-MJMAIN-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E941-MJMAIN-35" d="M164 157Q164 133 148 117T109 101H102Q148 22 224 22Q294 22 326 82Q345 115 345 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/></p><p>继续移得到8，验证一下：<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-932-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="84.271ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 36283.1 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E942-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path stroke-width="0" id="E942-MJMAIN-D7" d="M630 29Q630 9 609 9Q604 9 587 25T493 118L389 222L284 117Q178 13 175 11Q171 9 168 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xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E942-MJMAIN-D7" x="21391" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E942-MJMAIN-28" x="22391" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E942-MJMAIN-2212" x="22780" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E942-MJMAIN-31" x="23558" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E942-MJMAIN-29" x="24058" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E942-MJMAIN-2B" x="24670" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E942-MJMAIN-31" x="25670" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E942-MJMAIN-D7" x="26392" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E942-MJMAIN-28" x="27392" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E942-MJMAIN-2212" x="27781" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E942-MJMAIN-31" x="28559" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E942-MJMAIN-29" x="29059" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E942-MJMAIN-2B" x="29670" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E942-MJMAIN-33" x="30671" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E942-MJMAIN-D7" x="31393" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E942-MJMAIN-28" x="32393" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E942-MJMAIN-2212" x="32782" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E942-MJMAIN-31" x="33560" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E942-MJMAIN-29" x="34060" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E942-MJMAIN-3D" x="34727" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E942-MJMAIN-38" x="35783" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-932">2×1+9×1+5×1+7×0+3×0+1×0+4×(-1)+ 1×(-1)+ 3×(-1)=8</script>。</p><p><img src='../images/2d34d782d438191675289a0b4bffcd20.png' alt='' /></p><p>接下来为了得到下一行的元素，现在把蓝色块下移，现在蓝色块在这个位置：</p><p><img src='../images/348ff3ef87dd57f40b0ed0e0571f7751.png' alt='' /></p><p>重复进行元素乘法，然后加起来。通过这样做得到-10。再将其右移得到-2，接着是2，3。以此类推，这样计算完矩阵中的其他元素。</p><p><img src='../images/5f9c10d0986f003e5bd6fa87a9ffe04b.png' alt='' /></p><p>为了说得更清楚一点，这个-16是通过底部右下角的3×3区域得到的。</p><p>因此6×6矩阵和3×3矩阵进行卷积运算得到4×4矩阵。这些图片和过滤器是不同维度的矩阵，但左边矩阵容易被理解为一张图片，中间的这个被理解为过滤器，右边的图片我们可以理解为另一张图片。这个就是垂直边缘检测器，下一页中你就会明白。</p><p>在往下讲之前，多说一句，如果你要使用编程语言实现这个运算，不同的编程语言有不同的函数，而不是用“<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-933-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.161ex" height="1.41ex" viewBox="0 -554.9 500 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: 0.081ex; margin-bottom: -0.203ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E943-MJMAIN-2217" d="M229 286Q216 420 216 436Q216 454 240 464Q241 464 245 464T251 465Q263 464 273 456T283 436Q283 419 277 356T270 286L328 328Q384 369 389 372T399 375Q412 375 423 365T435 338Q435 325 425 315Q420 312 357 282T289 250L355 219L425 184Q434 175 434 161Q434 146 425 136T401 125Q393 125 383 131T328 171L270 213Q283 79 283 63Q283 53 276 44T250 35Q231 35 224 44T216 63Q216 80 222 143T229 213L171 171Q115 130 110 127Q106 124 100 124Q87 124 76 134T64 161Q64 166 64 169T67 175T72 181T81 188T94 195T113 204T138 215T170 230T210 250L74 315Q65 324 65 338Q65 353 74 363T98 374Q106 374 116 368T171 328L229 286Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E943-MJMAIN-2217" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-933">*</script>”来表示卷积。所以在编程练习中，你会使用一个叫<strong>conv_forward</strong>的函数。如果在<strong>tensorflow</strong>下，这个函数叫<strong>tf.conv2d</strong>。在其他深度学习框架中，在后面的课程中，你将会看到<strong>Keras</strong>这个框架，在这个框架下用<strong>Conv2D</strong>实现卷积运算。所有的编程框架都有一些函数来实现卷积运算。</p><p><img src='../images/fdfb1a469b84ac7c25482e5064f3d594.png' alt='' /></p><p>为什么这个可以做垂直边缘检测呢？让我们来看另外一个例子。为了讲清楚，我会用一个简单的例子。这是一个简单的6×6图像，左边的一半是10，右边一般是0。如果你把它当成一个图片，左边那部分看起来是白色的，像素值10是比较亮的像素值，右边像素值比较暗，我使用灰色来表示0，尽管它也可以被画成黑的。图片里，有一个特别明显的垂直边缘在图像中间，这条垂直线是从黑到白的过渡线，或者从白色到深色。</p><p><img src='../images/50836692632e32453f0eefcbbf58551b.png' alt='' /></p><p>所以，当你用一个3×3过滤器进行卷积运算的时候，这个3×3的过滤器可视化为下面这个样子，在左边有明亮的像素，然后有一个过渡，0在中间，然后右边是深色的。卷积运算后，你得到的是右边的矩阵。如果你愿意，可以通过数学运算去验证。举例来说，最左上角的元素0，就是由这个3×3块（绿色方框标记）经过元素乘积运算再求和得到的，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-934-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="94.722ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 40783.1 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E944-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path stroke-width="0" id="E944-MJMAIN-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path stroke-width="0" id="E944-MJMAIN-D7" d="M630 29Q630 9 609 9Q604 9 587 25T493 118L389 222L284 117Q178 13 175 11Q171 9 168 9Q160 9 154 15T147 29Q147 36 161 51T255 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xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E945-MJMAIN-D7" x="17001" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E945-MJMAIN-30" x="18002" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E945-MJMAIN-2B" x="18724" y="0"></use><g transform="translate(19724,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E945-MJMAIN-31"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E945-MJMAIN-30" x="500" y="0"></use></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E945-MJMAIN-D7" x="20946" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E945-MJMAIN-30" x="21946" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E945-MJMAIN-2B" x="22669" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E945-MJMAIN-30" x="23669" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E945-MJMAIN-D7" x="24391" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E945-MJMAIN-28" x="25391" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E945-MJMAIN-2212" x="25780" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E945-MJMAIN-31" x="26558" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E945-MJMAIN-29" x="27058" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E945-MJMAIN-2B" x="27670" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E945-MJMAIN-30" x="28670" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E945-MJMAIN-D7" x="29392" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E945-MJMAIN-28" x="30392" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E945-MJMAIN-2212" x="30781" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E945-MJMAIN-31" x="31559" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E945-MJMAIN-29" x="32059" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E945-MJMAIN-2B" x="32670" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E945-MJMAIN-30" x="33671" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E945-MJMAIN-D7" x="34393" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E945-MJMAIN-28" x="35393" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E945-MJMAIN-2212" x="35782" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E945-MJMAIN-31" x="36560" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E945-MJMAIN-29" x="37060" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E945-MJMAIN-3D" x="37727" y="0"></use><g transform="translate(38783,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E945-MJMAIN-33"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E945-MJMAIN-30" x="500" y="0"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-935">10×1+10×1+10×1+10×0+10×0+10×0+0×(-1)+0×(-1)+ 0×(-1)=30</script>。</p><p><img src='../images/0c8b5b8441557b671431d515aefa1e8a.png' alt='' /></p><p>如果把最右边的矩阵当成图像，它是这个样子。在中间有段亮一点的区域，对应检查到这个6×6图像中间的垂直边缘。这里的维数似乎有点不正确，检测到的边缘太粗了。因为在这个例子中，图片太小了。如果你用一个1000×1000的图像，而不是6×6的图片，你会发现其会很好地检测出图像中的垂直边缘。在这个例子中，在输出图像中间的亮处，表示在图像中间有一个特别明显的垂直边缘。从垂直边缘检测中可以得到的启发是，因为我们使用3×3的矩阵（过滤器），所以垂直边缘是一个3×3的区域，左边是明亮的像素，中间的并不需要考虑，右边是深色像素。在这个6×6图像的中间部分，明亮的像素在左边，深色的像素在右边，就被视为一个垂直边缘，卷积运算提供了一个方便的方法来发现图像中的垂直边缘。</p><p>所以你已经了解卷积是怎么工作的，在下一个视频中，你将会看到如何使用卷积运算作为卷积神经网络的基本模块的。</p><h3><a name='header-n111' class='md-header-anchor '></a>1.3 更多边缘检测内容（More edge detection）</h3><p>你已经见识到用卷积运算实现垂直边缘检测，在本视频中，你将学习如何区分正边和负边，这实际就是由亮到暗与由暗到亮的区别，也就是边缘的过渡。你还能了解到其他类型的边缘检测以及如何去实现这些算法，而不要总想着去自己编写一个边缘检测程序，让我们开始吧。</p><p><img src='../images/783267536976c27544bbe36ac758a48e.png' alt='' /></p><p>还是上一个视频中的例子，这张6×6的图片，左边较亮，而右边较暗，将它与垂直边缘检测滤波器进行卷积，检测结果就显示在了右边这幅图的中间部分。</p><p><img src='../images/6a248e5698d1f61ac4ba0238363c4a37.png' alt='' /></p><p>现在这幅图有什么变化呢？它的颜色被翻转了，变成了左边比较暗，而右边比较亮。现在亮度为10的点跑到了右边，为0的点则跑到了左边。如果你用它与相同的过滤器进行卷积，最后得到的图中间会是-30，而不是30。如果你将矩阵转换为图片，就会是该矩阵下面图片的样子。现在中间的过渡部分被翻转了，之前的30翻转成了-30，表明是由暗向亮过渡，而不是由亮向暗过渡。</p><p>如果你不在乎这两者的区别，你可以取出矩阵的绝对值。但这个特定的过滤器确实可以为我们区分这两种明暗变化的区别。</p><p>再来看看更多的边缘检测的例子，我们已经见过这个3×3的过滤器，它可以检测出垂直的边缘。所以，看到右边这个过滤器，我想你应该猜出来了，它能让你检测出水平的边缘。提醒一下，一个垂直边缘过滤器是一个3×3的区域，它的左边相对较亮，而右边相对较暗。相似的，右边这个水平边缘过滤器也是一个3×3的区域，它的上边相对较亮，而下方相对较暗。</p><p><img src='../images/199323db1d4858ef2463f34323e1d85f.png' alt='' /></p><p>这里还有个更复杂的例子，左上方和右下方都是亮度为10的点。如果你将它绘成图片，右上角是比较暗的地方，这边都是亮度为0的点，我把这些比较暗的区域都加上阴影。而左上方和右下方都会相对较亮。如果你用这幅图与水平边缘过滤器卷积，就会得到右边这个矩阵。</p><p><img src='../images/f4adb9d91879e1c1aaef9bc9e244c64a.png' alt='' /></p><p>再举个例子，这里的30（右边矩阵中绿色方框标记元素）代表了左边这块3×3的区域（左边矩阵绿色方框标记部分），这块区域确实是上边比较亮，而下边比较暗的，所以它在这里发现了一条正边缘。而这里的-30（右边矩阵中紫色方框标记元素）又代表了左边另一块区域（左边矩阵紫色方框标记部分），这块区域确实是底部比较亮，而上边则比较暗，所以在这里它是一条负边。</p><p><img src='../images/eb8668010205b08fbcbcde7c2bb1fee2.png' alt='' /></p><p>再次强调，我们现在所使用的都是相对很小的图片，仅有6×6。但这些中间的数值，比如说这个10（右边矩阵中黄色方框标记元素）代表的是左边这块区域（左边6×6矩阵中黄色方框标记的部分）。这块区域左边两列是正边，右边一列是负边，正边和负边的值加在一起得到了一个中间值。但假如这个一个非常大的1000×1000的类似这样棋盘风格的大图，就不会出现这些亮度为10的过渡带了，因为图片尺寸很大，这些中间值就会变得非常小。</p><p>总而言之，通过使用不同的过滤器，你可以找出垂直的或是水平的边缘。但事实上，对于这个3×3的过滤器来说，我们使用了其中的一种数字组合。</p><p><img src='../images/20cea5b23b32153fe2a8b8707ef21b6f.png' alt='' /></p><p>但在历史上，在计算机视觉的文献中，曾公平地争论过怎样的数字组合才是最好的，所以你还可以使用这种：<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-936-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="13.775ex" height="9.114ex" viewBox="0 -2213.4 5931.1 3924.2" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -3.974ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E946-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E946-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path stroke-width="0" id="E946-MJMAIN-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path stroke-width="0" id="E946-MJMAIN-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E946-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 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stroke-width="0" id="E946-MJSZ4-23A5" d="M263 0V602H347V0H263Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g transform="translate(0,2150)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E946-MJSZ4-23A1" x="0" y="-1154"></use><g transform="translate(0,-2051) scale(1,0.5016611295681063)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E946-MJSZ4-23A2"></use></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E946-MJSZ4-23A3" x="0" y="-3156"></use></g><g transform="translate(834,0)"><g transform="translate(-15,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E946-MJMAIN-31" x="0" y="1350"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E946-MJMAIN-32" x="0" y="-50"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E946-MJMAIN-31" x="0" y="-1450"></use></g><g transform="translate(1485,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E946-MJMAIN-30" x="0" y="1350"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E946-MJMAIN-30" x="0" y="-50"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E946-MJMAIN-30" x="0" y="-1450"></use></g><g transform="translate(2985,0)"><g transform="translate(0,1350)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E946-MJMAIN-2212" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E946-MJMAIN-31" x="778" y="0"></use></g><g transform="translate(0,-50)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E946-MJMAIN-2212" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E946-MJMAIN-32" x="778" y="0"></use></g><g transform="translate(0,-1450)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E946-MJMAIN-2212" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E946-MJMAIN-31" x="778" y="0"></use></g></g></g><g transform="translate(5264,2150)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E946-MJSZ4-23A4" x="0" y="-1154"></use><g transform="translate(0,-2051) scale(1,0.5016611295681063)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E946-MJSZ4-23A5"></use></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E946-MJSZ4-23A6" x="0" y="-3156"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-936">\begin{bmatrix}1 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & - 2 \\ 1 & 0 & - 1 \\\end{bmatrix}</script>，叫做<strong>Sobel</strong>的过滤器，它的优点在于增加了中间一行元素的权重，这使得结果的鲁棒性会更高一些。</p><p>但计算机视觉的研究者们也会经常使用其他的数字组合，比如这种：<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-937-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="16.098ex" height="9.114ex" viewBox="0 -2213.4 6931.1 3924.2" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -3.974ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E947-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E947-MJMAIN-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path stroke-width="0" id="E947-MJMAIN-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path stroke-width="0" id="E947-MJMAIN-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E947-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path stroke-width="0" id="E947-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path><path stroke-width="0" id="E947-MJSZ4-23A1" d="M319 -645V1154H666V1070H403V-645H319Z"></path><path stroke-width="0" id="E947-MJSZ4-23A3" d="M319 -644V1155H403V-560H666V-644H319Z"></path><path stroke-width="0" id="E947-MJSZ4-23A2" d="M319 0V602H403V0H319Z"></path><path stroke-width="0" id="E947-MJSZ4-23A4" d="M0 1070V1154H347V-645H263V1070H0Z"></path><path stroke-width="0" id="E947-MJSZ4-23A6" d="M263 -560V1155H347V-644H0V-560H263Z"></path><path stroke-width="0" id="E947-MJSZ4-23A5" d="M263 0V602H347V0H263Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g transform="translate(0,2150)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E947-MJSZ4-23A1" x="0" y="-1154"></use><g transform="translate(0,-2051) scale(1,0.5016611295681063)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E947-MJSZ4-23A2"></use></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E947-MJSZ4-23A3" x="0" y="-3156"></use></g><g transform="translate(834,0)"><g transform="translate(-15,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E947-MJMAIN-33" x="250" y="1350"></use><g transform="translate(0,-50)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E947-MJMAIN-31"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E947-MJMAIN-30" x="500" y="0"></use></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E947-MJMAIN-33" x="250" y="-1450"></use></g><g transform="translate(1985,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E947-MJMAIN-30" x="0" y="1350"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E947-MJMAIN-30" x="0" y="-50"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E947-MJMAIN-30" x="0" y="-1450"></use></g><g transform="translate(3485,0)"><g transform="translate(250,1350)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E947-MJMAIN-2212" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E947-MJMAIN-33" x="778" y="0"></use></g><g transform="translate(0,-50)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E947-MJMAIN-2212" x="0" y="0"></use><g transform="translate(778,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E947-MJMAIN-31"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E947-MJMAIN-30" x="500" y="0"></use></g></g><g transform="translate(250,-1450)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E947-MJMAIN-2212" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E947-MJMAIN-33" x="778" y="0"></use></g></g></g><g transform="translate(6264,2150)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E947-MJSZ4-23A4" x="0" y="-1154"></use><g transform="translate(0,-2051) scale(1,0.5016611295681063)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E947-MJSZ4-23A5"></use></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E947-MJSZ4-23A6" x="0" y="-3156"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-937">\begin{bmatrix} 3& 0 & - 3 \\ 10 & 0 & - 10 \\ 3 & 0 & - 3 \\\end{bmatrix}</script>，这叫做Scharr过滤器，它有着和之前完全不同的特性，实际上也是一种垂直边缘检测，如果你将其翻转90度，你就能得到对应水平边缘检测。</p><p>随着深度学习的发展，我们学习的其中一件事就是当你真正想去检测出复杂图像的边缘，你不一定要去使用那些研究者们所选择的这九个数字，但你可以从中获益匪浅。把这矩阵中的9个数字当成9个参数，并且在之后你可以学习使用反向传播算法，其目标就是去理解这9个参数。</p><p><img src='../images/f889ad7011738a23d78070e8ed2df04e.png' alt='' /></p><p>当你得到左边这个6×6的图片，将其与这个3×3的过滤器进行卷积，将会得到一个出色的边缘检测。这就是你在下节视频中将会看到的，把这9个数字当成参数的过滤器，通过反向传播，你可以学习这种<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-995-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="13.775ex" height="9.114ex" viewBox="0 -2213.4 5931.1 3924.2" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -3.974ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1005-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E1005-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path stroke-width="0" id="E1005-MJMAIN-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path stroke-width="0" id="E1005-MJMAIN-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E1005-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path><path stroke-width="0" id="E1005-MJSZ4-23A1" d="M319 -645V1154H666V1070H403V-645H319Z"></path><path stroke-width="0" id="E1005-MJSZ4-23A3" d="M319 -644V1155H403V-560H666V-644H319Z"></path><path stroke-width="0" id="E1005-MJSZ4-23A2" d="M319 0V602H403V0H319Z"></path><path stroke-width="0" id="E1005-MJSZ4-23A4" d="M0 1070V1154H347V-645H263V1070H0Z"></path><path stroke-width="0" id="E1005-MJSZ4-23A6" d="M263 -560V1155H347V-644H0V-560H263Z"></path><path stroke-width="0" id="E1005-MJSZ4-23A5" d="M263 0V602H347V0H263Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g transform="translate(0,2150)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1005-MJSZ4-23A1" x="0" y="-1154"></use><g transform="translate(0,-2051) scale(1,0.5016611295681063)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1005-MJSZ4-23A2"></use></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1005-MJSZ4-23A3" x="0" y="-3156"></use></g><g transform="translate(834,0)"><g transform="translate(-15,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1005-MJMAIN-31" x="0" y="1350"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1005-MJMAIN-31" x="0" y="-50"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1005-MJMAIN-31" x="0" y="-1450"></use></g><g transform="translate(1485,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1005-MJMAIN-30" x="0" y="1350"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1005-MJMAIN-30" x="0" y="-50"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1005-MJMAIN-30" x="0" y="-1450"></use></g><g transform="translate(2985,0)"><g transform="translate(0,1350)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1005-MJMAIN-2212" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1005-MJMAIN-31" x="778" y="0"></use></g><g transform="translate(0,-50)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1005-MJMAIN-2212" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1005-MJMAIN-31" x="778" y="0"></use></g><g transform="translate(0,-1450)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1005-MJMAIN-2212" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1005-MJMAIN-31" x="778" y="0"></use></g></g></g><g transform="translate(5264,2150)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1005-MJSZ4-23A4" x="0" y="-1154"></use><g transform="translate(0,-2051) scale(1,0.5016611295681063)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1005-MJSZ4-23A5"></use></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1005-MJSZ4-23A6" x="0" y="-3156"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-995">\begin{bmatrix}1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 \\\end{bmatrix}</script>的过滤器，或者<strong>Sobel</strong>过滤器和<strong>Scharr</strong>过滤器。还有另一种过滤器，这种过滤器对于数据的捕捉能力甚至可以胜过任何之前这些手写的过滤器。相比这种单纯的垂直边缘和水平边缘，它可以检测出45°或70°或73°，甚至是任何角度的边缘。所以将矩阵的所有数字都设置为参数，通过数据反馈，让神经网络自动去学习它们，我们会发现神经网络可以学习一些低级的特征，例如这些边缘的特征。尽管比起那些研究者们，我们要更费劲一些，但确实可以动手写出这些东西。不过构成这些计算的基础依然是卷积运算，使得反向传播算法能够让神经网络学习任何它所需要的3×3的过滤器，并在整幅图片上去应用它。这里，这里，还有这里（左边矩阵蓝色方框标记部分），去输出这些，任何它所检测到的特征，不管是垂直的边缘，水平的边缘，还有其他奇怪角度的边缘，甚至是其它的连名字都没有的过滤器。</p><p>所以这种将这9个数字当成参数的思想，已经成为计算机视觉中最为有效的思想之一。在接下来的课程中，也就是下个星期，我们将详细去探讨如何使用反向传播去让神经网络学习这9个数字。但在此之前，我们需要先讨论一些其它细节，比如一些基础的卷积运算的变量。在下面两节视频中，我将与你们讨论如何去使用<strong>padding</strong>，以及卷积各种不同的发展，这两节内容将会是卷积神经网络中卷积模块的重要组成部分，所以我们下节视频再见。</p><h3><a name='header-n154' class='md-header-anchor '></a>1.4 Padding</h3><p>为了构建深度神经网络，你需要学会使用的一个基本的卷积操作就是<strong>padding</strong>，让我们来看看它是如何工作的。</p><p><img src='../images/d21e2642815d03b15396f7998ba4459a.png' alt='' /></p><p>我们在之前视频中看到，如果你用一个3×3的过滤器卷积一个6×6的图像，你最后会得到一个4×4的输出，也就是一个4×4矩阵。那是因为你的3×3过滤器在6×6矩阵中，只可能有4×4种可能的位置。这背后的数学解释是，如果我们有一个<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-979-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="5.626ex" height="1.527ex" viewBox="0 -554.9 2422.4 657.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E989-MJMATHI-6E" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path stroke-width="0" id="E989-MJMAIN-D7" d="M630 29Q630 9 609 9Q604 9 587 25T493 118L389 222L284 117Q178 13 175 11Q171 9 168 9Q160 9 154 15T147 29Q147 36 161 51T255 146L359 250L255 354Q174 435 161 449T147 471Q147 480 153 485T168 490Q173 490 175 489Q178 487 284 383L389 278L493 382Q570 459 587 475T609 491Q630 491 630 471Q630 464 620 453T522 355L418 250L522 145Q606 61 618 48T630 29Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E989-MJMATHI-6E" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E989-MJMAIN-D7" x="822" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E989-MJMATHI-6E" x="1822" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-979">n×n</script>的图像，用<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1013-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="5.394ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 2322.4 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1023-MJMATHI-66" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path stroke-width="0" id="E1023-MJMAIN-D7" d="M630 29Q630 9 609 9Q604 9 587 25T493 118L389 222L284 117Q178 13 175 11Q171 9 168 9Q160 9 154 15T147 29Q147 36 161 51T255 146L359 250L255 354Q174 435 161 449T147 471Q147 480 153 485T168 490Q173 490 175 489Q178 487 284 383L389 278L493 382Q570 459 587 475T609 491Q630 491 630 471Q630 464 620 453T522 355L418 250L522 145Q606 61 618 48T630 29Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1023-MJMATHI-66" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1023-MJMAIN-D7" x="772" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1023-MJMATHI-66" x="1772" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1013">f×f</script>的过滤器做卷积，那么输出的维度就是<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-950-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="25.475ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 10968.2 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E960-MJMAIN-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E960-MJMATHI-6E" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path stroke-width="0" id="E960-MJMAIN-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E960-MJMATHI-66" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path stroke-width="0" id="E960-MJMAIN-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 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475T609 491Q630 491 630 471Q630 464 620 453T522 355L418 250L522 145Q606 61 618 48T630 29Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E960-MJMAIN-28" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E960-MJMATHI-6E" x="389" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E960-MJMAIN-2212" x="1211" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E960-MJMATHI-66" x="2211" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E960-MJMAIN-2B" x="2983" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E960-MJMAIN-31" x="3983" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E960-MJMAIN-29" x="4483" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E960-MJMAIN-D7" x="5095" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E960-MJMAIN-28" x="6095" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E960-MJMATHI-6E" x="6484" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E960-MJMAIN-2212" x="7306" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E960-MJMATHI-66" x="8306" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E960-MJMAIN-2B" x="9079" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E960-MJMAIN-31" x="10079" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E960-MJMAIN-29" x="10579" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-950">(n-f+1)×(n-f+1)</script>。在这个例子里是<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-942-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="13.421ex" height="2.11ex" viewBox="0 -755.9 5778.4 908.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.355ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E952-MJMAIN-36" d="M42 313Q42 476 123 571T303 666Q372 666 402 630T432 550Q432 525 418 510T379 495Q356 495 341 509T326 548Q326 592 373 601Q351 623 311 626Q240 626 194 566Q147 500 147 364L148 360Q153 366 156 373Q197 433 263 433H267Q313 433 348 414Q372 400 396 374T435 317Q456 268 456 210V192Q456 169 451 149Q440 90 387 34T253 -22Q225 -22 199 -14T143 16T92 75T56 172T42 313ZM257 397Q227 397 205 380T171 335T154 278T148 216Q148 133 160 97T198 39Q222 21 251 21Q302 21 329 59Q342 77 347 104T352 209Q352 289 347 316T329 361Q302 397 257 397Z"></path><path stroke-width="0" id="E952-MJMAIN-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E952-MJMAIN-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path stroke-width="0" id="E952-MJMAIN-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E952-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path stroke-width="0" id="E952-MJMAIN-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path stroke-width="0" id="E952-MJMAIN-34" d="M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E952-MJMAIN-36" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E952-MJMAIN-2212" x="722" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E952-MJMAIN-33" x="1722" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E952-MJMAIN-2B" x="2444" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E952-MJMAIN-31" x="3444" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E952-MJMAIN-3D" x="4222" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E952-MJMAIN-34" x="5278" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-942">6-3+1=4</script>，因此得到了一个4×4的输出。</p><p>这样的话会有两个缺点，第一个缺点是每次做卷积操作，你的图像就会缩小，从6×6缩小到4×4，你可能做了几次之后，你的图像就会变得很小了，可能会缩小到只有1×1的大小。你可不想让你的图像在每次识别边缘或其他特征时都缩小，这就是第一个缺点。</p><p><img src='../images/170e076ceaeb70339baa7b25ad5f5e6c.png' alt='' /></p><p>第二个缺点时，如果你注意角落边缘的像素，这个像素点（绿色阴影标记）只被一个输出所触碰或者使用，因为它位于这个3×3的区域的一角。但如果是在中间的像素点，比如这个（红色方框标记），就会有许多3×3的区域与之重叠。所以那些在角落或者边缘区域的像素点在输出中采用较少，意味着你丢掉了图像边缘位置的许多信息。</p><p><img src='../images/0b384788a0ebc6f19ba3d3aa0c49adca.png' alt='' /></p><p>为了解决这两个问题，一是输出缩小。当我们建立深度神经网络时，你就会知道你为什么不希望每进行一步操作图像都会缩小。比如当你有100层深层的网络，如果图像每经过一层都缩小的话，经过100层网络后，你就会得到一个很小的图像，所以这是个问题。另一个问题是图像边缘的大部分信息都丢失了。</p><p><img src='../images/208104bae9256fba5d8e37e22a9f5408.png' alt='' /></p><p>为了解决这些问题，你可以在卷积操作之前填充这幅图像。在这个案例中，你可以沿着图像边缘再填充一层像素。如果你这样操作了，那么6×6的图像就被你填充成了一个8×8的图像。如果你用3×3的图像对这个8×8的图像卷积，你得到的输出就不是4×4的，而是6×6的图像，你就得到了一个尺寸和原始图像6×6的图像。习惯上，你可以用0去填充，如果<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1080-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.259ex" height="1.76ex" viewBox="-39 -504.6 542 757.9" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.588ex; margin-left: -0.091ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1090-MJMATHI-70" d="M23 287Q24 290 25 295T30 317T40 348T55 381T75 411T101 433T134 442Q209 442 230 378L240 387Q302 442 358 442Q423 442 460 395T497 281Q497 173 421 82T249 -10Q227 -10 210 -4Q199 1 187 11T168 28L161 36Q160 35 139 -51T118 -138Q118 -144 126 -145T163 -148H188Q194 -155 194 -157T191 -175Q188 -187 185 -190T172 -194Q170 -194 161 -194T127 -193T65 -192Q-5 -192 -24 -194H-32Q-39 -187 -39 -183Q-37 -156 -26 -148H-6Q28 -147 33 -136Q36 -130 94 103T155 350Q156 355 156 364Q156 405 131 405Q109 405 94 377T71 316T59 280Q57 278 43 278H29Q23 284 23 287ZM178 102Q200 26 252 26Q282 26 310 49T356 107Q374 141 392 215T411 325V331Q411 405 350 405Q339 405 328 402T306 393T286 380T269 365T254 350T243 336T235 326L232 322Q232 321 229 308T218 264T204 212Q178 106 178 102Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1090-MJMATHI-70" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1080">p</script>是填充的数量，在这个案例中，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-944-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="5.517ex" height="2.344ex" viewBox="-39 -755.9 2375.6 1009.2" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.588ex; margin-left: -0.091ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E954-MJMATHI-70" d="M23 287Q24 290 25 295T30 317T40 348T55 381T75 411T101 433T134 442Q209 442 230 378L240 387Q302 442 358 442Q423 442 460 395T497 281Q497 173 421 82T249 -10Q227 -10 210 -4Q199 1 187 11T168 28L161 36Q160 35 139 -51T118 -138Q118 -144 126 -145T163 -148H188Q194 -155 194 -157T191 -175Q188 -187 185 -190T172 -194Q170 -194 161 -194T127 -193T65 -192Q-5 -192 -24 -194H-32Q-39 -187 -39 -183Q-37 -156 -26 -148H-6Q28 -147 33 -136Q36 -130 94 103T155 350Q156 355 156 364Q156 405 131 405Q109 405 94 377T71 316T59 280Q57 278 43 278H29Q23 284 23 287ZM178 102Q200 26 252 26Q282 26 310 49T356 107Q374 141 392 215T411 325V331Q411 405 350 405Q339 405 328 402T306 393T286 380T269 365T254 350T243 336T235 326L232 322Q232 321 229 308T218 264T204 212Q178 106 178 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id="MathJax-Element-944">p=1</script>，因为我们在周围都填充了一个像素点，输出也就变成了<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-957-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="35.812ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 15419.1 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E967-MJMAIN-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E967-MJMATHI-6E" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 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stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E956-MJMAIN-28" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E956-MJMAIN-36" x="389" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E956-MJMAIN-2B" x="1111" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E956-MJMAIN-32" x="2111" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E956-MJMAIN-D7" x="2833" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E956-MJMAIN-31" x="3833" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E956-MJMAIN-2212" x="4556" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E956-MJMAIN-33" x="5556" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E956-MJMAIN-2B" x="6278" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E956-MJMAIN-31" x="7278" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E956-MJMAIN-29" x="7778" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E956-MJMAIN-D7" x="8390" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E956-MJMAIN-28" x="9390" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E956-MJMAIN-36" x="9779" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E956-MJMAIN-2B" x="10501" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E956-MJMAIN-32" x="11501" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E956-MJMAIN-D7" x="12223" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E956-MJMAIN-31" x="13224" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E956-MJMAIN-2212" x="13946" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E956-MJMAIN-33" x="14946" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E956-MJMAIN-2B" x="15668" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E956-MJMAIN-31" x="16669" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E956-MJMAIN-29" x="17169" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E956-MJMAIN-3D" x="17835" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E956-MJMAIN-36" x="18891" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E956-MJMAIN-D7" x="19613" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E956-MJMAIN-36" x="20614" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-946">(6+2×1-3+1)×(6+2×1-3+1)=6×6</script>，和输入的图像一样大。这个涂绿的像素点（左边矩阵）影响了输出中的这些格子（右边矩阵）。这样一来，丢失信息或者更准确来说角落或图像边缘的信息发挥的作用较小的这一缺点就被削弱了。</p><p>刚才我已经展示过用一个像素点来填充边缘，如果你想的话，也可以填充两个像素点，也就是说在这里填充一层。实际上你还可以填充更多像素。我这里画的这种情况，填充后<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-947-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="5.517ex" height="2.344ex" viewBox="-39 -755.9 2375.6 1009.2" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.588ex; margin-left: -0.091ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E957-MJMATHI-70" d="M23 287Q24 290 25 295T30 317T40 348T55 381T75 411T101 433T134 442Q209 442 230 378L240 387Q302 442 358 442Q423 442 460 395T497 281Q497 173 421 82T249 -10Q227 -10 210 -4Q199 1 187 11T168 28L161 36Q160 35 139 -51T118 -138Q118 -144 126 -145T163 -148H188Q194 -155 194 -157T191 -175Q188 -187 185 -190T172 -194Q170 -194 161 -194T127 -193T65 -192Q-5 -192 -24 -194H-32Q-39 -187 -39 -183Q-37 -156 -26 -148H-6Q28 -147 33 -136Q36 -130 94 103T155 350Q156 355 156 364Q156 405 131 405Q109 405 94 377T71 316T59 280Q57 278 43 278H29Q23 284 23 287ZM178 102Q200 26 252 26Q282 26 310 49T356 107Q374 141 392 215T411 325V331Q411 405 350 405Q339 405 328 402T306 393T286 380T269 365T254 350T243 336T235 326L232 322Q232 321 229 308T218 264T204 212Q178 106 178 102Z"></path><path stroke-width="0" id="E957-MJMAIN-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path stroke-width="0" id="E957-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E957-MJMATHI-70" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E957-MJMAIN-3D" x="780" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E957-MJMAIN-32" x="1836" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-947">p=2</script>。</p><p><img src='../images/7043a30561c0e84e1c905e5723e51c6c.png' alt='' /></p><p>至于选择填充多少像素，通常有两个选择，分别叫做<strong>Valid</strong>卷积和<strong>Same</strong>卷积。</p><p><strong>Valid</strong>卷积意味着不填充，这样的话，如果你有一个<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-979-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="5.626ex" height="1.527ex" viewBox="0 -554.9 2422.4 657.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E989-MJMATHI-6E" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path stroke-width="0" id="E989-MJMAIN-D7" d="M630 29Q630 9 609 9Q604 9 587 25T493 118L389 222L284 117Q178 13 175 11Q171 9 168 9Q160 9 154 15T147 29Q147 36 161 51T255 146L359 250L255 354Q174 435 161 449T147 471Q147 480 153 485T168 490Q173 490 175 489Q178 487 284 383L389 278L493 382Q570 459 587 475T609 491Q630 491 630 471Q630 464 620 453T522 355L418 250L522 145Q606 61 618 48T630 29Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E989-MJMATHI-6E" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E989-MJMAIN-D7" x="822" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E989-MJMATHI-6E" x="1822" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-979">n×n</script>的图像，用一个<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1013-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="5.394ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 2322.4 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1023-MJMATHI-66" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path stroke-width="0" id="E1023-MJMAIN-D7" d="M630 29Q630 9 609 9Q604 9 587 25T493 118L389 222L284 117Q178 13 175 11Q171 9 168 9Q160 9 154 15T147 29Q147 36 161 51T255 146L359 250L255 354Q174 435 161 449T147 471Q147 480 153 485T168 490Q173 490 175 489Q178 487 284 383L389 278L493 382Q570 459 587 475T609 491Q630 491 630 471Q630 464 620 453T522 355L418 250L522 145Q606 61 618 48T630 29Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1023-MJMATHI-66" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1023-MJMAIN-D7" x="772" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1023-MJMATHI-66" x="1772" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1013">f×f</script>的过滤器卷积，它将会给你一个<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-950-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="25.475ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 10968.2 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E960-MJMAIN-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 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-162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path stroke-width="0" id="E960-MJMAIN-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E960-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path stroke-width="0" id="E960-MJMAIN-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path stroke-width="0" id="E960-MJMAIN-D7" d="M630 29Q630 9 609 9Q604 9 587 25T493 118L389 222L284 117Q178 13 175 11Q171 9 168 9Q160 9 154 15T147 29Q147 36 161 51T255 146L359 250L255 354Q174 435 161 449T147 471Q147 480 153 485T168 490Q173 490 175 489Q178 487 284 383L389 278L493 382Q570 459 587 475T609 491Q630 491 630 471Q630 464 620 453T522 355L418 250L522 145Q606 61 618 48T630 29Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E960-MJMAIN-28" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E960-MJMATHI-6E" x="389" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E960-MJMAIN-2212" x="1211" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E960-MJMATHI-66" x="2211" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E960-MJMAIN-2B" x="2983" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E960-MJMAIN-31" x="3983" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E960-MJMAIN-29" x="4483" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E960-MJMAIN-D7" x="5095" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E960-MJMAIN-28" x="6095" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E960-MJMATHI-6E" x="6484" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E960-MJMAIN-2212" x="7306" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E960-MJMATHI-66" x="8306" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E960-MJMAIN-2B" x="9079" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E960-MJMAIN-31" x="10079" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E960-MJMAIN-29" x="10579" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-950">(n-f+1)×(n-f+1)</script>维的输出。这类似于我们在前面的视频中展示的例子，有一个6×6的图像，通过一个3×3的过滤器，得到一个4×4的输出。</p><p><img src='../images/0663e1a9e477e2737067d9e79194208d.png' alt='' /></p><p>另一个经常被用到的填充方法叫做<strong>Same</strong>卷积，那意味你填充后，你的输出大小和输入大小是一样的。根据这个公式<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1003-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="9.511ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 4094.9 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1013-MJMATHI-6E" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path stroke-width="0" id="E1013-MJMAIN-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E1013-MJMATHI-66" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path stroke-width="0" id="E1013-MJMAIN-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E1013-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1013-MJMATHI-6E" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1013-MJMAIN-2212" x="822" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1013-MJMATHI-66" x="1822" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1013-MJMAIN-2B" x="2594" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1013-MJMAIN-31" x="3594" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1003">n-f+1</script>，当你填充<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1080-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.259ex" height="1.76ex" viewBox="-39 -504.6 542 757.9" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.588ex; margin-left: -0.091ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1090-MJMATHI-70" d="M23 287Q24 290 25 295T30 317T40 348T55 381T75 411T101 433T134 442Q209 442 230 378L240 387Q302 442 358 442Q423 442 460 395T497 281Q497 173 421 82T249 -10Q227 -10 210 -4Q199 1 187 11T168 28L161 36Q160 35 139 -51T118 -138Q118 -144 126 -145T163 -148H188Q194 -155 194 -157T191 -175Q188 -187 185 -190T172 -194Q170 -194 161 -194T127 -193T65 -192Q-5 -192 -24 -194H-32Q-39 -187 -39 -183Q-37 -156 -26 -148H-6Q28 -147 33 -136Q36 -130 94 103T155 350Q156 355 156 364Q156 405 131 405Q109 405 94 377T71 316T59 280Q57 278 43 278H29Q23 284 23 287ZM178 102Q200 26 252 26Q282 26 310 49T356 107Q374 141 392 215T411 325V331Q411 405 350 405Q339 405 328 402T306 393T286 380T269 365T254 350T243 336T235 326L232 322Q232 321 229 308T218 264T204 212Q178 106 178 102Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1090-MJMATHI-70" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1080">p</script>个像素点，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-144-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.394ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 600 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E145-MJMATHI-6E" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E145-MJMATHI-6E" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-144">n</script>就变成了<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-953-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="6.562ex" height="2.344ex" viewBox="0 -755.9 2825.4 1009.2" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.588ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E963-MJMATHI-6E" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path stroke-width="0" id="E963-MJMAIN-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E963-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 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y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E970-MJMAIN-28" x="1836" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E970-MJMATHI-66" x="2225" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E970-MJMAIN-2212" x="2997" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E970-MJMAIN-31" x="3998" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E970-MJMAIN-29" x="4498" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E970-MJMAIN-2F" x="4887" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E970-MJMAIN-32" x="5387" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-960">p=(f-1)/2</script>。所以当<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-859-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.277ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 550 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E869-MJMATHI-66" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E869-MJMATHI-66" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-859">f</script>是一个奇数的时候，只要选择相应的填充尺寸，你就能确保得到和输入相同尺寸的输出。这也是为什么前面的例子，当过滤器是3×3时，和上一张幻灯片的例子一样，使得输出尺寸等于输入尺寸，所需要的填充是(3-1)/2，也就是1个像素。另一个例子，当你的过滤器是5×5，如果<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1090-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="5.536ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 2383.6 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1100-MJMATHI-66" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path stroke-width="0" id="E1100-MJMAIN-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path stroke-width="0" id="E1100-MJMAIN-35" d="M164 157Q164 133 148 117T109 101H102Q148 22 224 22Q294 22 326 82Q345 115 345 210Q345 313 318 349Q292 382 260 382H254Q176 382 136 314Q132 307 129 306T114 304Q97 304 95 310Q93 314 93 485V614Q93 664 98 664Q100 666 102 666Q103 666 123 658T178 642T253 634Q324 634 389 662Q397 666 402 666Q410 666 410 648V635Q328 538 205 538Q174 538 149 544L139 546V374Q158 388 169 396T205 412T256 420Q337 420 393 355T449 201Q449 109 385 44T229 -22Q148 -22 99 32T50 154Q50 178 61 192T84 210T107 214Q132 214 148 197T164 157Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1100-MJMATHI-66" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1100-MJMAIN-3D" x="827" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1100-MJMAIN-35" x="1883" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1090">f=5</script>，然后代入那个式子，你就会发现需要2层填充使得输出和输入一样大，这是过滤器5×5的情况。</p><p><img src='../images/ca5382358f30c1349fff98d1e52366b4.png' alt='' /></p><p>习惯上，计算机视觉中，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-859-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.277ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 550 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E869-MJMATHI-66" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E869-MJMATHI-66" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-859">f</script>通常是奇数，甚至可能都是这样。你很少看到一个偶数的过滤器在计算机视觉里使用，我认为有两个原因。</p><p>其中一个可能是，如果<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-859-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.277ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 550 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E869-MJMATHI-66" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E869-MJMATHI-66" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-859">f</script>是一个偶数，那么你只能使用一些不对称填充。只有<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-859-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.277ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 550 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E869-MJMATHI-66" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E869-MJMATHI-66" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-859">f</script>是奇数的情况下，<strong>Same</strong>卷积才会有自然的填充，我们可以以同样的数量填充四周，而不是左边填充多一点，右边填充少一点，这样不对称的填充。</p><p>第二个原因是当你有一个奇数维过滤器，比如3×3或者5×5的，它就有一个中心点。有时在计算机视觉里，如果有一个中心像素点会更方便，便于指出过滤器的位置。</p><p>也许这些都不是为什么<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-859-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.277ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 550 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E869-MJMATHI-66" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E869-MJMATHI-66" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-859">f</script>通常是奇数的充分原因，但如果你看了卷积的文献，你经常会看到3×3的过滤器，你也可能会看到一些5×5，7×7的过滤器。后面我们也会谈到1×1的过滤器，以及什么时候它是有意义的。但是习惯上，我推荐你只使用奇数的过滤器。我想如果你使用偶数f也可能会得到不错的表现，如果遵循计算机视觉的惯例，我通常使用奇数值的<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-859-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.277ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 550 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E869-MJMATHI-66" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E869-MJMATHI-66" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-859">f</script>。</p><p>你已经看到如何使用<strong>padding</strong>卷积，为了指定卷积操作中的<strong>padding</strong>，你可以指定<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1080-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.259ex" height="1.76ex" viewBox="-39 -504.6 542 757.9" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.588ex; margin-left: -0.091ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1090-MJMATHI-70" d="M23 287Q24 290 25 295T30 317T40 348T55 381T75 411T101 433T134 442Q209 442 230 378L240 387Q302 442 358 442Q423 442 460 395T497 281Q497 173 421 82T249 -10Q227 -10 210 -4Q199 1 187 11T168 28L161 36Q160 35 139 -51T118 -138Q118 -144 126 -145T163 -148H188Q194 -155 194 -157T191 -175Q188 -187 185 -190T172 -194Q170 -194 161 -194T127 -193T65 -192Q-5 -192 -24 -194H-32Q-39 -187 -39 -183Q-37 -156 -26 -148H-6Q28 -147 33 -136Q36 -130 94 103T155 350Q156 355 156 364Q156 405 131 405Q109 405 94 377T71 316T59 280Q57 278 43 278H29Q23 284 23 287ZM178 102Q200 26 252 26Q282 26 310 49T356 107Q374 141 392 215T411 325V331Q411 405 350 405Q339 405 328 402T306 393T286 380T269 365T254 350T243 336T235 326L232 322Q232 321 229 308T218 264T204 212Q178 106 178 102Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1090-MJMATHI-70" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1080">p</script>的值。也可以使用<strong>Valid</strong>卷积，也就是<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1081-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="5.517ex" height="2.344ex" viewBox="-39 -755.9 2375.6 1009.2" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.588ex; margin-left: -0.091ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1091-MJMATHI-70" d="M23 287Q24 290 25 295T30 317T40 348T55 381T75 411T101 433T134 442Q209 442 230 378L240 387Q302 442 358 442Q423 442 460 395T497 281Q497 173 421 82T249 -10Q227 -10 210 -4Q199 1 187 11T168 28L161 36Q160 35 139 -51T118 -138Q118 -144 126 -145T163 -148H188Q194 -155 194 -157T191 -175Q188 -187 185 -190T172 -194Q170 -194 161 -194T127 -193T65 -192Q-5 -192 -24 -194H-32Q-39 -187 -39 -183Q-37 -156 -26 -148H-6Q28 -147 33 -136Q36 -130 94 103T155 350Q156 355 156 364Q156 405 131 405Q109 405 94 377T71 316T59 280Q57 278 43 278H29Q23 284 23 287ZM178 102Q200 26 252 26Q282 26 310 49T356 107Q374 141 392 215T411 325V331Q411 405 350 405Q339 405 328 402T306 393T286 380T269 365T254 350T243 336T235 326L232 322Q232 321 229 308T218 264T204 212Q178 106 178 102Z"></path><path stroke-width="0" id="E1091-MJMAIN-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path stroke-width="0" id="E1091-MJMAIN-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1091-MJMATHI-70" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1091-MJMAIN-3D" x="780" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1091-MJMAIN-30" x="1836" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1081">p=0</script>。也可使用<strong>Same</strong>卷积填充像素，使你的输出和输入大小相同。以上就是<strong>padding</strong>，在接下来的视频中我们讨论如何在卷积中设置步长。</p><h3><a name='header-n199' class='md-header-anchor '></a>1.5 卷积步长（Strided convolutions）</h3><p>卷积中的步幅是另一个构建卷积神经网络的基本操作，让我向你展示一个例子。</p><p><img src='../images/1694d1170d50481e7180cfff7e697ef0.png' alt='' /></p><p>如果你想用3×3的过滤器卷积这个7×7的图像，和之前不同的是，我们把步幅设置成了2。你还和之前一样取左上方的3×3区域的元素的乘积，再加起来，最后结果为91。</p><p><img src='../images/ba96c6114037a96d060f10dd7cb586c4.png' alt='' /></p><p>只是之前我们移动蓝框的步长是1，现在移动的步长是2，我们让过滤器跳过2个步长，注意一下左上角，这个点移动到其后两格的点，跳过了一个位置。然后你还是将每个元素相乘并求和，你将会得到的结果是100。</p><p><img src='../images/2739e8477bc1e66d482ee8aff917acab.png' alt='' /></p><p>现在我们继续，将蓝色框移动两个步长，你将会得到83的结果。当你移动到下一行的时候，你也是使用步长2而不是步长1，所以我们将蓝色框移动到这里：</p><p><img src='../images/9cacda308d53adb7d154a3b259569f45.png' alt='' /></p><p>注意到我们跳过了一个位置，得到69的结果，现在你继续移动两个步长，会得到91，127，最后一行分别是44，72，74。</p><p><img src='../images/d665c6db6cfb55a7b6dc4b80789d46ed.png' alt='' /></p><p>所以在这个例子中，我们用3×3的矩阵卷积一个7×7的矩阵，得到一个3×3的输出。输入和输出的维度是由下面的公式决定的。如果你用一个<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1013-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="5.394ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 2322.4 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1023-MJMATHI-66" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path stroke-width="0" id="E1023-MJMAIN-D7" d="M630 29Q630 9 609 9Q604 9 587 25T493 118L389 222L284 117Q178 13 175 11Q171 9 168 9Q160 9 154 15T147 29Q147 36 161 51T255 146L359 250L255 354Q174 435 161 449T147 471Q147 480 153 485T168 490Q173 490 175 489Q178 487 284 383L389 278L493 382Q570 459 587 475T609 491Q630 491 630 471Q630 464 620 453T522 355L418 250L522 145Q606 61 618 48T630 29Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1023-MJMATHI-66" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1023-MJMAIN-D7" x="772" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1023-MJMATHI-66" x="1772" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1013">f×f</script>的过滤器卷积一个<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-979-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="5.626ex" height="1.527ex" viewBox="0 -554.9 2422.4 657.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E989-MJMATHI-6E" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 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id="MathJax-Element-1075">s</script>，在这个例子中<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1096-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="5.348ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 2302.6 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1106-MJMATHI-73" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path><path stroke-width="0" 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tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="5.652ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 2433.6 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E981-MJMATHI-6E" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path stroke-width="0" id="E981-MJMAIN-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 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id="E985-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path stroke-width="0" id="E985-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path stroke-width="0" id="E985-MJMAIN-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g transform="translate(250,0)"><g transform="translate(120,0)"><rect stroke="none" width="2280" height="60" x="0" y="220"></rect><g transform="translate(60,462)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E985-MJMAIN-37" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E985-MJMAIN-2B" x="500" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E985-MJMAIN-30" x="1278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E985-MJMAIN-2212" x="1777" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E985-MJMAIN-33" x="2556" y="0"></use></g><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E985-MJMAIN-32" x="1362" y="-531"></use></g></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E985-MJMAIN-2B" x="2993" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E985-MJMAIN-31" x="3993" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E985-MJMAIN-3D" x="4771" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E985-MJMAIN-33" x="5826" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-975">\ \frac{7 + 0 - 3}{2} + 1 =3</script>，即3×3的输出。</p><p><img src='../images/16196714c202bb1c8022219394543bf5.png' alt='' /></p><p>现在只剩下最后的一个细节了，如果商不是一个整数怎么办？在这种情况下，我们向下取整。<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-976-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.062ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 888 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E986-MJMAIN-230A" d="M174 734Q174 735 175 737T177 740T180 744T184 747T189 749T196 750Q206 748 214 735V-210H310H373Q401 -210 411 -213T422 -230T411 -247T369 -251Q362 -251 338 -251T298 -250H190Q178 -246 174 -234V734Z"></path><path stroke-width="0" id="E986-MJMAIN-230B" d="M229 734Q229 735 230 737T232 740T235 744T239 747T244 749T251 750Q262 748 269 735V-235Q266 -240 256 -249L147 -250H77Q43 -250 32 -247T21 -230T32 -213T72 -209Q79 -209 99 -209T133 -210H229V734Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E986-MJMAIN-230A" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E986-MJMAIN-230B" x="444" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-976">⌊ ⌋</script>这是向下取整的符号，这也叫做对<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-389-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.087ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 468 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E390-MJMATHI-7A" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E390-MJMATHI-7A" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-389">z</script>进行地板除(<strong>floor</strong>)，这意味着<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-389-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.087ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 468 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E390-MJMATHI-7A" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E390-MJMATHI-7A" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-389">z</script>向下取整到最近的整数。这个原则实现的方式是，你只在蓝框完全包括在图像或填充完的图像内部时，才对它进行运算。如果有任意一个蓝框移动到了外面，那你就不要进行相乘操作，这是一个惯例。你的3×3的过滤器必须完全处于图像中或者填充之后的图像区域内才输出相应结果，这就是惯例。因此正确计算输出维度的方法是向下取整，以免<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-977-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="6.927ex" height="3.628ex" viewBox="0 -1107.7 2982.7 1562" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -1.055ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E987-MJMATHI-6E" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path stroke-width="0" id="E987-MJMAIN-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E987-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path stroke-width="0" id="E987-MJMATHI-70" d="M23 287Q24 290 25 295T30 317T40 348T55 381T75 411T101 433T134 442Q209 442 230 378L240 387Q302 442 358 442Q423 442 460 395T497 281Q497 173 421 82T249 -10Q227 -10 210 -4Q199 1 187 11T168 28L161 36Q160 35 139 -51T118 -138Q118 -144 126 -145T163 -148H188Q194 -155 194 -157T191 -175Q188 -187 185 -190T172 -194Q170 -194 161 -194T127 -193T65 -192Q-5 -192 -24 -194H-32Q-39 -187 -39 -183Q-37 -156 -26 -148H-6Q28 -147 33 -136Q36 -130 94 103T155 350Q156 355 156 364Q156 405 131 405Q109 405 94 377T71 316T59 280Q57 278 43 278H29Q23 284 23 287ZM178 102Q200 26 252 26Q282 26 310 49T356 107Q374 141 392 215T411 325V331Q411 405 350 405Q339 405 328 402T306 393T286 380T269 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xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="5.626ex" height="1.527ex" viewBox="0 -554.9 2422.4 657.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E989-MJMATHI-6E" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path stroke-width="0" id="E989-MJMAIN-D7" d="M630 29Q630 9 609 9Q604 9 587 25T493 118L389 222L284 117Q178 13 175 11Q171 9 168 9Q160 9 154 15T147 29Q147 36 161 51T255 146L359 250L255 354Q174 435 161 449T147 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382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path stroke-width="0" id="E1023-MJMAIN-D7" d="M630 29Q630 9 609 9Q604 9 587 25T493 118L389 222L284 117Q178 13 175 11Q171 9 168 9Q160 9 154 15T147 29Q147 36 161 51T255 146L359 250L255 354Q174 435 161 449T147 471Q147 480 153 485T168 490Q173 490 175 489Q178 487 284 383L389 278L493 382Q570 459 587 475T609 491Q630 491 630 471Q630 464 620 453T522 355L418 250L522 145Q606 61 618 48T630 29Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1023-MJMATHI-66" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1023-MJMAIN-D7" x="772" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1023-MJMATHI-66" x="1772" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1013">f×f</script>的矩阵卷积，或者说<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1013-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="5.394ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 2322.4 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1023-MJMATHI-66" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path stroke-width="0" id="E1023-MJMAIN-D7" d="M630 29Q630 9 609 9Q604 9 587 25T493 118L389 222L284 117Q178 13 175 11Q171 9 168 9Q160 9 154 15T147 29Q147 36 161 51T255 146L359 250L255 354Q174 435 161 449T147 471Q147 480 153 485T168 490Q173 490 175 489Q178 487 284 383L389 278L493 382Q570 459 587 475T609 491Q630 491 630 471Q630 464 620 453T522 355L418 250L522 145Q606 61 618 48T630 29Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1023-MJMATHI-66" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1023-MJMAIN-D7" x="772" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1023-MJMATHI-66" x="1772" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1013">f×f</script>的过滤器。<strong>Padding</strong>是<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1080-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.259ex" height="1.76ex" viewBox="-39 -504.6 542 757.9" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.588ex; margin-left: -0.091ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1090-MJMATHI-70" d="M23 287Q24 290 25 295T30 317T40 348T55 381T75 411T101 433T134 442Q209 442 230 378L240 387Q302 442 358 442Q423 442 460 395T497 281Q497 173 421 82T249 -10Q227 -10 210 -4Q199 1 187 11T168 28L161 36Q160 35 139 -51T118 -138Q118 -144 126 -145T163 -148H188Q194 -155 194 -157T191 -175Q188 -187 185 -190T172 -194Q170 -194 161 -194T127 -193T65 -192Q-5 -192 -24 -194H-32Q-39 -187 -39 -183Q-37 -156 -26 -148H-6Q28 -147 33 -136Q36 -130 94 103T155 350Q156 355 156 364Q156 405 131 405Q109 405 94 377T71 316T59 280Q57 278 43 278H29Q23 284 23 287ZM178 102Q200 26 252 26Q282 26 310 49T356 107Q374 141 392 215T411 325V331Q411 405 350 405Q339 405 328 402T306 393T286 380T269 365T254 350T243 336T235 326L232 322Q232 321 229 308T218 264T204 212Q178 106 178 102Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1090-MJMATHI-70" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1080">p</script>，步幅为<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1075-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.089ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 469 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1085-MJMATHI-73" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1085-MJMATHI-73" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1075">s</script>没输出尺寸就是这样：</p><p><img src='../images/58810d826a00657957640fb931f792a7.png' alt='' /></p><p>可以选择所有的数使结果是整数是挺不错的，尽管一些时候，你不必这样做，只要向下取整也就可以了。你也可以自己选择一些<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-144-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.394ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 600 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E145-MJMATHI-6E" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E145-MJMATHI-6E" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-144">n</script>，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-859-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.277ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 550 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E869-MJMATHI-66" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 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role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.588ex; margin-left: -0.091ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1090-MJMATHI-70" d="M23 287Q24 290 25 295T30 317T40 348T55 381T75 411T101 433T134 442Q209 442 230 378L240 387Q302 442 358 442Q423 442 460 395T497 281Q497 173 421 82T249 -10Q227 -10 210 -4Q199 1 187 11T168 28L161 36Q160 35 139 -51T118 -138Q118 -144 126 -145T163 -148H188Q194 -155 194 -157T191 -175Q188 -187 185 -190T172 -194Q170 -194 161 -194T127 -193T65 -192Q-5 -192 -24 -194H-32Q-39 -187 -39 -183Q-37 -156 -26 -148H-6Q28 -147 33 -136Q36 -130 94 103T155 350Q156 355 156 364Q156 405 131 405Q109 405 94 377T71 316T59 280Q57 278 43 278H29Q23 284 23 287ZM178 102Q200 26 252 26Q282 26 310 49T356 107Q374 141 392 215T411 325V331Q411 405 350 405Q339 405 328 402T306 393T286 380T269 365T254 350T243 336T235 326L232 322Q232 321 229 308T218 264T204 212Q178 106 178 102Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1090-MJMATHI-70" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1080">p</script>和<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1075-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.089ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 469 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1085-MJMATHI-73" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1085-MJMATHI-73" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1075">s</script>的值来验证这个输出尺寸的公式是对的。</p><p><img src='../images/197a4ff81c7e793962516fc6e636830a.png' alt='' /></p><p>在讲下一部分之前，这里有一个关于互相关和卷积的技术性建议，这不会影响到你构建卷积神经网络的方式，但取决于你读的是数学教材还是信号处理教材，在不同的教材里符号可能不一致。如果你看的是一本典型的数学教科书，那么卷积的定义是做元素乘积求和，实际上还有一个步骤是你首先要做的，也就是在把这个6×6的矩阵和3×3的过滤器卷积之前，首先你将3×3的过滤器沿水平和垂直轴翻转，所以<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-986-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="13.775ex" height="9.114ex" viewBox="0 -2213.4 5931.1 3924.2" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -3.974ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E996-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E996-MJMAIN-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path stroke-width="0" id="E996-MJMAIN-34" d="M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z"></path><path stroke-width="0" id="E996-MJMAIN-35" d="M164 157Q164 133 148 117T109 101H102Q148 22 224 22Q294 22 326 82Q345 115 345 210Q345 313 318 349Q292 382 260 382H254Q176 382 136 314Q132 307 129 306T114 304Q97 304 95 310Q93 314 93 485V614Q93 664 98 664Q100 666 102 666Q103 666 123 658T178 642T253 634Q324 634 389 662Q397 666 402 666Q410 666 410 648V635Q328 538 205 538Q174 538 149 544L139 546V374Q158 388 169 396T205 412T256 420Q337 420 393 355T449 201Q449 109 385 44T229 -22Q148 -22 99 32T50 154Q50 178 61 192T84 210T107 214Q132 214 148 197T164 157Z"></path><path stroke-width="0" id="E996-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path stroke-width="0" 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d="M319 0V602H403V0H319Z"></path><path stroke-width="0" id="E999-MJSZ4-23A4" d="M0 1070V1154H347V-645H263V1070H0Z"></path><path stroke-width="0" id="E999-MJSZ4-23A6" d="M263 -560V1155H347V-644H0V-560H263Z"></path><path stroke-width="0" id="E999-MJSZ4-23A5" d="M263 0V602H347V0H263Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g transform="translate(0,2150)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E999-MJSZ4-23A1" x="0" y="-1154"></use><g transform="translate(0,-2051) scale(1,0.5016611295681063)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E999-MJSZ4-23A2"></use></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E999-MJSZ4-23A3" x="0" y="-3156"></use></g><g transform="translate(834,0)"><g transform="translate(-15,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E999-MJMAIN-37" x="389" y="1350"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E999-MJMAIN-39" x="389" y="-50"></use><g transform="translate(0,-1450)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E999-MJMAIN-2212" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E999-MJMAIN-31" x="778" y="0"></use></g></g><g transform="translate(2263,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E999-MJMAIN-32" x="0" y="1350"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E999-MJMAIN-30" x="0" y="-50"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E999-MJMAIN-31" x="0" y="-1450"></use></g><g transform="translate(3763,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E999-MJMAIN-35" x="0" y="1350"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E999-MJMAIN-34" x="0" y="-50"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E999-MJMAIN-33" x="0" y="-1450"></use></g></g><g transform="translate(5264,2150)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E999-MJSZ4-23A4" x="0" y="-1154"></use><g transform="translate(0,-2051) scale(1,0.5016611295681063)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E999-MJSZ4-23A5"></use></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E999-MJSZ4-23A6" x="0" y="-3156"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-989">\begin{bmatrix} 7& 2 & 5 \\ 9 & 0 & 4 \\ - 1& 1 & 3 \\\end{bmatrix}</script>）。然后你再把这个翻转后的矩阵复制到这里（左边的图像矩阵），你要把这个翻转矩阵的元素相乘来计算输出的4×4矩阵左上角的元素，如图所示。然后取这9个数字，把它们平移一个位置，再平移一格，以此类推。</p><p>所以我们在这些视频中定义卷积运算时，我们跳过了这个镜像操作。从技术上讲，我们实际上做的，我们在前面视频中使用的操作，有时被称为互相关（<strong>cross-correlation</strong>）而不是卷积（<strong>convolution</strong>）。但在深度学习文献中，按照惯例，我们将这（不进行翻转操作）叫做卷积操作。</p><p>总结来说，按照机器学习的惯例，我们通常不进行翻转操作。从技术上说，这个操作可能叫做互相关更好。但在大部分的深度学习文献中都把它叫做卷积运算，因此我们将在这些视频中使用这个约定。如果你读了很多机器学习文献的话，你会发现许多人都把它叫做卷积运算，不需要用到这些翻转。</p><p><img src='../images/42d89137318c0edc3c9ce05820e37a3e.png' alt='' /></p><p>事实证明在信号处理中或某些数学分支中，在卷积的定义包含翻转，使得卷积运算符拥有这个性质，即<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-990-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="26.025ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 11205.3 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1000-MJMAIN-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E1000-MJMATHI-41" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 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y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1000-MJMAIN-2217" x="1361" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1000-MJMATHI-42" x="2083" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1000-MJMAIN-29" x="2842" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1000-MJMAIN-2217" x="3453" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1000-MJMATHI-43" x="4175" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1000-MJMAIN-3D" x="5213" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1000-MJMATHI-41" x="6269" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1000-MJMAIN-2217" x="7241" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1000-MJMAIN-28" x="7963" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1000-MJMATHI-42" x="8352" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1000-MJMAIN-2217" x="9334" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1000-MJMATHI-43" x="10056" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1000-MJMAIN-29" x="10816" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-990">(A*B)*C=A*(B*C)</script>，这在数学中被称为结合律。这对于一些信号处理应用来说很好，但对于深度神经网络来说它真的不重要，因此省略了这个双重镜像操作，就简化了代码，并使神经网络也能正常工作。</p><p>根据惯例，我们大多数人都叫它卷积，尽管数学家们更喜欢称之为互相关，但这不会影响到你在编程练习中要实现的任何东西，也不会影响你阅读和理解深度学习文献。</p><p>现在你已经看到了如何进行卷积，以及如何使用填充，如何在卷积中选择步幅。但到目前为止，我们所使用的是关于矩阵的卷积，例如6×6的矩阵。在下一集视频中，你将看到如何对立体进行卷积，这将会使你的卷积变得更加强大，让我们继续下一个视频。</p><h3><a name='header-n254' class='md-header-anchor '></a>1.6 三维卷积（Convolutions over volumes）</h3><p>你已经知道如何对二维图像做卷积了，现在看看如何执行卷积不仅仅在二维图像上，而是三维立体上。</p><p>我们从一个例子开始，假如说你不仅想检测灰度图像的特征，也想检测<strong>RGB</strong>彩色图像的特征。彩色图像如果是6×6×3，这里的3指的是三个颜色通道，你可以把它想象成三个6×6图像的堆叠。为了检测图像的边缘或者其他的特征，不是把它跟原来的3×3的过滤器做卷积，而是跟一个三维的过滤器，它的维度是3×3×3，这样这个过滤器也有三层，对应红绿、蓝三个通道。</p><p><img src='../images/0750b2344d16400b2db885261b059f53.png' alt='' /></p><p>给这些起个名字（原图像），这里的第一个6代表图像高度，第二个6代表宽度，这个3代表通道的数目。同样你的过滤器也有一个高，宽和通道数，并且图像的通道数必须和过滤器的通道数匹配，所以这两个数（紫色方框标记的两个数）必须相等。下个幻灯片里，我们就会知道这个卷积操作是如何进行的了，这个的输出会是一个4×4的图像，注意是4×4×1，最后一个数不是3了。</p><p><img src='../images/d148c3dd7ce9e6d7e29c02c483298842.png' alt='' /></p><p>我们研究下这背后的细节，首先先换一张好看的图片。这个是6×6×3的图像，这个是3×3×3的过滤器，最后一个数字通道数必须和过滤器中的通道数相匹配。为了简化这个3×3×3过滤器的图像，我们不把它画成3个矩阵的堆叠，而画成这样，一个三维的立方体。</p><p><img src='../images/9b0b0e9062f8814a6a462ea64449f89e.png' alt='' /></p><p>为了计算这个卷积操作的输出，你要做的就是把这个3×3×3的过滤器先放到最左上角的位置，这个3×3×3的过滤器有27个数，27个参数就是3的立方。依次取这27个数，然后乘以相应的红绿蓝通道中的数字。先取红色通道的前9个数字，然后是绿色通道，然后再是蓝色通道，乘以左边黄色立方体覆盖的对应的27个数，然后把这些数都加起来，就得到了输出的第一个数字。</p><p>如果要计算下一个输出，你把这个立方体滑动一个单位，再与这27个数相乘，把它们都加起来，就得到了下一个输出，以此类推。</p><p><img src='../images/2fd0c97947a3e8222e78d550a317366d.png' alt='' /></p><p>那么，这个能干什么呢？举个例子，这个过滤器是3×3×3的，如果你想检测图像红色通道的边缘，那么你可以将第一个过滤器设为<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-995-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="13.775ex" height="9.114ex" viewBox="0 -2213.4 5931.1 3924.2" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -3.974ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1005-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E1005-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path stroke-width="0" id="E1005-MJMAIN-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path stroke-width="0" id="E1005-MJMAIN-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E1005-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path><path stroke-width="0" id="E1005-MJSZ4-23A1" d="M319 -645V1154H666V1070H403V-645H319Z"></path><path stroke-width="0" id="E1005-MJSZ4-23A3" d="M319 -644V1155H403V-560H666V-644H319Z"></path><path stroke-width="0" id="E1005-MJSZ4-23A2" d="M319 0V602H403V0H319Z"></path><path stroke-width="0" id="E1005-MJSZ4-23A4" d="M0 1070V1154H347V-645H263V1070H0Z"></path><path stroke-width="0" id="E1005-MJSZ4-23A6" d="M263 -560V1155H347V-644H0V-560H263Z"></path><path stroke-width="0" id="E1005-MJSZ4-23A5" d="M263 0V602H347V0H263Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g transform="translate(0,2150)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1005-MJSZ4-23A1" x="0" y="-1154"></use><g transform="translate(0,-2051) scale(1,0.5016611295681063)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1005-MJSZ4-23A2"></use></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1005-MJSZ4-23A3" x="0" y="-3156"></use></g><g transform="translate(834,0)"><g transform="translate(-15,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1005-MJMAIN-31" x="0" y="1350"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" 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transform="translate(0,-1450)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1005-MJMAIN-2212" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1005-MJMAIN-31" x="778" y="0"></use></g></g></g><g transform="translate(5264,2150)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1005-MJSZ4-23A4" x="0" y="-1154"></use><g transform="translate(0,-2051) scale(1,0.5016611295681063)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1005-MJSZ4-23A5"></use></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1005-MJSZ4-23A6" x="0" y="-3156"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-995">\begin{bmatrix}1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 \\\end{bmatrix}</script>，和之前一样，而绿色通道全为0，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-992-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="11.968ex" height="9.114ex" viewBox="0 -2213.4 5153.1 3924.2" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -3.974ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1002-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E1002-MJMAIN-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path stroke-width="0" id="E1002-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path><path stroke-width="0" id="E1002-MJSZ4-23A1" d="M319 -645V1154H666V1070H403V-645H319Z"></path><path stroke-width="0" id="E1002-MJSZ4-23A3" d="M319 -644V1155H403V-560H666V-644H319Z"></path><path stroke-width="0" id="E1002-MJSZ4-23A2" d="M319 0V602H403V0H319Z"></path><path stroke-width="0" id="E1002-MJSZ4-23A4" d="M0 1070V1154H347V-645H263V1070H0Z"></path><path stroke-width="0" id="E1002-MJSZ4-23A6" d="M263 -560V1155H347V-644H0V-560H263Z"></path><path stroke-width="0" id="E1002-MJSZ4-23A5" d="M263 0V602H347V0H263Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g transform="translate(0,2150)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1002-MJSZ4-23A1" x="0" y="-1154"></use><g transform="translate(0,-2051) scale(1,0.5016611295681063)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1002-MJSZ4-23A2"></use></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1002-MJSZ4-23A3" x="0" y="-3156"></use></g><g transform="translate(834,0)"><g transform="translate(-15,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1002-MJMAIN-30" x="0" y="1350"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1002-MJMAIN-30" x="0" y="-50"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1002-MJMAIN-30" x="0" y="-1450"></use></g><g transform="translate(1485,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1002-MJMAIN-30" x="0" y="1350"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1002-MJMAIN-30" x="0" y="-50"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1002-MJMAIN-30" x="0" y="-1450"></use></g><g transform="translate(2985,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1002-MJMAIN-30" x="0" y="1350"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1002-MJMAIN-30" x="0" y="-50"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1002-MJMAIN-30" x="0" y="-1450"></use></g></g><g transform="translate(4486,2150)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1002-MJSZ4-23A4" x="0" y="-1154"></use><g transform="translate(0,-2051) scale(1,0.5016611295681063)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1002-MJSZ4-23A5"></use></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1002-MJSZ4-23A6" x="0" y="-3156"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-992">\begin{bmatrix} 0& 0 & 0 \\ 0 &0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\\end{bmatrix}</script>，蓝色也全为0。如果你把这三个堆叠在一起形成一个3×3×3的过滤器，那么这就是一个检测垂直边界的过滤器，但只对红色通道有用。</p><p><img src='../images/d088cafb50cabd6837d95c03c953e920.png' alt='' /></p><p>或者如果你不关心垂直边界在哪个颜色通道里，那么你可以用一个这样的过滤器，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-994-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="13.775ex" height="9.114ex" viewBox="0 -2213.4 5931.1 3924.2" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -3.974ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1004-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E1004-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path stroke-width="0" id="E1004-MJMAIN-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path stroke-width="0" id="E1004-MJMAIN-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E1004-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path><path stroke-width="0" id="E1004-MJSZ4-23A1" d="M319 -645V1154H666V1070H403V-645H319Z"></path><path stroke-width="0" id="E1004-MJSZ4-23A3" d="M319 -644V1155H403V-560H666V-644H319Z"></path><path stroke-width="0" id="E1004-MJSZ4-23A2" d="M319 0V602H403V0H319Z"></path><path stroke-width="0" id="E1004-MJSZ4-23A4" d="M0 1070V1154H347V-645H263V1070H0Z"></path><path stroke-width="0" id="E1004-MJSZ4-23A6" d="M263 -560V1155H347V-644H0V-560H263Z"></path><path stroke-width="0" id="E1004-MJSZ4-23A5" d="M263 0V602H347V0H263Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g transform="translate(0,2150)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1004-MJSZ4-23A1" x="0" y="-1154"></use><g transform="translate(0,-2051) scale(1,0.5016611295681063)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1004-MJSZ4-23A2"></use></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1004-MJSZ4-23A3" x="0" y="-3156"></use></g><g transform="translate(834,0)"><g transform="translate(-15,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1004-MJMAIN-31" x="0" y="1350"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1004-MJMAIN-31" x="0" y="-50"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1004-MJMAIN-31" x="0" y="-1450"></use></g><g transform="translate(1485,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1004-MJMAIN-30" x="0" y="1350"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1004-MJMAIN-30" x="0" y="-50"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1004-MJMAIN-30" x="0" y="-1450"></use></g><g transform="translate(2985,0)"><g transform="translate(0,1350)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1004-MJMAIN-2212" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1004-MJMAIN-31" x="778" y="0"></use></g><g transform="translate(0,-50)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1004-MJMAIN-2212" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1004-MJMAIN-31" x="778" y="0"></use></g><g transform="translate(0,-1450)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1004-MJMAIN-2212" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1004-MJMAIN-31" x="778" y="0"></use></g></g></g><g transform="translate(5264,2150)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1004-MJSZ4-23A4" x="0" y="-1154"></use><g transform="translate(0,-2051) scale(1,0.5016611295681063)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1004-MJSZ4-23A5"></use></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1004-MJSZ4-23A6" x="0" y="-3156"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-994">\begin{bmatrix}1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 \\ \end{bmatrix}</script>，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-994-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="13.775ex" height="9.114ex" viewBox="0 -2213.4 5931.1 3924.2" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -3.974ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1004-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E1004-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path stroke-width="0" id="E1004-MJMAIN-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 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47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path stroke-width="0" id="E1005-MJMAIN-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path stroke-width="0" id="E1005-MJMAIN-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E1005-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path><path stroke-width="0" id="E1005-MJSZ4-23A1" d="M319 -645V1154H666V1070H403V-645H319Z"></path><path stroke-width="0" id="E1005-MJSZ4-23A3" d="M319 -644V1155H403V-560H666V-644H319Z"></path><path stroke-width="0" id="E1005-MJSZ4-23A2" d="M319 0V602H403V0H319Z"></path><path stroke-width="0" id="E1005-MJSZ4-23A4" d="M0 1070V1154H347V-645H263V1070H0Z"></path><path stroke-width="0" id="E1005-MJSZ4-23A6" d="M263 -560V1155H347V-644H0V-560H263Z"></path><path stroke-width="0" id="E1005-MJSZ4-23A5" d="M263 0V602H347V0H263Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g transform="translate(0,2150)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1005-MJSZ4-23A1" x="0" y="-1154"></use><g transform="translate(0,-2051) scale(1,0.5016611295681063)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1005-MJSZ4-23A2"></use></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1005-MJSZ4-23A3" x="0" y="-3156"></use></g><g transform="translate(834,0)"><g transform="translate(-15,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1005-MJMAIN-31" x="0" y="1350"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1005-MJMAIN-31" x="0" y="-50"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1005-MJMAIN-31" x="0" y="-1450"></use></g><g transform="translate(1485,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1005-MJMAIN-30" x="0" y="1350"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1005-MJMAIN-30" x="0" y="-50"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1005-MJMAIN-30" x="0" y="-1450"></use></g><g transform="translate(2985,0)"><g transform="translate(0,1350)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1005-MJMAIN-2212" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1005-MJMAIN-31" x="778" y="0"></use></g><g transform="translate(0,-50)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1005-MJMAIN-2212" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1005-MJMAIN-31" x="778" y="0"></use></g><g transform="translate(0,-1450)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1005-MJMAIN-2212" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1005-MJMAIN-31" x="778" y="0"></use></g></g></g><g transform="translate(5264,2150)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1005-MJSZ4-23A4" x="0" y="-1154"></use><g transform="translate(0,-2051) scale(1,0.5016611295681063)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1005-MJSZ4-23A5"></use></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1005-MJSZ4-23A6" x="0" y="-3156"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-995">\begin{bmatrix}1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 \\\end{bmatrix}</script>，所有三个通道都是这样。所以通过设置第二个过滤器参数，你就有了一个边界检测器，3×3×3的边界检测器，用来检测任意颜色通道里的边界。参数的选择不同，你就可以得到不同的特征检测器，所有的都是3×3×3的过滤器。</p><p>按照计算机视觉的惯例，当你的输入有特定的高宽和通道数时，你的过滤器可以有不同的高，不同的宽，但是必须一样的通道数。理论上，我们的过滤器只关注红色通道，或者只关注绿色或者蓝色通道也是可行的。</p><p>再注意一下这个卷积立方体，一个6×6×6的输入图像卷积上一个3×3×3的过滤器，得到一个4×4的二维输出。</p><p>现在你已经了解了如何对立方体卷积，还有最后一个概念，对建立卷积神经网络至关重要。就是，如果我们不仅仅想要检测垂直边缘怎么办？如果我们同时检测垂直边缘和水平边缘，还有45°倾斜的边缘，还有70°倾斜的边缘怎么做？换句话说，如果你想同时用多个过滤器怎么办？</p><p>这是我们上一张幻灯片的图片，我们让这个6×6×3的图像和这个3×3×3的过滤器卷积，得到4×4的输出。（第一个）这可能是一个垂直边界检测器或者是学习检测其他的特征。第二个过滤器可以用橘色来表示，它可以是一个水平边缘检测器。</p><p><img src='../images/794b25829ae809f93ac69f81eee79cd1.png' alt='' /></p><p>所以和第一个过滤器卷积，可以得到第一个4×4的输出，然后卷积第二个过滤器，得到一个不同的4×4的输出。我们做完卷积，然后把这两个4×4的输出，取第一个把它放到前面，然后取第二个过滤器输出，我把它画在这，放到后面。所以把这两个输出堆叠在一起，这样你就都得到了一个4×4×2的输出立方体，你可以把这个立方体当成，重新画在这，就是一个这样的盒子，所以这就是一个4×4×2的输出立方体。它用6×6×3的图像，然后卷积上这两个不同的3×3的过滤器，得到两个4×4的输出，它们堆叠在一起，形成一个4×4×2的立方体，这里的2的来源于我们用了两个不同的过滤器。</p><p><img src='../images/d590398749e3f5f3ac230ab25116c4b7.png' alt='' /></p><p>我们总结一下维度，如果你有一个<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1017-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="10.803ex" height="1.877ex" viewBox="0 -554.9 4651.1 808.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.588ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1027-MJMATHI-6E" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path stroke-width="0" id="E1027-MJMAIN-D7" d="M630 29Q630 9 609 9Q604 9 587 25T493 118L389 222L284 117Q178 13 175 11Q171 9 168 9Q160 9 154 15T147 29Q147 36 161 51T255 146L359 250L255 354Q174 435 161 449T147 471Q147 480 153 485T168 490Q173 490 175 489Q178 487 284 383L389 278L493 382Q570 459 587 475T609 491Q630 491 630 471Q630 464 620 453T522 355L418 250L522 145Q606 61 618 48T630 29Z"></path><path stroke-width="0" id="E1027-MJMATHI-63" d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325T330 359T352 380T366 386H367Q367 388 361 392T340 400T306 404Q276 404 249 390Q228 381 206 359Q162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50Q169 26 205 26H209Q321 26 394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 83T391 55T346 25T282 0T202 -11Q127 -11 81 37T34 159Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1027-MJMATHI-6E" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1027-MJMAIN-D7" x="822" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1027-MJMATHI-6E" x="1822" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1027-MJMAIN-D7" x="2644" y="0"></use><g transform="translate(3644,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1027-MJMATHI-6E" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1027-MJMATHI-63" x="848" y="-213"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1017">n \times n \times n_{c}</script>（通道数）的输入图像，在这个例子中就是6×6×3，这里的<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1072-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.337ex" height="1.76ex" viewBox="0 -504.6 1006.2 757.9" role="img" focusable="false" style="vertical-align: 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25T282 0T202 -11Q127 -11 81 37T34 159Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1082-MJMATHI-6E" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1082-MJMATHI-63" x="848" y="-213"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1072">n_{c}</script>就是通道数目，然后卷积上一个<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-998-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="10.57ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 4551.1 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1008-MJMATHI-66" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 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stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1008-MJMATHI-66" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1008-MJMAIN-D7" x="772" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1008-MJMATHI-66" x="1772" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1008-MJMAIN-D7" x="2544" y="0"></use><g transform="translate(3544,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1008-MJMATHI-6E" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1008-MJMATHI-63" x="848" y="-213"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-998">f×f×n_{c}</script>，这个例子中是3×3×3，按照惯例，这个（前一个<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1072-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg 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159Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1082-MJMATHI-6E" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1082-MJMATHI-63" x="848" y="-213"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1072">n_{c}</script>）必须数值相同。然后你就得到了<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1001-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="35.1ex" height="2.928ex" viewBox="0 -906.7 15112.5 1260.5" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.822ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1011-MJMATHI-6E" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 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490 175 489Q178 487 284 383L389 278L493 382Q570 459 587 475T609 491Q630 491 630 471Q630 464 620 453T522 355L418 250L522 145Q606 61 618 48T630 29Z"></path><path stroke-width="0" id="E1011-MJMATHI-63" d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325T330 359T352 380T366 386H367Q367 388 361 392T340 400T306 404Q276 404 249 390Q228 381 206 359Q162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50Q169 26 205 26H209Q321 26 394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 83T391 55T346 25T282 0T202 -11Q127 -11 81 37T34 159Z"></path><path stroke-width="0" id="E1011-MJMAIN-2032" d="M79 43Q73 43 52 49T30 61Q30 68 85 293T146 528Q161 560 198 560Q218 560 240 545T262 501Q262 496 260 486Q259 479 173 263T84 45T79 43Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><text font-family="STIXGeneral,'Arial Unicode MS',serif" stroke="none" transform="scale(50.259) matrix(1 0 0 -1 0 0)">（</text><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1011-MJMATHI-6E" x="803" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1011-MJMAIN-2212" x="1625" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1011-MJMATHI-66" x="2625" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1011-MJMAIN-2B" x="3398" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1011-MJMAIN-31" x="4398" y="0"></use><g transform="translate(4898,0)"><text font-family="STIXGeneral,'Arial Unicode MS',serif" stroke="none" transform="scale(50.259) matrix(1 0 0 -1 0 0)">）</text></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1011-MJMAIN-D7" x="5923" y="0"></use><g transform="translate(6924,0)"><text font-family="STIXGeneral,'Arial Unicode MS',serif" stroke="none" transform="scale(50.259) matrix(1 0 0 -1 0 0)">（</text></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1011-MJMATHI-6E" x="7727" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1011-MJMAIN-2212" x="8549" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1011-MJMATHI-66" x="9549" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1011-MJMAIN-2B" x="10322" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1011-MJMAIN-31" x="11322" y="0"></use><g transform="translate(11822,0)"><text font-family="STIXGeneral,'Arial Unicode MS',serif" stroke="none" transform="scale(50.259) matrix(1 0 0 -1 0 0)">）</text></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1011-MJMAIN-D7" x="12847" y="0"></use><g transform="translate(13848,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1011-MJMATHI-6E" x="0" y="0"></use><g transform="translate(600,-285)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1011-MJMATHI-63" x="0" y="0"></use><g transform="translate(306,204)"><use transform="scale(0.5)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1011-MJMAIN-2032" x="0" y="288"></use></g></g></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1001">（n-f+1）×（n-f+1）×n_{c^{'}}</script>，这里<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1002-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.937ex" height="1.994ex" viewBox="0 -504.6 1264.4 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.822ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1012-MJMATHI-6E" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path stroke-width="0" id="E1012-MJMATHI-63" d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325T330 359T352 380T366 386H367Q367 388 361 392T340 400T306 404Q276 404 249 390Q228 381 206 359Q162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50Q169 26 205 26H209Q321 26 394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 83T391 55T346 25T282 0T202 -11Q127 -11 81 37T34 159Z"></path><path stroke-width="0" id="E1012-MJMAIN-2032" d="M79 43Q73 43 52 49T30 61Q30 68 85 293T146 528Q161 560 198 560Q218 560 240 545T262 501Q262 496 260 486Q259 479 173 263T84 45T79 43Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1012-MJMATHI-6E" x="0" y="0"></use><g transform="translate(600,-285)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1012-MJMATHI-63" x="0" y="0"></use><g transform="translate(306,204)"><use transform="scale(0.5)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1012-MJMAIN-2032" x="0" y="288"></use></g></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1002">n_{c^{'}}</script>其实就是下一层的通道数，它就是你用的过滤器的个数，在我们的例子中，那就是4×4×2。我写下这个假设时，用的步幅为1，并且没有<strong>padding</strong>。如果你用了不同的步幅或者<strong>padding</strong>，那么这个<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1003-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="9.511ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 4094.9 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1013-MJMATHI-6E" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path stroke-width="0" id="E1013-MJMAIN-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E1013-MJMATHI-66" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path stroke-width="0" id="E1013-MJMAIN-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E1013-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1013-MJMATHI-6E" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1013-MJMAIN-2212" x="822" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1013-MJMATHI-66" x="1822" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1013-MJMAIN-2B" x="2594" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1013-MJMAIN-31" x="3594" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1003">n-f+1</script>数值会变化，正如前面的视频演示的那样。</p><p>这个对立方体卷积的概念真的很有用，你现在可以用它的一小部分直接在三个通道的<strong>RGB</strong>图像上进行操作。更重要的是，你可以检测两个特征，比如垂直和水平边缘或者10个或者128个或者几百个不同的特征，并且输出的通道数会等于你要检测的特征数。</p><p>对于这里的符号，我一直用通道数（<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1072-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.337ex" height="1.76ex" viewBox="0 -504.6 1006.2 757.9" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.588ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1082-MJMATHI-6E" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path stroke-width="0" id="E1082-MJMATHI-63" d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325T330 359T352 380T366 386H367Q367 388 361 392T340 400T306 404Q276 404 249 390Q228 381 206 359Q162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50Q169 26 205 26H209Q321 26 394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 83T391 55T346 25T282 0T202 -11Q127 -11 81 37T34 159Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1082-MJMATHI-6E" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1082-MJMATHI-63" x="848" y="-213"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1072">n_{c}</script>）来表示最后一个维度，在文献里大家也把它叫做3维立方体的深度。这两个术语，即通道或者深度，经常被用在文献中。但我觉得深度容易让人混淆，因为你通常也会说神经网络的深度。所以，在这些视频里我会用通道这个术语来表示过滤器的第三个维度的大小。</p><p>所以你已经知道怎么对立方体做卷积了，你已经准备好了实现卷积神经其中一层了，在下个视频里让我们看看是怎么做的。</p><h3><a name='header-n303' class='md-header-anchor '></a>1.7 单层卷积网络（One layer of a convolutional network）</h3><p>今天我们要讲的是如何构建卷积神经网络的卷积层，下面来看个例子。</p><p><img src='../images/47ee90bd4a3939254a10d4b808d475ff.png' alt='' /></p><p>上节课，我们已经讲了如何通过两个过滤器卷积处理一个三维图像，并输出两个不同的4×4矩阵。假设使用第一个过滤器进行卷积，得到第一个4×4矩阵。使用第二个过滤器进行卷积得到另外一个4×4矩阵。</p><p><img src='../images/2e42ccefeeecd75656bc871e89723844.png' alt='' /></p><p>最终各自形成一个卷积神经网络层，然后增加偏差，它是一个实数，通过<strong>Python</strong>的广播机制给这16个元素都加上同一偏差。然后应用非线性函数，为了说明，它是一个非线性激活函数<strong>ReLU</strong>，输出结果是一个4×4矩阵。</p><p>对于第二个4×4矩阵，我们加上不同的偏差，它也是一个实数，16个数字都加上同一个实数，然后应用非线性函数，也就是一个非线性激活函数<strong>ReLU</strong>，最终得到另一个4×4矩阵。然后重复我们之前的步骤，把这两个矩阵堆叠起来，最终得到一个4×4×2的矩阵。我们通过计算，从6×6×3的输入推导出一个4×4×2矩阵，它是卷积神经网络的一层，把它映射到标准神经网络中四个卷积层中的某一层或者一个非卷积神经网络中。</p><p><img src='../images/1236aad1426bd324964091f1d9db2587.png' alt='' /></p><p>注意前向传播中一个操作就是<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1005-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="19.624ex" height="2.577ex" viewBox="0 -956.9 8449 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.355ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1015-MJMATHI-7A" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path stroke-width="0" id="E1015-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E1015-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path stroke-width="0" id="E1015-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path><path stroke-width="0" id="E1015-MJMAIN-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path stroke-width="0" id="E1015-MJMATHI-57" d="M436 683Q450 683 486 682T553 680Q604 680 638 681T677 682Q695 682 695 674Q695 670 692 659Q687 641 683 639T661 637Q636 636 621 632T600 624T597 615Q597 603 613 377T629 138L631 141Q633 144 637 151T649 170T666 200T690 241T720 295T759 362Q863 546 877 572T892 604Q892 619 873 628T831 637Q817 637 817 647Q817 650 819 660Q823 676 825 679T839 682Q842 682 856 682T895 682T949 681Q1015 681 1034 683Q1048 683 1048 672Q1048 666 1045 655T1038 640T1028 637Q1006 637 988 631T958 617T939 600T927 584L923 578L754 282Q586 -14 585 -15Q579 -22 561 -22Q546 -22 542 -17Q539 -14 523 229T506 480L494 462Q472 425 366 239Q222 -13 220 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id="MathJax-Element-375-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="4.473ex" height="2.461ex" viewBox="0 -956.9 1926 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E376-MJMATHI-57" d="M436 683Q450 683 486 682T553 680Q604 680 638 681T677 682Q695 682 695 674Q695 670 692 659Q687 641 683 639T661 637Q636 636 621 632T600 624T597 615Q597 603 613 377T629 138L631 141Q633 144 637 151T649 170T666 200T690 241T720 295T759 362Q863 546 877 572T892 604Q892 619 873 628T831 637Q817 637 817 647Q817 650 819 660Q823 676 825 679T839 682Q842 682 856 682T895 682T949 681Q1015 681 1034 683Q1048 683 1048 672Q1048 666 1045 655T1038 640T1028 637Q1006 637 988 631T958 617T939 600T927 584L923 578L754 282Q586 -14 585 -15Q579 -22 561 -22Q546 -22 542 -17Q539 -14 523 229T506 480L494 462Q472 425 366 239Q222 -13 220 -15T215 -19Q210 -22 197 -22Q178 -22 176 -15Q176 -12 154 304T131 622Q129 631 121 633T82 637H58Q51 644 51 648Q52 671 64 683H76Q118 680 176 680Q301 680 313 683H323Q329 677 329 674T327 656Q322 641 318 637H297Q236 634 232 620Q262 160 266 136L501 550L499 587Q496 629 489 632Q483 636 447 637Q428 637 422 639T416 648Q416 650 418 660Q419 664 420 669T421 676T424 680T428 682T436 683Z"></path><path stroke-width="0" id="E376-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E376-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path stroke-width="0" id="E376-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E376-MJMATHI-57" x="0" y="0"></use><g transform="translate(1079,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E376-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E376-MJMAIN-31" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E376-MJMAIN-5D" x="778" y="0"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-375">W^{[1]}</script>表示。在卷积过程中，我们对这27个数进行操作，其实是27×2，因为我们用了两个过滤器，我们取这些数做乘法。实际执行了一个线性函数，得到一个4×4的矩阵。卷积操作的输出结果是一个4×4的矩阵，它的作用类似于<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1008-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="7.668ex" height="2.461ex" viewBox="0 -956.9 3301.7 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1018-MJMATHI-57" d="M436 683Q450 683 486 682T553 680Q604 680 638 681T677 682Q695 682 695 674Q695 670 692 659Q687 641 683 639T661 637Q636 636 621 632T600 624T597 615Q597 603 613 377T629 138L631 141Q633 144 637 151T649 170T666 200T690 241T720 295T759 362Q863 546 877 572T892 604Q892 619 873 628T831 637Q817 637 817 647Q817 650 819 660Q823 676 825 679T839 682Q842 682 856 682T895 682T949 681Q1015 681 1034 683Q1048 683 1048 672Q1048 666 1045 655T1038 640T1028 637Q1006 637 988 631T958 617T939 600T927 584L923 578L754 282Q586 -14 585 -15Q579 -22 561 -22Q546 -22 542 -17Q539 -14 523 229T506 480L494 462Q472 425 366 239Q222 -13 220 -15T215 -19Q210 -22 197 -22Q178 -22 176 -15Q176 -12 154 304T131 622Q129 631 121 633T82 637H58Q51 644 51 648Q52 671 64 683H76Q118 680 176 680Q301 680 313 683H323Q329 677 329 674T327 656Q322 641 318 637H297Q236 634 232 620Q262 160 266 136L501 550L499 587Q496 629 489 632Q483 636 447 637Q428 637 422 639T416 648Q416 650 418 660Q419 664 420 669T421 676T424 680T428 682T436 683Z"></path><path stroke-width="0" id="E1018-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E1018-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path stroke-width="0" id="E1018-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path><path stroke-width="0" id="E1018-MJMATHI-61" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path stroke-width="0" id="E1018-MJMAIN-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1018-MJMATHI-57" x="0" y="0"></use><g transform="translate(1079,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1018-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1018-MJMAIN-31" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1018-MJMAIN-5D" x="778" y="0"></use></g><g transform="translate(1925,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1018-MJMATHI-61" x="0" y="0"></use><g transform="translate(529,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1018-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1018-MJMAIN-30" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1018-MJMAIN-5D" x="778" y="0"></use></g></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1008">W^{[1]}a^{[0]}</script>，也就是这两个4×4矩阵的输出结果，然后加上偏差。</p><p><img src='../images/f75c1c3fb38083e046d3497656ab4591.png' alt='' /></p><p>这一部分（图中蓝色边框标记的部分）就是应用激活函数<strong>ReLU</strong>之前的值，它的作用类似于<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-336-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="3.056ex" height="2.461ex" viewBox="0 -956.9 1315.7 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E337-MJMATHI-7A" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path stroke-width="0" id="E337-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E337-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path stroke-width="0" id="E337-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E337-MJMATHI-7A" x="0" y="0"></use><g transform="translate(468,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E337-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E337-MJMAIN-31" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E337-MJMAIN-5D" x="778" y="0"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-336">z^{[1]}</script>，最后应用非线性函数，得到的这个4×4×2矩阵，成为神经网络的下一层，也就是激活层。</p><p>这就是<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-346-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="3.195ex" height="2.461ex" viewBox="0 -956.9 1375.7 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E347-MJMATHI-61" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path stroke-width="0" id="E347-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E347-MJMAIN-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path stroke-width="0" id="E347-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E347-MJMATHI-61" x="0" y="0"></use><g transform="translate(529,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E347-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E347-MJMAIN-30" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E347-MJMAIN-5D" x="778" y="0"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-346">a^{[0]}</script>到<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-303-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="3.195ex" height="2.461ex" viewBox="0 -956.9 1375.7 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E304-MJMATHI-61" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path stroke-width="0" id="E304-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E304-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path stroke-width="0" id="E304-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E304-MJMATHI-61" x="0" y="0"></use><g transform="translate(529,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E304-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E304-MJMAIN-31" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E304-MJMAIN-5D" x="778" y="0"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-303">a^{[1]}</script>的演变过程，首先执行线性函数，然后所有元素相乘做卷积，具体做法是运用线性函数再加上偏差，然后应用激活函数<strong>ReLU</strong>。这样就通过神经网络的一层把一个6×6×3的维度<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-346-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="3.195ex" height="2.461ex" viewBox="0 -956.9 1375.7 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E347-MJMATHI-61" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path stroke-width="0" id="E347-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E347-MJMAIN-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path stroke-width="0" id="E347-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E347-MJMATHI-61" x="0" y="0"></use><g transform="translate(529,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E347-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E347-MJMAIN-30" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E347-MJMAIN-5D" x="778" y="0"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-346">a^{[0]}</script>演化为一个4×4×2维度的<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-303-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="3.195ex" height="2.461ex" viewBox="0 -956.9 1375.7 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E304-MJMATHI-61" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path stroke-width="0" id="E304-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E304-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path stroke-width="0" id="E304-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E304-MJMATHI-61" x="0" y="0"></use><g transform="translate(529,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E304-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E304-MJMAIN-31" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E304-MJMAIN-5D" x="778" y="0"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-303">a^{[1]}</script>，这就是卷积神经网络的一层。</p><p>示例中我们有两个过滤器，也就是有两个特征，因此我们才最终得到一个4×4×2的输出。但如果我们用了10个过滤器，而不是2个，我们最后会得到一个4×4×10维度的输出图像，因为我们选取了其中10个特征映射，而不仅仅是2个，将它们堆叠在一起，形成一个4×4×10的输出图像，也就是<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1009-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="3.195ex" height="2.461ex" viewBox="0 -956.9 1375.7 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1019-MJMATHI-61" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path stroke-width="0" id="E1019-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E1019-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path stroke-width="0" id="E1019-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1019-MJMATHI-61" x="0" y="0"></use><g transform="translate(529,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1019-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1019-MJMAIN-31" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1019-MJMAIN-5D" x="778" y="0"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1009">a^{\left\lbrack1 \right\rbrack}</script>。</p><p><img src='../images/d0241a6550665caeec21174158e96da9.png' alt='' /></p><p>为了加深理解，我们来做一个练习。假设你有10个过滤器，而不是2个，神经网络的一层是3×3×3，那么，这一层有多少个参数呢？我们来计算一下，每一层都是一个3×3×3的矩阵，因此每个过滤器有27个参数，也就是27个数。然后加上一个偏差，用参数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-377-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="0.996ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 429 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E378-MJMATHI-62" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E378-MJMATHI-62" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-377">b</script>表示，现在参数增加到28个。上一页幻灯片里我画了2个过滤器，而现在我们有10个，加在一起是28×10，也就是280个参数。</p><p>请注意一点，不论输入图片有多大，1000×1000也好，5000×5000也好，参数始终都是280个。用这10个过滤器来提取特征，如垂直边缘，水平边缘和其它特征。即使这些图片很大，参数却很少，这就是卷积神经网络的一个特征，叫作“<strong>避免过拟合</strong>”。你已经知道到如何提取10个特征，可以应用到大图片中，而参数数量固定不变，此例中只有28个，相对较少。</p><p>最后我们总结一下用于描述卷积神经网络中的一层（以<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-530-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="0.692ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 298 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E535-MJMATHI-6C" d="M117 59Q117 26 142 26Q179 26 205 131Q211 151 215 152Q217 153 225 153H229Q238 153 241 153T246 151T248 144Q247 138 245 128T234 90T214 43T183 6T137 -11Q101 -11 70 11T38 85Q38 97 39 102L104 360Q167 615 167 623Q167 626 166 628T162 632T157 634T149 635T141 636T132 637T122 637Q112 637 109 637T101 638T95 641T94 647Q94 649 96 661Q101 680 107 682T179 688Q194 689 213 690T243 693T254 694Q266 694 266 686Q266 675 193 386T118 83Q118 81 118 75T117 65V59Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E535-MJMATHI-6C" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-530">l</script>层为例），也就是卷积层的各种标记。</p><p><img src='../images/0582fe0191d4ffe37f29f0f8a8bdd69e.png' alt='' /></p><p>这一层是卷积层，用<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1010-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.954ex" height="2.928ex" viewBox="0 -956.9 1271.9 1260.5" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1020-MJMATHI-66" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path stroke-width="0" id="E1020-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E1020-MJMATHI-6C" d="M117 59Q117 26 142 26Q179 26 205 131Q211 151 215 152Q217 153 225 153H229Q238 153 241 153T246 151T248 144Q247 138 245 128T234 90T214 43T183 6T137 -11Q101 -11 70 11T38 85Q38 97 39 102L104 360Q167 615 167 623Q167 626 166 628T162 632T157 634T149 635T141 636T132 637T122 637Q112 637 109 637T101 638T95 641T94 647Q94 649 96 661Q101 680 107 682T179 688Q194 689 213 690T243 693T254 694Q266 694 266 686Q266 675 193 386T118 83Q118 81 118 75T117 65V59Z"></path><path stroke-width="0" id="E1020-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1020-MJMATHI-66" x="0" y="0"></use><g transform="translate(568,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1020-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1020-MJMATHI-6C" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1020-MJMAIN-5D" x="576" y="0"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1010">f^{[l]}</script>表示过滤器大小，我们说过过滤器大小为<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1013-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="5.394ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 2322.4 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1023-MJMATHI-66" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path stroke-width="0" id="E1023-MJMAIN-D7" d="M630 29Q630 9 609 9Q604 9 587 25T493 118L389 222L284 117Q178 13 175 11Q171 9 168 9Q160 9 154 15T147 29Q147 36 161 51T255 146L359 250L255 354Q174 435 161 449T147 471Q147 480 153 485T168 490Q173 490 175 489Q178 487 284 383L389 278L493 382Q570 459 587 475T609 491Q630 491 630 471Q630 464 620 453T522 355L418 250L522 145Q606 61 618 48T630 29Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1023-MJMATHI-66" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1023-MJMAIN-D7" x="772" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1023-MJMATHI-66" x="1772" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1013">f×f</script>，上标<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1014-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.983ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 854 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1024-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E1024-MJMATHI-6C" d="M117 59Q117 26 142 26Q179 26 205 131Q211 151 215 152Q217 153 225 153H229Q238 153 241 153T246 151T248 144Q247 138 245 128T234 90T214 43T183 6T137 -11Q101 -11 70 11T38 85Q38 97 39 102L104 360Q167 615 167 623Q167 626 166 628T162 632T157 634T149 635T141 636T132 637T122 637Q112 637 109 637T101 638T95 641T94 647Q94 649 96 661Q101 680 107 682T179 688Q194 689 213 690T243 693T254 694Q266 694 266 686Q266 675 193 386T118 83Q118 81 118 75T117 65V59Z"></path><path stroke-width="0" id="E1024-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1024-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1024-MJMATHI-6C" x="278" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1024-MJMAIN-5D" x="576" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1014">\lbrack l\rbrack</script>表示<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-530-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="0.692ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 298 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E535-MJMATHI-6C" d="M117 59Q117 26 142 26Q179 26 205 131Q211 151 215 152Q217 153 225 153H229Q238 153 241 153T246 151T248 144Q247 138 245 128T234 90T214 43T183 6T137 -11Q101 -11 70 11T38 85Q38 97 39 102L104 360Q167 615 167 623Q167 626 166 628T162 632T157 634T149 635T141 636T132 637T122 637Q112 637 109 637T101 638T95 641T94 647Q94 649 96 661Q101 680 107 682T179 688Q194 689 213 690T243 693T254 694Q266 694 266 686Q266 675 193 386T118 83Q118 81 118 75T117 65V59Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E535-MJMATHI-6C" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-530">l</script>层中过滤器大小为<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1013-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="5.394ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 2322.4 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1023-MJMATHI-66" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path stroke-width="0" id="E1023-MJMAIN-D7" d="M630 29Q630 9 609 9Q604 9 587 25T493 118L389 222L284 117Q178 13 175 11Q171 9 168 9Q160 9 154 15T147 29Q147 36 161 51T255 146L359 250L255 354Q174 435 161 449T147 471Q147 480 153 485T168 490Q173 490 175 489Q178 487 284 383L389 278L493 382Q570 459 587 475T609 491Q630 491 630 471Q630 464 620 453T522 355L418 250L522 145Q606 61 618 48T630 29Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1023-MJMATHI-66" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1023-MJMAIN-D7" x="772" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1023-MJMATHI-66" x="1772" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1013">f×f</script>。通常情况下，上标<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1014-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.983ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 854 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1024-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E1024-MJMATHI-6C" d="M117 59Q117 26 142 26Q179 26 205 131Q211 151 215 152Q217 153 225 153H229Q238 153 241 153T246 151T248 144Q247 138 245 128T234 90T214 43T183 6T137 -11Q101 -11 70 11T38 85Q38 97 39 102L104 360Q167 615 167 623Q167 626 166 628T162 632T157 634T149 635T141 636T132 637T122 637Q112 637 109 637T101 638T95 641T94 647Q94 649 96 661Q101 680 107 682T179 688Q194 689 213 690T243 693T254 694Q266 694 266 686Q266 675 193 386T118 83Q118 81 118 75T117 65V59Z"></path><path stroke-width="0" id="E1024-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1024-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1024-MJMATHI-6C" x="278" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1024-MJMAIN-5D" x="576" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1014">\lbrack l\rbrack</script>用来标记<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-530-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="0.692ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 298 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E535-MJMATHI-6C" d="M117 59Q117 26 142 26Q179 26 205 131Q211 151 215 152Q217 153 225 153H229Q238 153 241 153T246 151T248 144Q247 138 245 128T234 90T214 43T183 6T137 -11Q101 -11 70 11T38 85Q38 97 39 102L104 360Q167 615 167 623Q167 626 166 628T162 632T157 634T149 635T141 636T132 637T122 637Q112 637 109 637T101 638T95 641T94 647Q94 649 96 661Q101 680 107 682T179 688Q194 689 213 690T243 693T254 694Q266 694 266 686Q266 675 193 386T118 83Q118 81 118 75T117 65V59Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E535-MJMATHI-6C" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-530">l</script>层。用<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1015-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.894ex" height="2.811ex" viewBox="-39 -956.9 1245.9 1210.2" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.588ex; margin-left: -0.091ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1025-MJMATHI-70" d="M23 287Q24 290 25 295T30 317T40 348T55 381T75 411T101 433T134 442Q209 442 230 378L240 387Q302 442 358 442Q423 442 460 395T497 281Q497 173 421 82T249 -10Q227 -10 210 -4Q199 1 187 11T168 28L161 36Q160 35 139 -51T118 -138Q118 -144 126 -145T163 -148H188Q194 -155 194 -157T191 -175Q188 -187 185 -190T172 -194Q170 -194 161 -194T127 -193T65 -192Q-5 -192 -24 -194H-32Q-39 -187 -39 -183Q-37 -156 -26 -148H-6Q28 -147 33 -136Q36 -130 94 103T155 350Q156 355 156 364Q156 405 131 405Q109 405 94 377T71 316T59 280Q57 278 43 278H29Q23 284 23 287ZM178 102Q200 26 252 26Q282 26 310 49T356 107Q374 141 392 215T411 325V331Q411 405 350 405Q339 405 328 402T306 393T286 380T269 365T254 350T243 336T235 326L232 322Q232 321 229 308T218 264T204 212Q178 106 178 102Z"></path><path stroke-width="0" id="E1025-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E1025-MJMATHI-6C" d="M117 59Q117 26 142 26Q179 26 205 131Q211 151 215 152Q217 153 225 153H229Q238 153 241 153T246 151T248 144Q247 138 245 128T234 90T214 43T183 6T137 -11Q101 -11 70 11T38 85Q38 97 39 102L104 360Q167 615 167 623Q167 626 166 628T162 632T157 634T149 635T141 636T132 637T122 637Q112 637 109 637T101 638T95 641T94 647Q94 649 96 661Q101 680 107 682T179 688Q194 689 213 690T243 693T254 694Q266 694 266 686Q266 675 193 386T118 83Q118 81 118 75T117 65V59Z"></path><path stroke-width="0" id="E1025-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1025-MJMATHI-70" x="0" y="0"></use><g transform="translate(503,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1025-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1025-MJMATHI-6C" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1025-MJMAIN-5D" x="576" y="0"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1015">p^{[l]}</script>来标记<strong>padding</strong>的数量，<strong>padding</strong>数量也可指定为一个<strong>valid</strong>卷积，即无<strong>padding</strong>。或是<strong>same</strong>卷积，即选定<strong>padding</strong>，如此一来，输出和输入图片的高度和宽度就相同了。用<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1016-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.724ex" height="2.461ex" viewBox="0 -956.9 1172.9 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" 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class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1017-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="10.803ex" height="1.877ex" viewBox="0 -554.9 4651.1 808.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.588ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1027-MJMATHI-6E" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path stroke-width="0" id="E1027-MJMAIN-D7" d="M630 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class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1024-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="5.984ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 2576.4 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1034-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E1034-MJMATHI-6C" d="M117 59Q117 26 142 26Q179 26 205 131Q211 151 215 152Q217 153 225 153H229Q238 153 241 153T246 151T248 144Q247 138 245 128T234 90T214 43T183 6T137 -11Q101 -11 70 11T38 85Q38 97 39 102L104 360Q167 615 167 623Q167 626 166 628T162 632T157 634T149 635T141 636T132 637T122 637Q112 637 109 637T101 638T95 641T94 647Q94 649 96 661Q101 680 107 682T179 688Q194 689 213 690T243 693T254 694Q266 694 266 686Q266 675 193 386T118 83Q118 81 118 75T117 65V59Z"></path><path stroke-width="0" id="E1034-MJMAIN-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E1034-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path stroke-width="0" id="E1034-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1034-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1034-MJMATHI-6C" x="278" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1034-MJMAIN-2212" x="798" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1034-MJMAIN-31" x="1798" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1034-MJMAIN-5D" x="2298" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1024">\lbrack l - 1\rbrack</script>。神经网络这一层中会有输出，它本身会输出图像。其大小为<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1036-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="15.138ex" height="3.511ex" viewBox="0 -1107.7 6517.7 1511.8" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.938ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1046-MJMATHI-6E" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path stroke-width="0" id="E1046-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E1046-MJMATHI-6C" d="M117 59Q117 26 142 26Q179 26 205 131Q211 151 215 152Q217 153 225 153H229Q238 153 241 153T246 151T248 144Q247 138 245 128T234 90T214 43T183 6T137 -11Q101 -11 70 11T38 85Q38 97 39 102L104 360Q167 615 167 623Q167 626 166 628T162 632T157 634T149 635T141 636T132 637T122 637Q112 637 109 637T101 638T95 641T94 647Q94 649 96 661Q101 680 107 682T179 688Q194 689 213 690T243 693T254 694Q266 694 266 686Q266 675 193 386T118 83Q118 81 118 75T117 65V59Z"></path><path stroke-width="0" id="E1046-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path><path stroke-width="0" id="E1046-MJMATHI-48" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 219 683Q260 681 355 681Q389 681 418 681T463 682T483 682Q499 682 499 672Q499 670 497 658Q492 641 487 638H485Q483 638 480 638T473 638T464 637T455 637Q416 636 405 634T387 623Q384 619 355 500Q348 474 340 442T328 395L324 380Q324 378 469 378H614L615 381Q615 384 646 504Q674 619 674 627T617 637Q594 637 587 639T580 648Q580 650 582 660Q586 677 588 679T604 682Q609 682 646 681T740 680Q802 680 835 681T871 682Q888 682 888 672Q888 645 876 638H874Q872 638 869 638T862 638T853 637T844 637Q805 636 794 634T776 623Q773 618 704 340T634 58Q634 51 638 51Q646 48 692 46H723Q729 38 729 37T726 19Q722 6 716 0H701Q664 2 567 2Q533 2 504 2T458 2T437 1Q420 1 420 10Q420 15 423 24Q428 43 433 45Q437 46 448 46H454Q481 46 514 49Q520 50 522 50T528 55T534 64T540 82T547 110T558 153Q565 181 569 198Q602 330 602 331T457 332H312L279 197Q245 63 245 58Q245 51 253 49T303 46H334Q340 38 340 37T337 19Q333 6 327 0H312Q275 2 178 2Q144 2 115 2T69 2T48 1Q31 1 31 10Q31 12 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path><path stroke-width="0" id="E1046-MJMAIN-D7" d="M630 29Q630 9 609 9Q604 9 587 25T493 118L389 222L284 117Q178 13 175 11Q171 9 168 9Q160 9 154 15T147 29Q147 36 161 51T255 146L359 250L255 354Q174 435 161 449T147 471Q147 480 153 485T168 490Q173 490 175 489Q178 487 284 383L389 278L493 382Q570 459 587 475T609 491Q630 491 630 471Q630 464 620 453T522 355L418 250L522 145Q606 61 618 48T630 29Z"></path><path stroke-width="0" id="E1046-MJMATHI-57" d="M436 683Q450 683 486 682T553 680Q604 680 638 681T677 682Q695 682 695 674Q695 670 692 659Q687 641 683 639T661 637Q636 636 621 632T600 624T597 615Q597 603 613 377T629 138L631 141Q633 144 637 151T649 170T666 200T690 241T720 295T759 362Q863 546 877 572T892 604Q892 619 873 628T831 637Q817 637 817 647Q817 650 819 660Q823 676 825 679T839 682Q842 682 856 682T895 682T949 681Q1015 681 1034 683Q1048 683 1048 672Q1048 666 1045 655T1038 640T1028 637Q1006 637 988 631T958 617T939 600T927 584L923 578L754 282Q586 -14 585 -15Q579 -22 561 -22Q546 -22 542 -17Q539 -14 523 229T506 480L494 462Q472 425 366 239Q222 -13 220 -15T215 -19Q210 -22 197 -22Q178 -22 176 -15Q176 -12 154 304T131 622Q129 631 121 633T82 637H58Q51 644 51 648Q52 671 64 683H76Q118 680 176 680Q301 680 313 683H323Q329 677 329 674T327 656Q322 641 318 637H297Q236 634 232 620Q262 160 266 136L501 550L499 587Q496 629 489 632Q483 636 447 637Q428 637 422 639T416 648Q416 650 418 660Q419 664 420 669T421 676T424 680T428 682T436 683Z"></path><path stroke-width="0" id="E1046-MJMATHI-63" d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325T330 359T352 380T366 386H367Q367 388 361 392T340 400T306 404Q276 404 249 390Q228 381 206 359Q162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50Q169 26 205 26H209Q321 26 394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 83T391 55T346 25T282 0T202 -11Q127 -11 81 37T34 159Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1046-MJMATHI-6E" x="0" y="0"></use><g transform="translate(600,521)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1046-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1046-MJMATHI-6C" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1046-MJMAIN-5D" x="576" y="0"></use></g><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1046-MJMATHI-48" x="848" y="-451"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1046-MJMAIN-D7" x="1550" y="0"></use><g transform="translate(2550,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1046-MJMATHI-6E" x="0" y="0"></use><g transform="translate(600,521)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1046-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1046-MJMATHI-6C" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1046-MJMAIN-5D" x="576" y="0"></use></g><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1046-MJMATHI-57" x="848" y="-451"></use></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1046-MJMAIN-D7" x="4213" y="0"></use><g transform="translate(5213,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1046-MJMATHI-6E" x="0" y="0"></use><g transform="translate(600,521)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1046-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1046-MJMATHI-6C" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1046-MJMAIN-5D" x="576" y="0"></use></g><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1046-MJMATHI-63" x="848" y="-210"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1036">n_{H}^{[l]} \times n_{W}^{[l]} \times n_{c}^{[l]}</script>，这就是输出图像的大小。</p><p>前面我们提到过，这个公式给出了输出图片的大小，至少给出了高度和宽度，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1026-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="12.99ex" height="3.628ex" viewBox="0 -1107.7 5593.1 1562" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -1.055ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1036-MJMAIN-230A" d="M174 734Q174 735 175 737T177 740T180 744T184 747T189 749T196 750Q206 748 214 735V-210H310H373Q401 -210 411 -213T422 -230T411 -247T369 -251Q362 -251 338 -251T298 -250H190Q178 -246 174 -234V734Z"></path><path stroke-width="0" id="E1036-MJMATHI-6E" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path stroke-width="0" id="E1036-MJMAIN-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E1036-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 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-250 32 -247T21 -230T32 -213T72 -209Q79 -209 99 -209T133 -210H229V734Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1036-MJMAIN-230A" x="0" y="0"></use><g transform="translate(444,0)"><g transform="translate(120,0)"><rect stroke="none" width="2742" height="60" x="0" y="220"></rect><g transform="translate(60,549)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1036-MJMATHI-6E" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1036-MJMAIN-2B" x="600" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1036-MJMAIN-32" x="1378" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1036-MJMATHI-70" x="1878" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1036-MJMAIN-2212" x="2381" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1036-MJMATHI-66" x="3159" y="0"></use></g><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1036-MJMATHI-73" x="1704" y="-488"></use></g></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1036-MJMAIN-2B" x="3648" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1036-MJMAIN-31" x="4649" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1036-MJMAIN-230B" x="5149" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1026">\lfloor\frac{n+2p - f}{s} + 1\rfloor</script>（注意：（<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1027-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="11.832ex" 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display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="0.692ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 298 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E535-MJMATHI-6C" d="M117 59Q117 26 142 26Q179 26 205 131Q211 151 215 152Q217 153 225 153H229Q238 153 241 153T246 151T248 144Q247 138 245 128T234 90T214 43T183 6T137 -11Q101 -11 70 11T38 85Q38 97 39 102L104 360Q167 615 167 623Q167 626 166 628T162 632T157 634T149 635T141 636T132 637T122 637Q112 637 109 637T101 638T95 641T94 647Q94 649 96 661Q101 680 107 682T179 688Q194 689 213 690T243 693T254 694Q266 694 266 686Q266 675 193 386T118 83Q118 81 118 75T117 65V59Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E535-MJMATHI-6C" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-530">l</script>层输出图像的高度，即<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1028-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="24.154ex" height="4.679ex" viewBox="0 -1459.5 10399.5 2014.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -1.289ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1038-MJMATHI-6E" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path stroke-width="0" id="E1038-MJMAIN-5B" d="M118 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type="math/tex" id="MathJax-Element-384">W</script>替换参数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1029-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.062ex" height="1.877ex" viewBox="0 -755.9 888 808.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.121ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1039-MJMATHI-48" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 219 683Q260 681 355 681Q389 681 418 681T463 682T483 682Q499 682 499 672Q499 670 497 658Q492 641 487 638H485Q483 638 480 638T473 638T464 637T455 637Q416 636 405 634T387 623Q384 619 355 500Q348 474 340 442T328 395L324 380Q324 378 469 378H614L615 381Q615 384 646 504Q674 619 674 627T617 637Q594 637 587 639T580 648Q580 650 582 660Q586 677 588 679T604 682Q609 682 646 681T740 680Q802 680 835 681T871 682Q888 682 888 672Q888 645 876 638H874Q872 638 869 638T862 638T853 637T844 637Q805 636 794 634T776 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id="MathJax-Element-1030">n_{W}^{[l]} = \lfloor\frac{n_{W}^{\left\lbrack l - 1 \right\rbrack} +2p^{[l]} - f^{[l]}}{s^{[l]}} +1\rfloor</script>，公式一样，只要变化高度和宽度的参数我们便能计算输出图像的高度或宽度。这就是由<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1031-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="5.127ex" height="3.511ex" viewBox="0 -1107.7 2207.6 1511.8" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.938ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1041-MJMATHI-6E" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 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id="MathJax-Element-1034">n_{W}^{[l]}</script>的过程。</p><p>那么通道数量又是什么？这些数字从哪儿来的？我们来看一下。输出图像也具有深度，通过上一个示例，我们知道它等于该层中过滤器的数量，如果有2个过滤器，输出图像就是4×4×2，它是二维的，如果有10个过滤器，输出图像就是4×4×10。输出图像中的通道数量就是神经网络中这一层所使用的过滤器的数量。如何确定过滤器的大小呢？我们知道卷积一个6×6×3的图片需要一个3×3×3的过滤器，因此过滤器中通道的数量必须与输入中通道的数量一致。因此，输出通道数量就是输入通道数量，所以过滤器维度等于<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1035-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="16.714ex" height="3.278ex" viewBox="0 -1107.7 7196.3 1411.3" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1045-MJMATHI-66" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 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0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1045-MJMATHI-66" x="0" y="0"></use><g transform="translate(568,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1045-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1045-MJMATHI-6C" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1045-MJMAIN-5D" x="576" y="0"></use></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1045-MJMAIN-D7" x="1494" y="0"></use><g transform="translate(2494,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1045-MJMATHI-66" x="0" y="0"></use><g transform="translate(568,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1045-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1045-MJMATHI-6C" 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id="E545-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E545-MJMATHI-61" x="0" y="0"></use><g transform="translate(529,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E545-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E545-MJMATHI-6C" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E545-MJMAIN-5D" x="576" y="0"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-540">a^{[l]}</script>，也就是这个维度（输出维度）。<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-540-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.863ex" 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class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1038-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="16.714ex" height="3.278ex" viewBox="0 -1107.7 7196.3 1411.3" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1048-MJMATHI-66" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path stroke-width="0" id="E1048-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E1048-MJMATHI-6C" d="M117 59Q117 26 142 26Q179 26 205 131Q211 151 215 152Q217 153 225 153H229Q238 153 241 153T246 151T248 144Q247 138 245 128T234 90T214 43T183 6T137 -11Q101 -11 70 11T38 85Q38 97 39 102L104 360Q167 615 167 623Q167 626 166 628T162 632T157 634T149 635T141 636T132 637T122 637Q112 637 109 637T101 638T95 641T94 647Q94 649 96 661Q101 680 107 682T179 688Q194 689 213 690T243 693T254 694Q266 694 266 686Q266 675 193 386T118 83Q118 81 118 75T117 65V59Z"></path><path stroke-width="0" id="E1048-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path><path stroke-width="0" id="E1048-MJMAIN-D7" d="M630 29Q630 9 609 9Q604 9 587 25T493 118L389 222L284 117Q178 13 175 11Q171 9 168 9Q160 9 154 15T147 29Q147 36 161 51T255 146L359 250L255 354Q174 435 161 449T147 471Q147 480 153 485T168 490Q173 490 175 489Q178 487 284 383L389 278L493 382Q570 459 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class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1041-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="3.028ex" height="3.161ex" viewBox="0 -1107.7 1303.9 1361" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.588ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1051-MJMATHI-6E" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path stroke-width="0" id="E1051-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E1051-MJMATHI-6C" d="M117 59Q117 26 142 26Q179 26 205 131Q211 151 215 152Q217 153 225 153H229Q238 153 241 153T246 151T248 144Q247 138 245 128T234 90T214 43T183 6T137 -11Q101 -11 70 11T38 85Q38 97 39 102L104 360Q167 615 167 623Q167 626 166 628T162 632T157 634T149 635T141 636T132 637T122 637Q112 637 109 637T101 638T95 641T94 647Q94 649 96 661Q101 680 107 682T179 688Q194 689 213 690T243 693T254 694Q266 694 266 686Q266 675 193 386T118 83Q118 81 118 75T117 65V59Z"></path><path stroke-width="0" id="E1051-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path><path stroke-width="0" id="E1051-MJMATHI-63" d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325T330 359T352 380T366 386H367Q367 388 361 392T340 400T306 404Q276 404 249 390Q228 381 206 359Q162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50Q169 26 205 26H209Q321 26 394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 83T391 55T346 25T282 0T202 -11Q127 -11 81 37T34 159Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1051-MJMATHI-6E" x="0" y="0"></use><g transform="translate(600,521)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1051-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1051-MJMATHI-6C" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1051-MJMAIN-5D" x="576" y="0"></use></g><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1051-MJMATHI-63" x="848" y="-210"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1041">n_{c}^{[l]}</script>）是过滤器的数量，权重也就是所有过滤器的集合再乘以过滤器的总数量，即<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1040-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="22.582ex" height="3.278ex" viewBox="0 -1107.7 9722.6 1411.3" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1050-MJMATHI-66" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path stroke-width="0" id="E1050-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E1050-MJMATHI-6C" d="M117 59Q117 26 142 26Q179 26 205 131Q211 151 215 152Q217 153 225 153H229Q238 153 241 153T246 151T248 144Q247 138 245 128T234 90T214 43T183 6T137 -11Q101 -11 70 11T38 85Q38 97 39 102L104 360Q167 615 167 623Q167 626 166 628T162 632T157 634T149 635T141 636T132 637T122 637Q112 637 109 637T101 638T95 641T94 647Q94 649 96 661Q101 680 107 682T179 688Q194 689 213 690T243 693T254 694Q266 694 266 686Q266 675 193 386T118 83Q118 81 118 75T117 65V59Z"></path><path stroke-width="0" id="E1050-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path><path stroke-width="0" id="E1050-MJMAIN-D7" d="M630 29Q630 9 609 9Q604 9 587 25T493 118L389 222L284 117Q178 13 175 11Q171 9 168 9Q160 9 154 15T147 29Q147 36 161 51T255 146L359 250L255 354Q174 435 161 449T147 471Q147 480 153 485T168 490Q173 490 175 489Q178 487 284 383L389 278L493 382Q570 459 587 475T609 491Q630 491 630 471Q630 464 620 453T522 355L418 250L522 145Q606 61 618 48T630 29Z"></path><path stroke-width="0" id="E1050-MJMATHI-6E" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path stroke-width="0" id="E1050-MJMAIN-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E1050-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path stroke-width="0" id="E1050-MJMATHI-63" d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325T330 359T352 380T366 386H367Q367 388 361 392T340 400T306 404Q276 404 249 390Q228 381 206 359Q162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50Q169 26 205 26H209Q321 26 394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 83T391 55T346 25T282 0T202 -11Q127 -11 81 37T34 159Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1050-MJMATHI-66" x="0" y="0"></use><g transform="translate(568,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1050-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1050-MJMATHI-6C" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1050-MJMAIN-5D" x="576" y="0"></use></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1050-MJMAIN-D7" x="1494" y="0"></use><g transform="translate(2494,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1050-MJMATHI-66" x="0" y="0"></use><g transform="translate(568,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1050-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1050-MJMATHI-6C" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1050-MJMAIN-5D" x="576" y="0"></use></g></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1050-MJMAIN-D7" x="3988" y="0"></use><g transform="translate(4988,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1050-MJMATHI-6E" x="0" y="0"></use><g transform="translate(600,521)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1050-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1050-MJMATHI-6C" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1050-MJMAIN-2212" x="576" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1050-MJMAIN-31" x="1354" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1050-MJMAIN-5D" x="1853" y="0"></use></g><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1050-MJMATHI-63" x="848" y="-210"></use></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1050-MJMAIN-D7" x="7418" y="0"></use><g transform="translate(8418,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1050-MJMATHI-6E" x="0" y="0"></use><g transform="translate(600,521)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1050-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1050-MJMATHI-6C" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1050-MJMAIN-5D" x="576" y="0"></use></g><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1050-MJMATHI-63" x="848" y="-210"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1040">f^{[l]} \times f^{[l]} \times n_{c}^{[l - 1]} \times n_{c}^{[l]}</script>，损失数量L就是<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-530-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="0.692ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 298 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E535-MJMATHI-6C" d="M117 59Q117 26 142 26Q179 26 205 131Q211 151 215 152Q217 153 225 153H229Q238 153 241 153T246 151T248 144Q247 138 245 128T234 90T214 43T183 6T137 -11Q101 -11 70 11T38 85Q38 97 39 102L104 360Q167 615 167 623Q167 626 166 628T162 632T157 634T149 635T141 636T132 637T122 637Q112 637 109 637T101 638T95 641T94 647Q94 649 96 661Q101 680 107 682T179 688Q194 689 213 690T243 693T254 694Q266 694 266 686Q266 675 193 386T118 83Q118 81 118 75T117 65V59Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E535-MJMATHI-6C" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-530">l</script>层中过滤器的个数。</p><p>最后我们看看偏差参数，每个过滤器都有一个偏差参数，它是一个实数。偏差包含了这些变量，它是该维度上的一个向量。后续课程中我们会看到，为了方便，偏差在代码中表示为一个1×1×1×<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1041-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="3.028ex" height="3.161ex" viewBox="0 -1107.7 1303.9 1361" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.588ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1051-MJMATHI-6E" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path stroke-width="0" id="E1051-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E1051-MJMATHI-6C" d="M117 59Q117 26 142 26Q179 26 205 131Q211 151 215 152Q217 153 225 153H229Q238 153 241 153T246 151T248 144Q247 138 245 128T234 90T214 43T183 6T137 -11Q101 -11 70 11T38 85Q38 97 39 102L104 360Q167 615 167 623Q167 626 166 628T162 632T157 634T149 635T141 636T132 637T122 637Q112 637 109 637T101 638T95 641T94 647Q94 649 96 661Q101 680 107 682T179 688Q194 689 213 690T243 693T254 694Q266 694 266 686Q266 675 193 386T118 83Q118 81 118 75T117 65V59Z"></path><path stroke-width="0" id="E1051-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path><path stroke-width="0" id="E1051-MJMATHI-63" d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325T330 359T352 380T366 386H367Q367 388 361 392T340 400T306 404Q276 404 249 390Q228 381 206 359Q162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50Q169 26 205 26H209Q321 26 394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 83T391 55T346 25T282 0T202 -11Q127 -11 81 37T34 159Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1051-MJMATHI-6E" x="0" y="0"></use><g transform="translate(600,521)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1051-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1051-MJMATHI-6C" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1051-MJMAIN-5D" x="576" y="0"></use></g><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1051-MJMATHI-63" x="848" y="-210"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1041">n_{c}^{[l]}</script>的四维向量或四维张量。</p><p><img src='../images/254491a07bfca29fee5eb75cde43e3f9.png' alt='' /></p><p>卷积有很多种标记方法，这是我们最常用的卷积符号。大家在线搜索或查看开源代码时，关于高度，宽度和通道的顺序并没有完全统一的标准卷积，所以在查看<strong>GitHub</strong>上的源代码或阅读一些开源实现的时候，你会发现有些作者会采用把通道放在首位的编码标准，有时所有变量都采用这种标准。实际上在某些架构中，当检索这些图片时，会有一个变量或参数来标识计算通道数量和通道损失数量的先后顺序。只要保持一致，这两种卷积标准都可用。很遗憾，这只是一部分标记法，因为深度学习文献并未对标记达成一致，但课上我会采用这种卷积标识法，按高度，宽度和通道损失数量的顺序依次计算。</p><p><img src='../images/522eb892bf05adbb57f3ff51bd876149.png' alt='' /></p><p>我知道，忽然间接触到这么多新的标记方法，你可能会说，这么多怎么记呢？别担心，不用全都记住，你可以通过本周的练习来熟悉它们。而这节课我想讲的重点是，卷积神经网络的某一卷积层的工作原理，以及如何计算某一卷积层的激活函数，并映射到下一层的激活值。了解了卷积神经网络中某一卷积层的工作原理，我们就可以把它们堆叠起来形成一个深度卷积神经网络，我们下节课再讲。</p><h3><a name='header-n366' class='md-header-anchor '></a>1.8 简单卷积网络示例（A simple convolution network example）</h3><p>上节课，我们讲了如何为卷积网络构建一个卷积层。今天我们看一个深度卷积神经网络的具体示例，顺便练习一下我们上节课所学的标记法。</p><p>假设你有一张图片，你想做图片分类或图片识别，把这张图片输入定义为<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-345-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.329ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 572 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E346-MJMATHI-78" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E346-MJMATHI-78" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-345">x</script>，然后辨别图片中有没有猫，用0或1表示，这是一个分类问题，我们来构建适用于这项任务的卷积神经网络。针对这个示例，我用了一张比较小的图片，大小是39×39×3，这样设定可以使其中一些数字效果更好。所以<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1042-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="9.818ex" height="3.511ex" viewBox="0 -1107.7 4227 1511.8" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.938ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1052-MJMATHI-6E" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path stroke-width="0" id="E1052-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E1052-MJMAIN-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path stroke-width="0" id="E1052-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path><path stroke-width="0" id="E1052-MJMATHI-48" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 219 683Q260 681 355 681Q389 681 418 681T463 682T483 682Q499 682 499 672Q499 670 497 658Q492 641 487 638H485Q483 638 480 638T473 638T464 637T455 637Q416 636 405 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332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path stroke-width="0" id="E1052-MJMATHI-57" d="M436 683Q450 683 486 682T553 680Q604 680 638 681T677 682Q695 682 695 674Q695 670 692 659Q687 641 683 639T661 637Q636 636 621 632T600 624T597 615Q597 603 613 377T629 138L631 141Q633 144 637 151T649 170T666 200T690 241T720 295T759 362Q863 546 877 572T892 604Q892 619 873 628T831 637Q817 637 817 647Q817 650 819 660Q823 676 825 679T839 682Q842 682 856 682T895 682T949 681Q1015 681 1034 683Q1048 683 1048 672Q1048 666 1045 655T1038 640T1028 637Q1006 637 988 631T958 617T939 600T927 584L923 578L754 282Q586 -14 585 -15Q579 -22 561 -22Q546 -22 542 -17Q539 -14 523 229T506 480L494 462Q472 425 366 239Q222 -13 220 -15T215 -19Q210 -22 197 -22Q178 -22 176 -15Q176 -12 154 304T131 622Q129 631 121 633T82 637H58Q51 644 51 648Q52 671 64 683H76Q118 680 176 680Q301 680 313 683H323Q329 677 329 674T327 656Q322 641 318 637H297Q236 634 232 620Q262 160 266 136L501 550L499 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xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1052-MJMATHI-6E" x="0" y="0"></use><g transform="translate(600,521)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1052-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1052-MJMAIN-30" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1052-MJMAIN-5D" x="778" y="0"></use></g><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1052-MJMATHI-57" x="848" y="-451"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1042">n_{H}^{[0]} = n_{W}^{[0]}</script>，即高度和宽度都等于39，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1043-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="7.619ex" height="3.161ex" viewBox="0 -1107.7 3280.3 1361" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.588ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1053-MJMATHI-6E" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path stroke-width="0" id="E1053-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E1053-MJMAIN-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 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xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1053-MJMAIN-30" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1053-MJMAIN-5D" x="778" y="0"></use></g><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1053-MJMATHI-63" x="848" y="-210"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1053-MJMAIN-3D" x="1724" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1053-MJMAIN-33" x="2780" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1043">n_{c}^{[0]} =3</script>，即0层的通道数为3。</p><p><img src='../images/84aa3be646a1e61f880fb8ab77ac92c7.png' alt='' /></p><p>假设第一层我们用一个3×3的过滤器来提取特征，那么<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1044-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="7.544ex" height="2.928ex" viewBox="0 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198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1060-MJMATHI-6E" x="0" y="0"></use><g transform="translate(600,521)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1060-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1060-MJMAIN-31" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1060-MJMAIN-5D" x="778" y="0"></use></g><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1060-MJMATHI-63" x="848" y="-210"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" 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576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path stroke-width="0" id="E1061-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E1061-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path stroke-width="0" id="E1061-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path><path stroke-width="0" id="E1061-MJMATHI-63" d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325T330 359T352 380T366 386H367Q367 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type="math/tex" id="MathJax-Element-1051">n_{c}^{[1]}</script>等于第一层中过滤器的个数，这（37×37×10）是第一层激活值的维度。</p><p><img src='../images/2e56c91e1e90260de922b5055a37e5e4.png' alt='' /></p><p>假设还有另外一个卷积层，这次我们采用的过滤器是5×5的矩阵。在标记法中，神经网络下一层的<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1090-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="5.536ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 2383.6 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1100-MJMATHI-66" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 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210T107 214Q132 214 148 197T164 157Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1100-MJMATHI-66" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1100-MJMAIN-3D" x="827" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1100-MJMAIN-35" x="1883" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1090">f=5</script>，即<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1059-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="7.544ex" height="2.928ex" viewBox="0 -956.9 3248.3 1260.5" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1069-MJMATHI-66" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path stroke-width="0" id="E1069-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E1069-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 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61 192T84 210T107 214Q132 214 148 197T164 157Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1069-MJMATHI-66" x="0" y="0"></use><g transform="translate(568,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1069-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1069-MJMAIN-32" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1069-MJMAIN-5D" x="778" y="0"></use></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1069-MJMAIN-3D" x="1692" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1069-MJMAIN-35" x="2748" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1059">f^{\left\lbrack 2 \right\rbrack} = 5</script>步幅为2，即<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1054-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="7.314ex" height="2.461ex" viewBox="0 -956.9 3149.3 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1064-MJMATHI-73" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path><path stroke-width="0" id="E1064-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E1064-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path stroke-width="0" id="E1064-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path><path stroke-width="0" id="E1064-MJMAIN-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1064-MJMATHI-73" x="0" y="0"></use><g transform="translate(469,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1064-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1064-MJMAIN-32" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1064-MJMAIN-5D" x="778" y="0"></use></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1064-MJMAIN-3D" x="1593" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1064-MJMAIN-32" x="2649" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1054">s^{\left\lbrack 2 \right\rbrack} = 2</script>。<strong>padding</strong>为0，即<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1055-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="7.484ex" height="2.811ex" viewBox="-39 -956.9 3222.3 1210.2" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.588ex; margin-left: -0.091ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1065-MJMATHI-70" d="M23 287Q24 290 25 295T30 317T40 348T55 381T75 411T101 433T134 442Q209 442 230 378L240 387Q302 442 358 442Q423 442 460 395T497 281Q497 173 421 82T249 -10Q227 -10 210 -4Q199 1 187 11T168 28L161 36Q160 35 139 -51T118 -138Q118 -144 126 -145T163 -148H188Q194 -155 194 -157T191 -175Q188 -187 185 -190T172 -194Q170 -194 161 -194T127 -193T65 -192Q-5 -192 -24 -194H-32Q-39 -187 -39 -183Q-37 -156 -26 -148H-6Q28 -147 33 -136Q36 -130 94 103T155 350Q156 355 156 364Q156 405 131 405Q109 405 94 377T71 316T59 280Q57 278 43 278H29Q23 284 23 287ZM178 102Q200 26 252 26Q282 26 310 49T356 107Q374 141 392 215T411 325V331Q411 405 350 405Q339 405 328 402T306 393T286 380T269 365T254 350T243 336T235 326L232 322Q232 321 229 308T218 264T204 212Q178 106 178 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x="1627" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1065-MJMAIN-30" x="2683" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1055">p^{\left\lbrack 2 \right\rbrack} = 0</script>，且有20个过滤器。所以其输出结果会是一张新图像，这次的输出结果为17×17×20，因为步幅是2，维度缩小得很快，大小从37×37减小到17×17，减小了一半还多，过滤器是20个，所以通道数也是20，17×17×20即激活值<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1056-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="3.195ex" height="2.461ex" viewBox="0 -956.9 1375.7 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1066-MJMATHI-61" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path stroke-width="0" id="E1066-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E1066-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path stroke-width="0" id="E1066-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1066-MJMATHI-61" x="0" y="0"></use><g transform="translate(529,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1066-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1066-MJMAIN-32" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1066-MJMAIN-5D" x="778" y="0"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1056">a^{\left\lbrack 2 \right\rbrack}</script>的维度。因此<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1057-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="15.237ex" height="3.511ex" viewBox="0 -1107.7 6560.5 1511.8" role="img" 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stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1069-MJMATHI-66" x="0" y="0"></use><g transform="translate(568,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1069-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1069-MJMAIN-32" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1069-MJMAIN-5D" x="778" y="0"></use></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1069-MJMAIN-3D" x="1692" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1069-MJMAIN-35" x="2748" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1059">f^{\left\lbrack 2 \right\rbrack} = 5</script>，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1060-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="7.314ex" height="2.461ex" viewBox="0 -956.9 3149.3 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1070-MJMATHI-73" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path><path stroke-width="0" id="E1070-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E1070-MJMAIN-33" d="M127 463Q100 463 85 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429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1070-MJMATHI-73" x="0" y="0"></use><g transform="translate(469,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1070-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1070-MJMAIN-33" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1070-MJMAIN-5D" x="778" y="0"></use></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1070-MJMAIN-3D" x="1593" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1070-MJMAIN-32" x="2649" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1060">s^{\left\lbrack 3 \right\rbrack} = 2</script>，计算过程我跳过了，最后输出为7×7×40，假设使用了40个过滤器。<strong>padding</strong>为0，40个过滤器，最后结果为7×7×40。</p><p><img src='../images/f97b7dfd7775fea9f9d18d8b404ad4ef.png' alt='' /></p><p>到此，这张39×39×3的输入图像就处理完毕了，为图片提取了7×7×40个特征，计算出来就是1960个特征。然后对该卷积进行处理，可以将其平滑或展开成1960个单元。平滑处理后可以输出一个向量，其填充内容是<strong>logistic</strong>回归单元还是<strong>softmax</strong>回归单元，完全取决于我们是想识图片上有没有猫，还是想识别<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1061-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.065ex" height="1.877ex" viewBox="0 -755.9 889 808.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.121ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1071-MJMATHI-4B" d="M285 628Q285 635 228 637Q205 637 198 638T191 647Q191 649 193 661Q199 681 203 682Q205 683 214 683H219Q260 681 355 681Q389 681 418 681T463 682T483 682Q500 682 500 674Q500 669 497 660Q496 658 496 654T495 648T493 644T490 641T486 639T479 638T470 637T456 637Q416 636 405 634T387 623L306 305Q307 305 490 449T678 597Q692 611 692 620Q692 635 667 637Q651 637 651 648Q651 650 654 662T659 677Q662 682 676 682Q680 682 711 681T791 680Q814 680 839 681T869 682Q889 682 889 672Q889 650 881 642Q878 637 862 637Q787 632 726 586Q710 576 656 534T556 455L509 418L518 396Q527 374 546 329T581 244Q656 67 661 61Q663 59 666 57Q680 47 717 46H738Q744 38 744 37T741 19Q737 6 731 0H720Q680 3 625 3Q503 3 488 0H478Q472 6 472 9T474 27Q478 40 480 43T491 46H494Q544 46 544 71Q544 75 517 141T485 216L427 354L359 301L291 248L268 155Q245 63 245 58Q245 51 253 49T303 46H334Q340 37 340 35Q340 19 333 5Q328 0 317 0Q314 0 280 1T180 2Q118 2 85 2T49 1Q31 1 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1071-MJMATHI-4B" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1061">K</script>种不同对象中的一种，用<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-565-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.301ex" height="2.461ex" viewBox="0 -755.9 560.2 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E570-MJMATHI-79" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path stroke-width="0" id="E570-MJMAIN-5E" d="M112 560L249 694L257 686Q387 562 387 560L361 531Q359 532 303 581L250 627L195 580Q182 569 169 557T148 538L140 532Q138 530 125 546L112 560Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E570-MJMATHI-79" x="1" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E570-MJMAIN-5E" x="60" y="-13"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-565">\hat y</script>表示最终神经网络的预测输出。明确一点，最后这一步是处理所有数字，即全部的1960个数字，把它们展开成一个很长的向量。为了预测最终的输出结果，我们把这个长向量填充到<strong>softmax</strong>回归函数中。</p><p>这是卷积神经网络的一个典型范例，设计卷积神经网络时，确定这些超参数比较费工夫。要决定过滤器的大小、步幅、<strong>padding</strong>以及使用多少个过滤器。这周和下周，我会针对选择参数的问题提供一些建议和指导。</p><p><img src='../images/0c09c238ff2bcda0ddd9405d1a60b325.png' alt='' /></p><p>而这节课你要掌握的一点是，随着神经网络计算深度不断加深，通常开始时的图像也要更大一些，初始值为39×39，高度和宽度会在一段时间内保持一致，然后随着网络深度的加深而逐渐减小，从39到37，再到17，最后到7。而通道数量在增加，从3到10，再到20，最后到40。在许多其它卷积神经网络中，你也可以看到这种趋势。关于如何确定这些参数，后面课上我会更详细讲解，这是我们讲的第一个卷积神经网络示例。</p><p>一个典型的卷积神经网络通常有三层，一个是卷积层，我们常常用<strong>Conv</strong>来标注。上一个例子，我用的就是<strong>CONV</strong>。还有两种常见类型的层，我们留在后两节课讲。一个是池化层，我们称之为<strong>POOL</strong>。最后一个是全连接层，用<strong>FC</strong>表示。虽然仅用卷积层也有可能构建出很好的神经网络，但大部分神经望楼架构师依然会添加池化层和全连接层。幸运的是，池化层和全连接层比卷积层更容易设计。后两节课我们会快速讲解这两个概念以便你更好的了解神经网络中最常用的这几种层，你就可以利用它们构建更强大的网络了。</p><p><img src='../images/02028431085fb7974b76156dd4974b68.png' alt='' /></p><p>再次恭喜你已经掌握了第一个卷积神经网络，本周后几节课，我们会学习如何训练这些卷积神经网络。不过在这之前，我还要简单介绍一下池化层和全连接层。然后再训练这些网络，到时我会用到大家熟悉的反向传播训练方法。那么下节课，我们就先来了解如何构建神经网络的池化层。</p><h3><a name='header-n399' class='md-header-anchor '></a>1.9 池化层（Pooling layers）</h3><p>除了卷积层，卷积网络也经常使用池化层来缩减模型的大小，提高计算速度，同时提高所提取特征的鲁棒性，我们来看一下。</p><p><img src='../images/ac42ede86634922acf4d34b12025b34f.png' alt='' /></p><p>先举一个池化层的例子，然后我们再讨论池化层的必要性。假如输入是一个4×4矩阵，用到的池化类型是最大池化（<strong>max pooling</strong>）。执行最大池化的树池是一个2×2矩阵。执行过程非常简单，把4×4的输入拆分成不同的区域，我把这个区域用不同颜色来标记。对于2×2的输出，输出的每个元素都是其对应颜色区域中的最大元素值。</p><p><img src='../images/9687f796debffce065daa8c654b9b7b7.png' alt='' /></p><p>左上区域的最大值是9，右上区域的最大元素值是2，左下区域的最大值是6，右下区域的最大值是3。为了计算出右侧这4个元素值，我们需要对输入矩阵的2×2区域做最大值运算。这就像是应用了一个规模为2的过滤器，因为我们选用的是2×2区域，步幅是2，这些就是最大池化的超参数。</p><p>因为我们使用的过滤器为2×2，最后输出是9。然后向右移动2个步幅，计算出最大值2。然后是第二行，向下移动2步得到最大值6。最后向右移动3步，得到最大值3。这是一个2×2矩阵，即<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1095-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="5.536ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 2383.6 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1105-MJMATHI-66" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path stroke-width="0" id="E1105-MJMAIN-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path stroke-width="0" id="E1105-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1105-MJMATHI-66" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1105-MJMAIN-3D" x="827" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1105-MJMAIN-32" x="1883" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1095">f=2</script>，步幅是2，即<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1096-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="5.348ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 2302.6 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1106-MJMATHI-73" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path><path stroke-width="0" id="E1106-MJMAIN-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path stroke-width="0" id="E1106-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1106-MJMATHI-73" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1106-MJMAIN-3D" x="746" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1106-MJMAIN-32" x="1802" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1096">s=2</script>。</p><p><img src='../images/ad5cf6dd7ca9a8ef144d8d918b21b1bc.png' alt='' /></p><p>这是对最大池化功能的直观理解，你可以把这个4×4输入看作是某些特征的集合，也许不是。你可以把这个4×4区域看作是某些特征的集合，也就是神经网络中某一层的非激活值集合。数字大意味着可能探测到了某些特定的特征，左上象限具有的特征可能是一个垂直边缘，一只眼睛，或是大家害怕遇到的<strong>CAP</strong>特征。显然左上象限中存在这个特征，这个特征可能是一只猫眼探测器。然而，右上象限并不存在这个特征。最大化操作的功能就是只要在任何一个象限内提取到某个特征，它都会保留在最大化的池化输出里。所以最大化运算的实际作用就是，如果在过滤器中提取到某个特征，那么保留其最大值。如果没有提取到这个特征，可能在右上象限中不存在这个特征，那么其中的最大值也还是很小，这就是最大池化的直观理解。</p><p>必须承认，人们使用最大池化的主要原因是此方法在很多实验中效果都很好。尽管刚刚描述的直观理解经常被引用，不知大家是否完全理解它的真正原因，不知大家是否理解最大池化效率很高的真正原因。</p><p>其中一个有意思的特点就是，它有一组超参数，但并没有参数需要学习。实际上，梯度下降没有什么可学的，一旦确定了<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-859-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.277ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 550 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E869-MJMATHI-66" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E869-MJMATHI-66" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-859">f</script>和<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1075-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.089ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 469 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1085-MJMATHI-73" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1085-MJMATHI-73" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1075">s</script>，它就是一个固定运算，梯度下降无需改变任何值。</p><p>我们来看一个有若干个超级参数的示例，输入是一个5×5的矩阵。我们采用最大池化法，它的过滤器参数为3×3，即<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1078-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="5.536ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 2383.6 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1088-MJMATHI-66" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path stroke-width="0" id="E1088-MJMAIN-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path stroke-width="0" id="E1088-MJMAIN-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1088-MJMATHI-66" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1088-MJMAIN-3D" x="827" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1088-MJMAIN-33" x="1883" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1078">f=3</script>，步幅为1，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1069-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="5.348ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 2302.6 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1079-MJMATHI-73" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path><path stroke-width="0" id="E1079-MJMAIN-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path stroke-width="0" id="E1079-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1079-MJMATHI-73" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1079-MJMAIN-3D" x="746" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1079-MJMAIN-31" x="1802" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1069">s=1</script>，输出矩阵是3×3.之前讲的计算卷积层输出大小的公式同样适用于最大池化，即<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1067-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="10.928ex" height="3.628ex" viewBox="0 -1107.7 4705.1 1562" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -1.055ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1077-MJMATHI-6E" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path stroke-width="0" id="E1077-MJMAIN-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E1077-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path stroke-width="0" id="E1077-MJMATHI-70" d="M23 287Q24 290 25 295T30 317T40 348T55 381T75 411T101 433T134 442Q209 442 230 378L240 387Q302 442 358 442Q423 442 460 395T497 281Q497 173 421 82T249 -10Q227 -10 210 -4Q199 1 187 11T168 28L161 36Q160 35 139 -51T118 -138Q118 -144 126 -145T163 -148H188Q194 -155 194 -157T191 -175Q188 -187 185 -190T172 -194Q170 -194 161 -194T127 -193T65 -192Q-5 -192 -24 -194H-32Q-39 -187 -39 -183Q-37 -156 -26 -148H-6Q28 -147 33 -136Q36 -130 94 103T155 350Q156 355 156 364Q156 405 131 405Q109 405 94 377T71 316T59 280Q57 278 43 278H29Q23 284 23 287ZM178 102Q200 26 252 26Q282 26 310 49T356 107Q374 141 392 215T411 325V331Q411 405 350 405Q339 405 328 402T306 393T286 380T269 365T254 350T243 336T235 326L232 322Q232 321 229 308T218 264T204 212Q178 106 178 102Z"></path><path stroke-width="0" id="E1077-MJMAIN-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path stroke-width="0" id="E1077-MJMATHI-66" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path stroke-width="0" id="E1077-MJMATHI-73" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path><path stroke-width="0" id="E1077-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g transform="translate(120,0)"><rect stroke="none" width="2742" height="60" x="0" y="220"></rect><g transform="translate(60,549)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1077-MJMATHI-6E" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1077-MJMAIN-2B" x="600" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1077-MJMAIN-32" x="1378" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1077-MJMATHI-70" x="1878" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1077-MJMAIN-2212" x="2381" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1077-MJMATHI-66" x="3159" y="0"></use></g><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1077-MJMATHI-73" x="1704" y="-488"></use></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1077-MJMAIN-2B" x="3204" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1077-MJMAIN-31" x="4205" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1067">\frac{n + 2p - f}{s} + 1</script>，这个公式也可以计算最大池化的输出大小。</p><p><img src='../images/dd39353b23464d32599738065bc87172.png' alt='' /></p><p>此例是计算3×3输出的每个元素，我们看左上角这些元素，注意这是一个3×3区域，因为有3个过滤器，取最大值9。然后移动一个元素，因为步幅是1，蓝色区域的最大值是9.继续向右移动，蓝色区域的最大值是5。然后移到下一行，因为步幅是1，我们只向下移动一个格，所以该区域的最大值是9。这个区域也是9。这两个区域的最大值都是5。最后这三个区域的最大值分别为8，6和9。超参数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1078-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="5.536ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 2383.6 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1088-MJMATHI-66" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path stroke-width="0" id="E1088-MJMAIN-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path stroke-width="0" id="E1088-MJMAIN-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1088-MJMATHI-66" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1088-MJMAIN-3D" x="827" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1088-MJMAIN-33" x="1883" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1078">f=3</script>，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1069-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="5.348ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 2302.6 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1079-MJMATHI-73" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path><path stroke-width="0" id="E1079-MJMAIN-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path stroke-width="0" id="E1079-MJMAIN-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1079-MJMATHI-73" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1079-MJMAIN-3D" x="746" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1079-MJMAIN-31" x="1802" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1069">s=1</script>，最终输出如图所示。</p><p><img src='../images/a800c70b250dc43b7003aaeebb4eefc2.png' alt='' /></p><p>以上就是一个二维输入的最大池化的演示，如果输入是三维的，那么输出也是三维的。例如，输入是5×5×2，那么输出是3×3×2。计算最大池化的方法就是分别对每个通道执行刚刚的计算过程。如上图所示，第一个通道依然保持不变。对于第二个通道，我刚才画在下面的，在这个层做同样的计算，得到第二个通道的输出。一般来说，如果输入是5×5×<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1072-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.337ex" height="1.76ex" viewBox="0 -504.6 1006.2 757.9" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.588ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1082-MJMATHI-6E" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path stroke-width="0" id="E1082-MJMATHI-63" d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325T330 359T352 380T366 386H367Q367 388 361 392T340 400T306 404Q276 404 249 390Q228 381 206 359Q162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50Q169 26 205 26H209Q321 26 394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 83T391 55T346 25T282 0T202 -11Q127 -11 81 37T34 159Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1082-MJMATHI-6E" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1082-MJMATHI-63" x="848" y="-213"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1072">n_{c}</script>，输出就是3×3×<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1072-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.337ex" height="1.76ex" viewBox="0 -504.6 1006.2 757.9" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.588ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1082-MJMATHI-6E" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path stroke-width="0" id="E1082-MJMATHI-63" d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325T330 359T352 380T366 386H367Q367 388 361 392T340 400T306 404Q276 404 249 390Q228 381 206 359Q162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50Q169 26 205 26H209Q321 26 394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 83T391 55T346 25T282 0T202 -11Q127 -11 81 37T34 159Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1082-MJMATHI-6E" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1082-MJMATHI-63" x="848" y="-213"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1072">n_{c}</script>，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1072-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2.337ex" height="1.76ex" viewBox="0 -504.6 1006.2 757.9" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.588ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1082-MJMATHI-6E" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path stroke-width="0" id="E1082-MJMATHI-63" d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325T330 359T352 380T366 386H367Q367 388 361 392T340 400T306 404Q276 404 249 390Q228 381 206 359Q162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50Q169 26 205 26H209Q321 26 394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 83T391 55T346 25T282 0T202 -11Q127 -11 81 37T34 159Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1082-MJMATHI-6E" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1082-MJMATHI-63" x="848" y="-213"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1072">n_{c}</script>个通道中每个通道都单独执行最大池化计算，以上就是最大池化算法。</p><p><img src='../images/c225755635059449e2a9a84135e2548e.png' alt='' /></p><p>另外还有一种类型的池化，平均池化，它不太常用。我简单介绍一下，这种运算顾名思义，选取的不是每个过滤器的最大值，而是平均值。示例中，紫色区域的平均值是3.75，后面依次是1.25、4和2。这个平均池化的超级参数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1095-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="5.536ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 2383.6 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1105-MJMATHI-66" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path stroke-width="0" id="E1105-MJMAIN-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path stroke-width="0" id="E1105-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1105-MJMATHI-66" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1105-MJMAIN-3D" x="827" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1105-MJMAIN-32" x="1883" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1095">f=2</script>，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1096-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="5.348ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 2302.6 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1106-MJMATHI-73" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path><path stroke-width="0" id="E1106-MJMAIN-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path stroke-width="0" id="E1106-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1106-MJMATHI-73" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1106-MJMAIN-3D" x="746" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1106-MJMAIN-32" x="1802" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1096">s=2</script>，我们也可以选择其它超级参数。</p><p><img src='../images/1b5bbeadd76a7d65d3201c1e3de467ca.png' alt='' /></p><p>目前来说，最大池化比平均池化更常用。但也有例外，就是深度很深的神经网络，你可以用平均池化来分解规模为7×7×1000的网络的表示层，在整个空间内求平均值，得到1×1×1000，一会我们看个例子。但在神经网络中，最大池化要比平均池化用得更多。</p><p>总结一下，池化的超级参数包括过滤器大小<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-859-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.277ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 550 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E869-MJMATHI-66" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E869-MJMATHI-66" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-859">f</script>和步幅<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1075-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.089ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 469 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1085-MJMATHI-73" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1085-MJMATHI-73" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1075">s</script>，常用的参数值为<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1095-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="5.536ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 2383.6 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1105-MJMATHI-66" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path stroke-width="0" id="E1105-MJMAIN-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path stroke-width="0" id="E1105-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1105-MJMATHI-66" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1105-MJMAIN-3D" x="827" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1105-MJMAIN-32" x="1883" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1095">f=2</script>，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1096-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="5.348ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 2302.6 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1106-MJMATHI-73" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 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style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1088-MJMATHI-66" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path stroke-width="0" id="E1088-MJMAIN-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path stroke-width="0" id="E1088-MJMAIN-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1088-MJMATHI-66" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1088-MJMAIN-3D" x="827" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1088-MJMAIN-33" x="1883" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1078">f=3</script>，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1096-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="5.348ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 2302.6 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1106-MJMATHI-73" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 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xlink:href="#E1106-MJMATHI-73" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1106-MJMAIN-3D" x="746" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1106-MJMAIN-32" x="1802" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1096">s=2</script>的情况。至于其它超级参数就要看你用的是最大池化还是平均池化了。你也可以根据自己意愿增加表示<strong>padding</strong>的其他超级参数，虽然很少这么用。最大池化时，往往很少用到超参数<strong>padding</strong>，当然也有例外的情况，我们下周会讲。大部分情况下，最大池化很少用<strong>padding</strong>。目前<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1080-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.259ex" height="1.76ex" viewBox="-39 -504.6 542 757.9" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.588ex; margin-left: -0.091ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1090-MJMATHI-70" d="M23 287Q24 290 25 295T30 317T40 348T55 381T75 411T101 433T134 442Q209 442 230 378L240 387Q302 442 358 442Q423 442 460 395T497 281Q497 173 421 82T249 -10Q227 -10 210 -4Q199 1 187 11T168 28L161 36Q160 35 139 -51T118 -138Q118 -144 126 -145T163 -148H188Q194 -155 194 -157T191 -175Q188 -187 185 -190T172 -194Q170 -194 161 -194T127 -193T65 -192Q-5 -192 -24 -194H-32Q-39 -187 -39 -183Q-37 -156 -26 -148H-6Q28 -147 33 -136Q36 -130 94 103T155 350Q156 355 156 364Q156 405 131 405Q109 405 94 377T71 316T59 280Q57 278 43 278H29Q23 284 23 287ZM178 102Q200 26 252 26Q282 26 310 49T356 107Q374 141 392 215T411 325V331Q411 405 350 405Q339 405 328 402T306 393T286 380T269 365T254 350T243 336T235 326L232 322Q232 321 229 308T218 264T204 212Q178 106 178 102Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1090-MJMATHI-70" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1080">p</script>最常用的值是0，即<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1081-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="5.517ex" height="2.344ex" viewBox="-39 -755.9 2375.6 1009.2" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.588ex; margin-left: -0.091ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1091-MJMATHI-70" d="M23 287Q24 290 25 295T30 317T40 348T55 381T75 411T101 433T134 442Q209 442 230 378L240 387Q302 442 358 442Q423 442 460 395T497 281Q497 173 421 82T249 -10Q227 -10 210 -4Q199 1 187 11T168 28L161 36Q160 35 139 -51T118 -138Q118 -144 126 -145T163 -148H188Q194 -155 194 -157T191 -175Q188 -187 185 -190T172 -194Q170 -194 161 -194T127 -193T65 -192Q-5 -192 -24 -194H-32Q-39 -187 -39 -183Q-37 -156 -26 -148H-6Q28 -147 33 -136Q36 -130 94 103T155 350Q156 355 156 364Q156 405 131 405Q109 405 94 377T71 316T59 280Q57 278 43 278H29Q23 284 23 287ZM178 102Q200 26 252 26Q282 26 310 49T356 107Q374 141 392 215T411 325V331Q411 405 350 405Q339 405 328 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xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1093-MJMAIN-230A" x="6070" y="0"></use><g transform="translate(6514,0)"><g transform="translate(120,0)"><rect stroke="none" width="1912" height="60" x="0" y="220"></rect><g transform="translate(60,549)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1093-MJMATHI-6E" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.5)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1093-MJMATHI-77" x="848" y="-213"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1093-MJMAIN-2212" x="1206" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1093-MJMATHI-66" x="1984" y="0"></use></g><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1093-MJMATHI-73" x="1117" y="-488"></use></g></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1093-MJMAIN-2B" x="8889" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1093-MJMAIN-31" x="9889" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1093-MJMAIN-230B" x="10389" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1093-MJMAIN-D7" x="11055" y="0"></use><g transform="translate(12055,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1093-MJMATHI-6E" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1093-MJMATHI-63" x="848" y="-213"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1083">\lfloor\frac{n_{H} - f}{s} +1\rfloor \times \lfloor\frac{n_{w} - f}{s} + 1\rfloor \times n_{c}</script>。输入通道与输出通道个数相同，因为我们对每个通道都做了池化。需要注意的一点是，池化过程中没有需要学习的参数。执行反向传播时，反向传播没有参数适用于最大池化。只有这些设置过的超参数，可能是手动设置的，也可能是通过交叉验证设置的。</p><p><img src='../images/6bd58a754152e7f5cf55a8c5bbac3100.png' alt='' /></p><p>除了这些，池化的内容就全部讲完了。最大池化只是计算神经网络某一层的静态属性，没有什么需要学习的，它只是一个静态属性。</p><p>关于池化我们就讲到这儿，现在我们已经知道如何构建卷积层和池化层了。下节课，我们会分析一个更复杂的可以引进全连接层的卷积网络示例。</p><h3><a name='header-n446' class='md-header-anchor '></a>1.10 卷积神经网络示例（Convolutional neural network example）</h3><p>构建全卷积神经网络的构造模块我们已经掌握得差不多了，下面来看个例子。</p><p>假设，有一张大小为32×32×3的输入图片，这是一张<strong>RGB</strong>模式的图片，你想做手写体数字识别。32×32×3的<strong>RGB</strong>图片中含有某个数字，比如7，你想识别它是从0-9这10个数字中的哪一个，我们构建一个神经网络来实现这个功能。</p><p><img src='../images/a7a10b593562a00a1a29df9c422aa1a2.png' alt='' /></p><p>我用的这个网络模型和经典网络<strong>LeNet-5</strong>非常相似，灵感也来源于此。<strong>LeNet-5</strong>是多年前<strong>Yann LeCun</strong>创建的，我所采用的模型并不是<strong>LeNet-5</strong>，但是受它启发，许多参数选择都与<strong>LeNet-5</strong>相似。输入是32×32×3的矩阵，假设第一层使用过滤器大小为5×5，步幅是1，<strong>paddin</strong>g是0，过滤器个数为6，那么输出为28×28×6。将这层标记为<strong>CONV1</strong>，它用了6个过滤器，增加了偏差，应用了非线性函数，可能是<strong>ReLU</strong>非线性函数，最后输出<strong>CONV1</strong>的结果。</p><p><img src='../images/4e3af8ce9e6ec2135c5437eb1f87af85.png' alt='' /></p><p>然后构建一个池化层，这里我选择用最大池化，参数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1095-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="5.536ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 2383.6 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1105-MJMATHI-66" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path stroke-width="0" id="E1105-MJMAIN-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path stroke-width="0" id="E1105-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1105-MJMATHI-66" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1105-MJMAIN-3D" x="827" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1105-MJMAIN-32" x="1883" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1095">f=2</script>，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1096-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="5.348ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 2302.6 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1106-MJMATHI-73" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path><path stroke-width="0" id="E1106-MJMAIN-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path stroke-width="0" id="E1106-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1106-MJMATHI-73" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1106-MJMAIN-3D" x="746" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1106-MJMAIN-32" x="1802" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1096">s=2</script>，因为<strong>padding</strong>为0，我就不写出来了。现在开始构建池化层，最大池化使用的过滤器为2×2，步幅为2，表示层的高度和宽度会减少一半。因此，28×28变成了14×14，通道数量保持不变，所以最终输出为14×14×6，将该输出标记为<strong>POOL1</strong>。</p><p><img src='../images/445418bf9cd2eaa5a83f31c1f40757dc.png' alt='' /></p><p>人们发现在卷积神经网络文献中，卷积有两种分类，这与所谓层的划分存在一致性。一类卷积是一个卷积层和一个池化层一起作为一层，这就是神经网络的<strong>Layer1</strong>。另一类卷积是把卷积层作为一层，而池化层单独作为一层。人们在计算神经网络有多少层时，通常只统计具有权重和参数的层。因为池化层没有权重和参数，只有一些超参数。这里，我们把<strong>CONV1</strong>和<strong>POOL1</strong>共同作为一个卷积，并标记为<strong>Layer1</strong>。虽然你在阅读网络文章或研究报告时，你可能会看到卷积层和池化层各为一层的情况，这只是两种不同的标记术语。一般我在统计网络层数时，只计算具有权重的层，也就是把<strong>CONV1</strong>和<strong>POOL1</strong>作为<strong>Layer1</strong>。这里我们用<strong>CONV1</strong>和<strong>POOL1</strong>来标记，两者都是神经网络<strong>Layer1</strong>的一部分，<strong>POOL1</strong>也被划分在<strong>Layer1</strong>中，因为它没有权重，得到的输出是14×14×6。</p><p><img src='../images/8b70ab4bfd6764598058a201c3e402b4.png' alt='' /></p><p>我们再为它构建一个卷积层，过滤器大小为5×5，步幅为1，这次我们用10个过滤器，最后输出一个10×10×10的矩阵，标记为<strong>CONV2</strong>。</p><p><img src='../images/8a0fb1836475716cc66f35584b17ded8.png' alt='' /></p><p>然后做最大池化，超参数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1095-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="5.536ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 2383.6 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1105-MJMATHI-66" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path stroke-width="0" id="E1105-MJMAIN-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path stroke-width="0" id="E1105-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1105-MJMATHI-66" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1105-MJMAIN-3D" x="827" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1105-MJMAIN-32" x="1883" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1095">f=2</script>，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1096-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="5.348ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 2302.6 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1106-MJMATHI-73" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path><path stroke-width="0" id="E1106-MJMAIN-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path stroke-width="0" id="E1106-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1106-MJMATHI-73" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1106-MJMAIN-3D" x="746" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1106-MJMAIN-32" x="1802" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1096">s=2</script>。你大概可以猜出结果，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1095-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="5.536ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 2383.6 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1105-MJMATHI-66" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 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429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1105-MJMATHI-66" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1105-MJMAIN-3D" x="827" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1105-MJMAIN-32" x="1883" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1095">f=2</script>，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1096-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="5.348ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 2302.6 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1106-MJMATHI-73" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path><path stroke-width="0" id="E1106-MJMAIN-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path stroke-width="0" id="E1106-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1106-MJMATHI-73" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1106-MJMAIN-3D" x="746" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1106-MJMAIN-32" x="1802" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1096">s=2</script>，高度和宽度会减半，最后输出为5×5×10，标记为<strong>POOL2</strong>，这就是神经网络的第二个卷积层，即<strong>Layer2</strong>。</p><p><img src='../images/53f662cecbbebc80d849ee0d97e7d727.png' alt='' /></p><p>如果对<strong>Layer1</strong>应用另一个卷积层，过滤器为5×5，即<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1090-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="5.536ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 2383.6 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1100-MJMATHI-66" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path stroke-width="0" id="E1100-MJMAIN-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path stroke-width="0" id="E1100-MJMAIN-35" d="M164 157Q164 133 148 117T109 101H102Q148 22 224 22Q294 22 326 82Q345 115 345 210Q345 313 318 349Q292 382 260 382H254Q176 382 136 314Q132 307 129 306T114 304Q97 304 95 310Q93 314 93 485V614Q93 664 98 664Q100 666 102 666Q103 666 123 658T178 642T253 634Q324 634 389 662Q397 666 402 666Q410 666 410 648V635Q328 538 205 538Q174 538 149 544L139 546V374Q158 388 169 396T205 412T256 420Q337 420 393 355T449 201Q449 109 385 44T229 -22Q148 -22 99 32T50 154Q50 178 61 192T84 210T107 214Q132 214 148 197T164 157Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1100-MJMATHI-66" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1100-MJMAIN-3D" x="827" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1100-MJMAIN-35" x="1883" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1090">f=5</script>，步幅是1，<strong>padding</strong>为0，所以这里省略了，过滤器16个，所以<strong>CONV2</strong>输出为10×10×16。我们看看<strong>CONV2</strong>，这是<strong>CONV2</strong>层。</p><p><img src='../images/f00469a1fbea2ace64f1280849f9cd7d.png' alt='' /></p><p>继续执行做大池化计算，参数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1095-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="5.536ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 2383.6 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1105-MJMATHI-66" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 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xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="5.536ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 2383.6 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1105-MJMATHI-66" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path stroke-width="0" id="E1105-MJMAIN-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 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131 289Z"></path><path stroke-width="0" id="E1106-MJMAIN-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path stroke-width="0" id="E1106-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1106-MJMATHI-73" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1106-MJMAIN-3D" x="746" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1106-MJMAIN-32" x="1802" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1096">s=2</script>，高度和宽度减半，计算结果猜到了吧。最大池化的参数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1095-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="5.536ex" height="2.577ex" viewBox="0 -806.1 2383.6 1109.7" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1105-MJMATHI-66" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path stroke-width="0" id="E1105-MJMAIN-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path stroke-width="0" id="E1105-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1105-MJMATHI-66" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1105-MJMAIN-3D" x="827" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1105-MJMAIN-32" x="1883" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1095">f=2</script>，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1096-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="5.348ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 2302.6 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1106-MJMATHI-73" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path><path stroke-width="0" id="E1106-MJMAIN-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path stroke-width="0" id="E1106-MJMAIN-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1106-MJMATHI-73" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1106-MJMAIN-3D" x="746" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1106-MJMAIN-32" x="1802" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1096">s=2</script>，输入的高度和宽度会减半，结果为5×5×16，通道数和之前一样，标记为<strong>POOL2</strong>。这是一个卷积，即<strong>Layer2</strong>，因为它只有一个权重集和一个卷积层<strong>CONV2</strong>。</p><p><img src='../images/8071427c9477615d68b771454f43699f.png' alt='' /></p><p>5×5×16矩阵包含400个元素，现在将<strong>POOL2</strong>平整化为一个大小为400的一维向量。我们可以把平整化结果想象成这样的一个神经元集合，然后利用这400个单元构建下一层。下一层含有120个单元，这就是我们第一个全连接层，标记为<strong>FC3</strong>。这400个单元与120个单元紧密相连，这就是全连接层。它很像我们在第一和第二门课中讲过的单神经网络层，这是一个标准的神经网络。它的权重矩阵为<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1097-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="4.473ex" height="2.461ex" viewBox="0 -956.9 1926 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1107-MJMATHI-57" d="M436 683Q450 683 486 682T553 680Q604 680 638 681T677 682Q695 682 695 674Q695 670 692 659Q687 641 683 639T661 637Q636 636 621 632T600 624T597 615Q597 603 613 377T629 138L631 141Q633 144 637 151T649 170T666 200T690 241T720 295T759 362Q863 546 877 572T892 604Q892 619 873 628T831 637Q817 637 817 647Q817 650 819 660Q823 676 825 679T839 682Q842 682 856 682T895 682T949 681Q1015 681 1034 683Q1048 683 1048 672Q1048 666 1045 655T1038 640T1028 637Q1006 637 988 631T958 617T939 600T927 584L923 578L754 282Q586 -14 585 -15Q579 -22 561 -22Q546 -22 542 -17Q539 -14 523 229T506 480L494 462Q472 425 366 239Q222 -13 220 -15T215 -19Q210 -22 197 -22Q178 -22 176 -15Q176 -12 154 304T131 622Q129 631 121 633T82 637H58Q51 644 51 648Q52 671 64 683H76Q118 680 176 680Q301 680 313 683H323Q329 677 329 674T327 656Q322 641 318 637H297Q236 634 232 620Q262 160 266 136L501 550L499 587Q496 629 489 632Q483 636 447 637Q428 637 422 639T416 648Q416 650 418 660Q419 664 420 669T421 676T424 680T428 682T436 683Z"></path><path stroke-width="0" id="E1107-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E1107-MJMAIN-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path stroke-width="0" id="E1107-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1107-MJMATHI-57" x="0" y="0"></use><g transform="translate(1079,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1107-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1107-MJMAIN-33" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1107-MJMAIN-5D" x="778" y="0"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1097">W^{\left\lbrack 3 \right\rbrack}</script>，维度为120×400。这就是所谓的“全连接”，因为这400个单元与这120个单元的每一项连接，还有一个偏差参数。最后输出120个维度，因为有120个输出。</p><p>然后我们对这个120个单元再添加一个全连接层，这层更小，假设它含有84个单元，标记为<strong>FC4</strong>。</p><p><img src='../images/c6894969e33cfc84b16267b752baf644.png' alt='' /></p><p>最后，用这84个单元填充一个<strong>softmax</strong>单元。如果我们想通过手写数字识别来识别手写0-9这10个数字，这个<strong>softmax</strong>就会有10个输出。</p><p>此例中的卷积神经网络很典型，看上去它有很多超参数，关于如何选定这些参数，后面我提供更多建议。常规做法是，尽量不要自己设置超参数，而是查看文献中别人采用了哪些超参数，选一个在别人任务中效果很好的架构，那么它也有可能适用于你自己的应用程序，这块下周我会细讲。</p><p><img src='../images/aa71fe522f85ea932e3797f4fd4f405c.png' alt='' /></p><p>现在，我想指出的是，随着神经网络深度的加深，高度<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1098-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="3.084ex" height="1.644ex" viewBox="0 -504.6 1327.9 707.6" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.472ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1108-MJMATHI-6E" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path stroke-width="0" id="E1108-MJMATHI-48" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 219 683Q260 681 355 681Q389 681 418 681T463 682T483 682Q499 682 499 672Q499 670 497 658Q492 641 487 638H485Q483 638 480 638T473 638T464 637T455 637Q416 636 405 634T387 623Q384 619 355 500Q348 474 340 442T328 395L324 380Q324 378 469 378H614L615 381Q615 384 646 504Q674 619 674 627T617 637Q594 637 587 639T580 648Q580 650 582 660Q586 677 588 679T604 682Q609 682 646 681T740 680Q802 680 835 681T871 682Q888 682 888 672Q888 645 876 638H874Q872 638 869 638T862 638T853 637T844 637Q805 636 794 634T776 623Q773 618 704 340T634 58Q634 51 638 51Q646 48 692 46H723Q729 38 729 37T726 19Q722 6 716 0H701Q664 2 567 2Q533 2 504 2T458 2T437 1Q420 1 420 10Q420 15 423 24Q428 43 433 45Q437 46 448 46H454Q481 46 514 49Q520 50 522 50T528 55T534 64T540 82T547 110T558 153Q565 181 569 198Q602 330 602 331T457 332H312L279 197Q245 63 245 58Q245 51 253 49T303 46H334Q340 38 340 37T337 19Q333 6 327 0H312Q275 2 178 2Q144 2 115 2T69 2T48 1Q31 1 31 10Q31 12 34 24Q39 43 44 45Q48 46 59 46H65Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q147 65 216 339T285 628Q285 635 228 637Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1108-MJMATHI-6E" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1108-MJMATHI-48" x="848" y="-213"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1098">n_{H}</script>和宽度<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-1099-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="3.347ex" height="1.76ex" viewBox="0 -504.6 1441 757.9" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.588ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E1109-MJMATHI-6E" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path stroke-width="0" id="E1109-MJMATHI-57" d="M436 683Q450 683 486 682T553 680Q604 680 638 681T677 682Q695 682 695 674Q695 670 692 659Q687 641 683 639T661 637Q636 636 621 632T600 624T597 615Q597 603 613 377T629 138L631 141Q633 144 637 151T649 170T666 200T690 241T720 295T759 362Q863 546 877 572T892 604Q892 619 873 628T831 637Q817 637 817 647Q817 650 819 660Q823 676 825 679T839 682Q842 682 856 682T895 682T949 681Q1015 681 1034 683Q1048 683 1048 672Q1048 666 1045 655T1038 640T1028 637Q1006 637 988 631T958 617T939 600T927 584L923 578L754 282Q586 -14 585 -15Q579 -22 561 -22Q546 -22 542 -17Q539 -14 523 229T506 480L494 462Q472 425 366 239Q222 -13 220 -15T215 -19Q210 -22 197 -22Q178 -22 176 -15Q176 -12 154 304T131 622Q129 631 121 633T82 637H58Q51 644 51 648Q52 671 64 683H76Q118 680 176 680Q301 680 313 683H323Q329 677 329 674T327 656Q322 641 318 637H297Q236 634 232 620Q262 160 266 136L501 550L499 587Q496 629 489 632Q483 636 447 637Q428 637 422 639T416 648Q416 650 418 660Q419 664 420 669T421 676T424 680T428 682T436 683Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1109-MJMATHI-6E" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1109-MJMATHI-57" x="848" y="-213"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1099">n_{W}</script>通常都会减少，前面我就提到过，从32×32到28×28，到14×14，到10×10，再到5×5。所以随着层数增加，高度和宽度都会减小，而通道数量会增加，从3到6到16不断增加，然后得到一个全连接层。</p><p>在神经网络中，另一种常见模式就是一个或多个卷积后面跟随一个池化层，然后一个或多个卷积层后面再跟一个池化层，然后是几个全连接层，最后是一个<strong>softmax</strong>。这是神经网络的另一种常见模式。</p><p>接下来我们讲讲神经网络的激活值形状，激活值大小和参数数量。输入为32×32×3，这些数做乘法，结果为3072，所以激活值<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-346-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="3.195ex" height="2.461ex" viewBox="0 -956.9 1375.7 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E347-MJMATHI-61" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path stroke-width="0" id="E347-MJMAIN-5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path><path stroke-width="0" id="E347-MJMAIN-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path stroke-width="0" id="E347-MJMAIN-5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E347-MJMATHI-61" x="0" y="0"></use><g transform="translate(529,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E347-MJMAIN-5B" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E347-MJMAIN-30" x="278" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E347-MJMAIN-5D" x="778" y="0"></use></g></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-346">a^{[0]}</script>有3072维，激活值矩阵为32×32×3，输入层没有参数。计算其他层的时候，试着自己计算出激活值，这些都是网络中不同层的激活值形状和激活值大小。</p><p><img src='../images/b715a532e64edaa241c27eef9fdc9bfd.png' alt='' /></p><p>有几点要注意，第一，池化层和最大池化层没有参数；第二卷积层的参数相对较少，前面课上我们提到过，其实许多参数都存在于神经网络的全连接层。观察可发现，随着神经网络的加深，激活值尺寸会逐渐变小，如果激活值尺寸下降太快，也会影响神经网络性能。示例中，激活值尺寸在第一层为6000，然后减少到1600，慢慢减少到84，最后输出<strong>softmax</strong>结果。我们发现，许多卷积网络都具有这些属性，模式上也相似。</p><p>神经网络的基本构造模块我们已经讲完了，一个卷积神经网络包括卷积层、池化层和全连接层。许多计算机视觉研究正在探索如何把这些基本模块整合起来，构建高效的神经网络，整合这些基本模块确实需要深入的理解。根据我的经验，找到整合基本构造模块最好方法就是大量阅读别人的案例。下周我会演示一些整合基本模块，成功构建高效神经网络的具体案例。我希望下周的课程可以帮助你找到构建有效神经网络的感觉，或许你也可以将别人开发的框架应用于自己的应用程序，这是下周的内容。下节课，也是本周最后一节课，我想花点时间讨论下，为什么大家愿意使用卷积，使用卷积的好处和优势是什么，以及如何整合多个卷积，如何检验神经网络，如何在训练集上训练神经网络来识别图片或执行其他任务，我们下节课继续讲。</p><h3><a name='header-n505' class='md-header-anchor '></a>1.11 为什么使用卷积？（Why convolutions?）</h3><p>这是本周最后一节课，我们来分析一下卷积在神经网络中如此受用的原因，然后对如何整合这些卷积，如何通过一个标注过的训练集训练卷积神经网络做个简单概括。和只用全连接层相比，卷积层的两个主要优势在于参数共享和稀疏连接，举例说明一下。</p><p><img src='../images/beedba9de67752b61ad0eede899eb4de.png' alt='' /></p><p>假设有一张32×32×3维度的图片，这是上节课的示例，假设用了6个大小为5×5的过滤器，输出维度为28×28×6。32×32×3=3072，28×28×6=4704。我们构建一个神经网络，其中一层含有3072个单元，下一层含有4074个单元，两层中的每个神经元彼此相连，然后计算权重矩阵，它等于4074×3072≈1400万，所以要训练的参数很多。虽然以现在的技术，我们可以用1400多万个参数来训练网络，因为这张32×32×3的图片非常小，训练这么多参数没有问题。如果这是一张1000×1000的图片，权重矩阵会变得非常大。我们看看这个卷积层的参数数量，每个过滤器都是5×5，一个过滤器有25个参数，再加上偏差参数，那么每个过滤器就有26个参数，一共有6个过滤器，所以参数共计156个，参数数量还是很少。</p><p>卷积网络映射这么少参数有两个原因：</p><p>一是参数共享。观察发现，特征检测如垂直边缘检测如果适用于图片的某个区域，那么它也可能适用于图片的其他区域。也就是说，如果你用一个3×3的过滤器检测垂直边缘，那么图片的左上角区域，以及旁边的各个区域（左边矩阵中蓝色方框标记的部分）都可以使用这个3×3的过滤器。每个特征检测器以及输出都可以在输入图片的不同区域中使用同样的参数，以便提取垂直边缘或其它特征。它不仅适用于边缘特征这样的低阶特征，同样适用于高阶特征，例如提取脸上的眼睛，猫或者其他特征对象。即使减少参数个数，这9个参数同样能计算出16个输出。直观感觉是，一个特征检测器，如垂直边缘检测器用于检测图片左上角区域的特征，这个特征很可能也适用于图片的右下角区域。因此在计算图片左上角和右下角区域时，你不需要添加其它特征检测器。假如有一个这样的数据集，其左上角和右下角可能有不同分布，也有可能稍有不同，但很相似，整张图片共享特征检测器，提取效果也很好。</p><p><img src='../images/dad50972904bcd2131657db7798595b7.png' alt='' /></p><p>第二个方法是使用稀疏连接，我来解释下。这个0是通过3×3的卷积计算得到的，它只依赖于这个3×3的输入的单元格，右边这个输出单元（元素0）仅与36个输入特征中9个相连接。而且其它像素值都不会对输出产生任影响，这就是稀疏连接的概念。</p><p><img src='../images/7503372ab986cd3aedda7674bedfd5f0.png' alt='' /></p><p>再举一个例子，这个输出（右边矩阵中红色标记的元素 30）仅仅依赖于这9个特征（左边矩阵红色方框标记的区域），看上去只有这9个输入特征与输出相连接，其它像素对输出没有任何影响。</p><p>神经网络可以通过这两种机制减少参数，以便我们用更小的训练集来训练它，从而预防过度拟合。你们也可能听过，卷积神经网络善于捕捉平移不变。通过观察可以发现，向右移动两个像素，图片中的猫依然清晰可见，因为神经网络的卷积结构使得即使移动几个像素，这张图片依然具有非常相似的特征，应该属于同样的输出标记。实际上，我们用同一个过滤器生成各层中，图片的所有像素值，希望网络通过自动学习变得更加健壮，以便更好地取得所期望的平移不变属性。</p><p>这就是卷积或卷积网络在计算机视觉任务中表现良好的原因。</p><p><img src='../images/8fd4c61773f0245c87871de14f0a2d03.png' alt='' /></p><p>最后，我们把这些层整合起来，看看如何训练这些网络。比如我们要构建一个猫咪检测器，我们有下面这个标记训练集，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-345-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.329ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 572 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E346-MJMATHI-78" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E346-MJMATHI-78" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-345">x</script>表示一张图片，<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-238-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.301ex" height="2.461ex" viewBox="0 -755.9 560.2 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E239-MJMATHI-79" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path stroke-width="0" id="E239-MJMAIN-5E" d="M112 560L249 694L257 686Q387 562 387 560L361 531Q359 532 303 581L250 627L195 580Q182 569 169 557T148 538L140 532Q138 530 125 546L112 560Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E239-MJMATHI-79" x="1" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E239-MJMAIN-5E" x="60" y="-13"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-238">\hat{y}</script>是二进制标记或某个重要标记。我们选定了一个卷积神经网络，输入图片，增加卷积层和池化层，然后添加全连接层，最后输出一个<strong>softmax</strong>，即<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-238-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.301ex" height="2.461ex" viewBox="0 -755.9 560.2 1059.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.705ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E239-MJMATHI-79" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path stroke-width="0" id="E239-MJMAIN-5E" d="M112 560L249 694L257 686Q387 562 387 560L361 531Q359 532 303 581L250 627L195 580Q182 569 169 557T148 538L140 532Q138 530 125 546L112 560Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E239-MJMATHI-79" x="1" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E239-MJMAIN-5E" x="60" y="-13"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-238">\hat{y}</script>。卷积层和全连接层有不同的参数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-388-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.663ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 716 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E389-MJMATHI-77" d="M580 385Q580 406 599 424T641 443Q659 443 674 425T690 368Q690 339 671 253Q656 197 644 161T609 80T554 12T482 -11Q438 -11 404 5T355 48Q354 47 352 44Q311 -11 252 -11Q226 -11 202 -5T155 14T118 53T104 116Q104 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Q21 293 29 315T52 366T96 418T161 441Q204 441 227 416T250 358Q250 340 217 250T184 111Q184 65 205 46T258 26Q301 26 334 87L339 96V119Q339 122 339 128T340 136T341 143T342 152T345 165T348 182T354 206T362 238T373 281Q402 395 406 404Q419 431 449 431Q468 431 475 421T483 402Q483 389 454 274T422 142Q420 131 420 107V100Q420 85 423 71T442 42T487 26Q558 26 600 148Q609 171 620 213T632 273Q632 306 619 325T593 357T580 385Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E389-MJMATHI-77" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-388">w</script>和偏差<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-377-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="0.996ex" height="1.994ex" viewBox="0 -755.9 429 858.4" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E378-MJMATHI-62" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E378-MJMATHI-62" x="0" y="0"></use></g></svg></span><script type="math/tex" id="MathJax-Element-377">b</script>，我们可以用任何参数集合来定义代价函数。一个类似于我们之前讲过的那种代价函数，并随机初始化其参数<span class="MathJax_Preview"></span><span class="MathJax_SVG" id="MathJax-Element-388-Frame" tabindex="-1" style="font-size: 100%; display: inline-block;"><svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1.663ex" height="1.41ex" viewBox="0 -504.6 716 607.1" role="img" focusable="false" style="vertical-align: -0.238ex;"><defs><path stroke-width="0" id="E389-MJMATHI-77" d="M580 385Q580 406 599 424T641 443Q659 443 674 425T690 368Q690 339 671 253Q656 197 644 161T609 80T554 12T482 -11Q438 -11 404 5T355 48Q354 47 352 44Q311 -11 252 -11Q226 -11 202 -5T155 14T118 53T104 116Q104 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Q21 293 29 315T52 366T96 418T161 441Q204 441 227 416T250 358Q250 340 217 250T184 111Q184 65 205 46T258 26Q301 26 334 87L339 96V119Q339 122 339 128T340 136T341 143T342 152T345 165T348 182T354 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stroke-width="0" id="E1110-MJMAIN-5E" d="M112 560L249 694L257 686Q387 562 387 560L361 531Q359 532 303 581L250 627L195 580Q182 569 169 557T148 538L140 532Q138 530 125 546L112 560Z"></path><path stroke-width="0" id="E1110-MJMAIN-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path stroke-width="0" id="E1110-MJMAIN-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1110-MJMAIN-43"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" 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xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1110-MJMATHI-6D" x="1493" y="674"></use><g transform="translate(1056,-286)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1110-MJMATHI-69" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1110-MJMAIN-3D" x="345" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1110-MJMAIN-31" x="1123" y="0"></use></g></g><g transform="translate(7839,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1110-MJMATHI-4C" x="0" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1110-MJMAIN-28" x="681" y="0"></use><g transform="translate(1070,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1110-MJMATHI-79" x="1" y="0"></use><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1110-MJMAIN-5E" x="60" y="-13"></use><g transform="translate(560,408)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1110-MJMAIN-28" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1110-MJMATHI-69" x="389" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1110-MJMAIN-29" x="733" y="0"></use></g></g><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1110-MJMAIN-2C" x="2524" y="0"></use><g transform="translate(2968,0)"><use xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1110-MJMATHI-79" x="0" y="0"></use><g transform="translate(499,362)"><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1110-MJMAIN-28" x="0" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="#E1110-MJMATHI-69" x="389" y="0"></use><use transform="scale(0.707)" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" 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