11月28日

Data_Structure_and_Algorithm/19-SSSP.md

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+# 单源最短路径问题（SSSP）
++ 任意单位权重图
++ 任意正权重图
++ 任意无负环的有向图
++ 任意有向无环图
+
+## 最短路径问题
++ TODO(补充问题表示)
++ 最短路径？权重最小的路径？
++ 无向图？有向图($w(u, v)\not =w(v, u)$)？
++ $w(u, v)<0$？
+  + 如果存在负边，那么负环不能存在。否则不存在最短路径
+
+## 单源最短路径问题
++ **【SSSP Problem】:Given a graph $G=(V, E)$ and a weight function $w$, given a source node $s$, find a shortest path from $s$ to every node $u\in V$**
+
+### SSSP in unit weight graphs
++ $w\equiv 1$
++ 直接使用BFS即可
+
+### SSSP in positive weight graphs
++ 模仿BFS的思路，使用以下算法
++ 为每个节点维护一个变量$T_u$
++ 对于源节点s，$T_s=0$
++ 如果节点u被访问到，那么对于每一条边$(u, v)$，更新$T_v=\min\{T_v, T_u+w(u, v)\}$
++ 每次取出$T_u$最小的节点进行访问，使用最小堆实现即可
++ 遍历结束后，每个节点的$T_u$即为该节点到源节点的最短路径长度
+
+#### Dijkstra's Algorithm
+```python
+DijlstraSSSP(G, s):
+for (each u in V)
+    u.dist=INF, u.parent=NIL
+s.dist=0
+Build priority queue Q based in dist
+while (!Q.empty())
+    u = Q.ExtractMin()
+    for (each edge (u, v) in E)
+        if (v.dist > u.dist+w(u, v))
+        v.dist = u.dist + w(u, v)
+        v.parent = u
+        Q.DecreaseKey(u)
+```
++ 不难分析，使用小顶堆实现的Dijkstra算法的总的时间复杂度为$O(n+m)\log n$
++ Dijlstra算法也是贪心算法
+
+#### Dijkstra算法的另一种理解
+TODO（）
+
+### SSSP in directed graphs with negative weights
++ Dijkstra算法对存在负边的图是不正确的  
+  TODO（补充不正确的说明图示）
++ 但是
+#### 
++ When processing edge $(u, v)$, execute procedure Update(u, v): v.dist=$\min\{v.dist, u.dist+w(u, v)\}$
++ 这维护了两条重要性质
+  + 对于任何一个节点v，v.dist要么是准确的，要么是被过高估计了
+  + 如果u是从源节点s到v最短路径上的最后一个节点，那么当我们调用Update(u, v)后，v.dist变为正确的估计
++ 以上两条性质导出，Update(u, v)是正确并且有帮助性的
+  + 【safe】：无论Update的操作顺序是怎样的，v.dist要么是被过高估计，要么是正确的
+  + 【helpful】：With correct sequence of Update, we get correct v.dist
++ 观察到两点：  
+  ![](img/2019-11-28-02-31-03.png)
+
+#### Bellman-Ford Algorithm
++ Update all edges
++ Repeat above step for n-1 times
+```python
+BellmanFordSSSP(G, s):
+for each u in V
+    u.dist = INF, u.parent = NIL
+s.dist = 0
+repeat n-1 times:
+    for each edge (u, v) in E：
+        if v.dist>u,dist+w(u, v)
+            v.dist = u.dist+w(u, v)
+            v.parent = u
+
+for each edge (u, v) in E                     # 判断是否存在负环
+    if v.dist > u.dist+w(u, v)
+        return "Negative Cycle!"
+```
+![](img/2019-11-28-02-54-47.png)
++ 在预知最短路径深度d的情况下，可以只进行d次repeat。
++ **Bellman-Ford还可以判断当前图中是否有负环。**循环进行了n-1次后，如果对于某个节点仍然有v.dist>u.dist+w(u, v)，那么图中一定存在负环。
+
+### SSSP in DAG with negative weights
++ Bellman-Ford算法的核心思想：在每一个包含某条最短路径的边序列上进行Update
++ **【Observation】：在有向无环图中，每一条路径（也就是每一条最短路径），都是拓扑排序的子序列。因此先进行拓扑排序，然后使用拓扑顺序一次更新每个节点即可。**
+
+#### 算法分析
+```python
+DAGSSSP(G, s):
+for each u in V
+    u.dist = INF, u.parent = NIL
+s.dist = 0
+Run DFS to obtain topological order
+for each node u in topological order
+    for each edge (u, v) in E
+        if v.dist > u.dist+w(u, v)
+            v.dist = u.dist + w(u, v)
+            v.parent = u
+```
+![](img/2019-11-28-02-54-22.png)
++ 时间复杂度为$O(n+m)$
+
+#### SSSP in DAG应用：Computing Critical Path
++ 假设需要完成一个包含多个步骤的任务，每一步骤都需要消耗一定时间
++ 对于某些步骤，它们只能在之前的任务都结束后才能开始  
+![](img/2019-11-28-03-01-03.png)

Data_Structure_and_Algorithm/20-ASAP.md

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+# All-Pairs Shortest Paths Problem