Cambios y creación de un Tema de probabilidad mucho más completo (par…

…a otro curso)

teoria/Tema11.Rmd

@@ -66,39 +66,6 @@ Un ejemplo de suceso imposible de este experimento aleatorio es $\emptyset = \{7
 
 <l class = "definition">Sucesos incompatibles. </l> Si $A\cap B = \emptyset$
 
-## Sucesos
-
-<l class = "prop">Propiedades de los sucesos. </l>
-
-- Conmutativa: $$A\cup B = B\cup A$$ $$A\cap B = B\cap A$$
-- Asociativa: $$A\cup(B\cup C) = (A\cup B)\cup C$$ $$A\cap(B\cap C) = (A\cap B)\cap C$$
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-## Sucesos
-
-<l class = "prop">Propiedades de los sucesos. </l>
-
-- Distributiva: $$A\cap(B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C)$$ $$A\cup(B\cap C) = (A\cup B)\cap (A\cup C)$$
-- Doble complementario: $(A^c)^c = A$
-- Leyes de De Morgan: $$(A\cup B)^c = A^c\cap B^c$$ $$(A\cap B)^c = A^c\cup B^c$$
-
-## Sucesos
-
-<div class = "example">
-**Ejemplo**
-
-$\Omega = \{\text{conejos de la granja}\}$ 
-$A = \{\text{conejos hembra}\}$
-$B = \{\text{conejos con dos colores}\}$
-
-$A\cup B = \{\text{Conejos que son hembra o tienen dos colores}\}$
-$A\cap B = \{\text{Conejos que son hembra y tienen dos colores}\}$
-$A^c = \{\text{Conejos que no son hembra}\}= \{\text{Conejos que son macho}\}$
-$A-B = \{\text{Conejos que son hembra y no tienen dos colores}\}$
-$B- A = \{\text{Conejos que tienen dos colores y son macho}\}$
-
-No son incompatibles
-</div>
-
 ## Probabilidad
 
 <l class = "definition">Probabilidad de un suceso. </l>Número entre 0 y 1 (ambos incluidos) que mide la expectativa de que se dé este suceso
@@ -113,137 +80,40 @@ No son incompatibles
 
 <l class = "important">Notación: </l> Si $a\in\Omega$, escribiremos $p(a)$ en vez de $p(\{a\})$
 
-## Probabilidad
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-<l class = "prop">Propiedades. </l>
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-- $p(\emptyset) = 0$
-- $p(A-B) = p(A)-p(A\cap B)$
-- Si $B\subseteq A$, entonces $0\le p(B)\le p(A)$
-- $p(A^c) = 1-p(A)$
-- $p(A\cup B) = p(A)+p(B)-p(A\cap B)$
-
-## Probabilidad
-
-<l class = "prop">Propiedades. </l>
-
-- $$p(A\cup B\cup C) =$$ $$p(A)+p(B)+p(C)-p(A\cap B)-p(A\cap C)-p(B\cap C)+p(A\cap B\cap C)$$
-- Si $A = \{a_1,\dots,a_k\}$, entonces $p(A) = p(a_1)+\cdots+p(a_k)$
-- Si todos los sucesos elementales tienen la misma probabilidad, cada uno tiene probabilidad $\frac{1}{|\Omega|}$ y, por tanto $$p(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{\text{# casos favorables}}{\text{# casos posibles}}$$
-
-## Probabilidad condicionada
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-<l class = "definition">Probabilidad condicionada. </l> Dados $A,B$ sucesos, con $p(B)>0$, la probabilidad $p(A|B)$ de $A$ condicionada a $B$ es la probabilidad de que 
-
-- pase $A$ suponiendo que pasa $B$
-- si pasa $B$, entonces pase $A$
-- que un resultado de $B$ también pertenezca a $A$
-
-$$p(A|B) = \frac{p(A\cap B)}{p(B)}$$
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-## Probabilidad condicionada
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-<l class = "important">¡Alerta! </l> Cabe distinguir entre
-
-- $p(A\cap B):$ probabilidad de $A$ y $B$
-- $p(A|B):$ probabilidad de que si pasa $B$ entonces pase $A$. 
-
-En $p(A|B)$ restringimos el espacio muestral a $B$.
-
-## Probabilidad condicionada
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-<l class = "prop">Proposición. </l> Sea $A\subseteq \Omega$ un acontecimiento tal que $p(A)>0$. Entonces $$p(\cdot |A): \mathcal{P}(\Omega)\longrightarrow [0,1]$$ tal que $B\mapsto p(B|A)$ satisface las propiedades de probabilidad
-
-Lo que nos dice este resultado es que la probabilidad condicionada es, en efecto, una probabilidad.
 
+## Variable aleatoria
 
-## Teorema de la probabilidad total
-
-<l class = "prop">Teorema. </l> $A,B$ sucesos. Entonces,
-
-$$p(B) = p(B\cap A)+p(B\cap A^c) = p(A)\cdot p(B|A)+p(A^c)\cdot p(B|A^c)$$
-
-## Teorema de la probabilidad total
-
-<l class = "definition"> Partición del espacio muestral. </l>Los sucesos $A_1,\dots, A_n$ forman una partición del espacio muestral $\Omega$ de un determinado experimento aleatorio,  si se cumple 
-
-- $A_1\cup\cdots \cup A_n = \Omega$
-- $A_1,\dots,A_n$ son incompatibles dos a dos $(A_i\cap A_j = \emptyset)$
-
-<l class = "prop">Teorema. </l> $A_1,\dots, A_n$ partición de $\Omega$ y $B$ suceso cualquiera. Entonces,
-
-$$p(B) = p(B\cap A_1)+\cdots+p(B\cap A_n) = p(A_1)\cdot p(B|A_1)+\cdots+p(A_n)\cdot p(B|A_n)$$
-
-## Diagnósticos
-
-En un diagnóstico de una cierta condición, tenemos dos tipos de suceso:
-
-- $P:$ test da positivo
-- $S:$ sujeto satisface la condición
-
-Entonces,
-
-- <l class = "definition">Falso positivo. </l> $P\cap S^c$ (el test da positivo, pero la condición no se da)
-- <l class = "definition">Falso negativo. </l> $P^c\cap S$ (el test da negativo, pero sí se da la condición)
-- <l class = "definition">Coeficiente de falso positivo. </l> $p(P|S^c)$
-- <l class = "definition">Coeficiente de falso negativo. </l> $p(P^c|S)$
-
-## Fórmula de Bayes
-
-<l class = "prop">Teorema de Bayes. </l> $A,B$ sucesos. Si $p(B)>0$, entonces
-
-$$p(A|B) = \frac{p(A)\cdot p(B|A)}{p(B)}=\frac{p(A)\cdot p(B|A)}{p(A)\cdot p(B|A)+p(A^c)\cdot p(B|A^c)}$$
-
-<l class = "prop">Teorema de Bayes. </l> $A_1,\dots,A_n$ partición de $\Omega$. Sea $B$ suceso tal que $p(B)>0$. Entonces
-
-$$p(A_i|B) = \frac{p(A_i)\cdot p(B|A_i)}{p(B)}=\frac{p(A_i)\cdot p(B|A_i)}{p(A_1)\cdot p(B|A_1)+\cdots+p(A_n)\cdot p(B|A_n)}$$
+<l class = "definition">Variable aleatoria. </l> Una variable aleatoria (v.a.) sobre $\Omega$ es una aplicación $$X: \Omega\longrightarrow \mathbb{R}$$ que asigna a cada suceso elemental $\omega$ un número real $X(\omega)$ 
 
-## Sucesos independientes
+Puede entenderse como una descripción numérica de los resultados de un experimento aleatorio
 
-<l class = "definition">Sucesos independientes. </l> Dados $A,B$ sucesos, son independientes si $p(A\cap B) = p(A)\cdot p(B)$
+<l class = "definition">Dominio de una variable aleatoria. </l> $D_X$, es el conjunto de los valores que puede tomar
 
-<l class = "definition">Sucesos independientes. </l> Dados $A_1,\dots,A_n$, son independientes cuando para toda subfamilia $A_{i_1},\dots,A_{i_k}$, $$p(A_{i_1}\cap\dots\cap A_{i_k})=p(A_{i_1})\cdots p(A_{i_k})$$
+## Sucesos de variables aleatorias
 
+Una variable aleatoria puede definir sucesos, de los cuales queremos conocer la probabilidad $p$
 
-## Sucesos independientes
+- $p(X=a) = p(\{\omega\in\Omega \ |\  X(\omega) = a\})$
+- $p(X<b) = p(\{\omega\in\Omega \ |\  X(\omega) < b\})$
+- $p(X\le b) = p(\{\omega\in\Omega \ |\  X(\omega) \le b\})$
+- $p(a<X) = p(\{\omega\in\Omega \ |\  a<X(\omega)\})$
+- $p(a\le X) = p(\{\omega\in\Omega \ |\  a\le X(\omega)\})$
+- $p(a\le X\le b) = p(\{\omega\in\Omega \ |\  a\le X(\omega) \le b\})$
+- $p(a< X< b) = p(\{\omega\in\Omega \ |\  a< X(\omega) < b\})$
+- $p(X\in A) = p(\{\omega\in\Omega \ |\  X(\omega)\in A\})$
 
-<l class = "prop">Proposición. </l> Dados dos sucesos $A,B$ con $p(A),p(B)>0$ son equivalentes
+## Función de distribución
 
-- $A$ y $B$ son independientes
-- $p(A|B) = p(A)$
-- $p(B|A) = p(B)$
-- $A^c$ y $B$ son independientes
-- $A$ y $B^c$ son independientes
-- $A^c$ y $B^c$ son independientes
+<l class = "definition">Función de distribución de la v.a. X.</l> Es una función  $$F:\mathbb{R}\longrightarrow [0,1]$$ definida por $F(x)=p(X\le x)$
 
 
 ## MAAAAAAAL
 
-<div class = "example">
-**Ejemplo**
 
-- La probilidad de que salga cara cuando tiramos una moneda no trucada es $p = \frac{1}{2} = 0.5$
-- La probilidad de que salga al tirar un dado no trucado nos salga 5 es $p = \frac{1}{6}$
-</div>
 
-Por lo general, si nos encontramos en un caso como los anteriores, la probabilidad la podemos calcular del siguiente modo:
 
-$$p=\frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}$$
 
 
-## Variable aleatoria
-
-<l class = "definition">[Variable aleatoria](https://es.wikipedia.org/wiki/Variable_aleatoria).</l> Una variable aleatoria es una función que asigna un valor, usualmente numérico, al resultado de un experimento aleatorio. Las hay de dos tipos: discretas y continuas.
-
-- <l class = "definition">Variable aleatoria discreta.</l> Solamente puede tomar un número finito de valores.
-- <l class = "definition">Variable aleatoria continua.</l> Puede tomar como valores un intervalo (finito o infinito) de números reales.
-
-<div class = "example">
-**Ejemplo**
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-La variable aleatoria $X$ que cuenta el número de caras que salen al tirar una moneda $n$ veces es una variable aleatoria discreta
-</div>
-
 
 ## Funciones de probabilidad y densidad
 
@@ -252,13 +122,6 @@ La variable aleatoria $X$ que cuenta el número de caras que salen al tirar una
 - <l class = "definition">Función de densidad.</l> Cuando $X$ es v.a. continua, la función de densidad describe la probabilidad relativa según la cual dicha variable aleatoria tomará determinado valor.
 
 
-## Función de distribución
-
-<l class = "definition">Función de distribución.</l> Describe la probabilidad de que $X$ tenga un valor menor o igual que $x$.
-
-- Es continua por la derecha
-- Es creciente
-- Toma valores entre 0 y 1
 
 ## Esperanza de una variable aleatoria