Verbesserungsvorschläge von Jérôme Urhausen, Email vom 19.02.2014, um…

…gesetzt.

documents/GeoTopo/Kapitel1.tex

@@ -30,12 +30,13 @@ \section{Topologische Räume}
 
 \begin{beispiel}[Topologien]
     \begin{enumerate}[label=\arabic*)]
-        \item $X = \mdr^n$ mit der euklidischen Metrik. \xindex{Topologie!euklidische}
+        \item $X = \mdr^n$ mit der von der euklidischen Metrik erzeugten
+              Topologie $\fT_{\ts{Euklid}}$: \xindex{Topologie!euklidische}
               \begin{align*}
                 U \subseteq \mdr^n \text{ offen} \gdw\;&\text{für jedes $x \in U$ gibt es $r > 0$,}\\
                                                        &\text{sodass $\fB_r(x) = \Set{y \in \mdr^n | d(x,y) < r} \subseteq U$}
               \end{align*}
-              Diese $\fB$ Topologie wird auch \enquote{Standardtopologie des $\mdr^n$}\xindex{Standardtopologie} genannt.
+              Diese Topologie wird auch \enquote{Standardtopologie des $\mdr^n$}\xindex{Standardtopologie} genannt.
               Sie beinhaltet unter anderem alle offenen Kugeln, aber
               z.~B. auch Schnitte zweier Kugeln mit unterschiedlichem
               Mittelpunkt (vgl. \cref{def:topologie.ii}).
@@ -106,13 +107,13 @@ \section{Topologische Räume}
               \[\fB = \Set{B_r(x) | r \in \mdq_{> 0}, x \in \mdq^n}\]
               ist eine abzählbare Basis von $\fT$.
         \item Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum mit 
-              $X = \Set{0,1,2}$ und $\fT = \Set{\emptyset, \Set{0}, \Set{0,1}, X}$.\\
+              $X = \Set{0,1,2}$ und $\fT = \Set{\emptyset, \Set{0}, \Set{0,1}, \Set{0,2}, X}$.\\
               Dann ist $\calS = \Set{\emptyset, \Set{0,1}, \Set{0,2}}$ eine Subbasis von 
               $\fT$, da gilt:
               \begin{itemize}
-                \item $\emptyset \in \calS$
+                \item $\calS \subseteq \fT$
+                \item $\emptyset,\Set{0,1} \text{ und } \Set{0,2} \in \calS$
                 \item $\Set{0} = \Set{0, 1} \cap \Set{0,2}$
-                \item $\Set{0,1} \in \calS$
                 \item $X = \Set{0,1} \cup \Set{0,2}$
               \end{itemize}
               Allerings ist $\calS$ keine Basis von $(X, \fT)$, da
@@ -179,7 +180,7 @@ \section{Topologische Räume}
 \begin{definition}\xindex{Quotiententopologie}%
     Sei $X$ ein topologischer Raum, $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf $X$,
     $\overline{X} = X /_\sim$ sei die Menge der Äquivalenzklassen,
-    $\pi: x \rightarrow \overline{x}, \;\;\; x \mapsto [x]_\sim$.
+    $\pi: X \rightarrow \overline{X}, \;\;\; x \mapsto [x]_\sim$.
 
     \[\fT_{\overline{X}} := \Set{U \subseteq \overline{X} | \pi^{-1}(U) \in \fT_X}\]
 
@@ -492,7 +493,7 @@ \section{Stetigkeit}\index{Stetigkeit|(}
 
     \begin{align*}
         S^n &= \Set{x \in \mdr^{n+1} | \|x\| = 1}\\
-            &= \Set{x \in \mdr^{n+1} | \sum_{i=1}^{n+1} x_i^2}
+            &= \Set{x \in \mdr^{n+1} | \sum_{i=1}^{n+1} x_i^2 = 1}
     \end{align*}
 
     \Obda sei $N = \begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 0\\1\end{pmatrix}$. Die
@@ -549,16 +550,17 @@ \section{Zusammenhang}\index{Zusammenhang|(}
 
 \begin{beispiel}[Zusammenhang von Räumen]
     \begin{bspenum}
-        \item $\mdr^n$ ist mit der euklidischen Topologie zusammenhängend,
-            denn:
+        \item $(\mdr^n, \fT_{\ts{Euklid}})$ ist zusammenhängend, denn:
 
-            \underline{Annahme}: $\mdr^n = U_1 \cup U_2$ mit $U_i$ 
-            offen, $U_i \neq \emptyset$ und $U_1 \cap U_2 = \emptyset$ 
-            existieren.
+            \underline{Annahme}: $\mdr^n = U_1 \dcup U_2$ mit $\emptyset \neq U_1, U_2 \in \fT_{\ts{Euklid}}$ existieren.
 
             Sei $x \in U_1, y \in U_2$ und $[x,y]$ die Strecke zwischen $x$
-            und $y$. Dann ist $U_1 \cap [x,y]$ die Vereinigung von offenen
-            Intervallen. Dann gibt es $z \in [x,y]$ mit $z \in \partial (U_1 \cap [x,y])$,
+            und $y$. Sei $V = [x,y]$. Nun betrachten wir $V \subsetneq \mdr^n$ als 
+            (metrischen) Teilraum mit der Teilraumtopologie $\fT_V$.
+            Somit gilt $U_1 \cap [x,y] \in \fT_V$ wegen der Definition der 
+            Teilraumtopologie.
+
+            Dann gibt es $z \in [x,y]$ mit $z \in \partial (U_1 \cap [x,y])$,
             aber $z \notin U_1 \Rightarrow z \in U_2$. In jeder Umgebung von 
             $z$ liegt ein Punkt von $U_1 \Rightarrow$ Widerspruch zu $U_2$ offen.
         \item $\mdr \setminus \Set{0}$ ist nicht zusammenhängend, denn

documents/GeoTopo/Kapitel2.tex

@@ -16,7 +16,7 @@ \section{Topologische Mannigfaltigkeiten}
               sodass $\bigcup_{i \in I} U_i = X$.
         \item $X$ heißt (topologische) $n$-dimensionale \textbf{Mannigfaltigkeit}\xindex{Mannigfaltigkeit},
               wenn $X$ hausdorffsch ist, eine abzählbare Basis der 
-              Topologie hat und ein $n$-dimensionalen Atlas besitzt.
+              Topologie hat und einen $n$-dimensionalen Atlas besitzt.
     \end{defenum}
 \end{definition}
 

documents/GeoTopo/Kapitel5.tex

@@ -40,13 +40,13 @@ \section{Krümmung von Kurven}\label{sec:Kurvenkrümmung}
         \item Im Folgenden wird die Aussage nur für $\gamma: [a, b] \rightarrow \mdr^2$ bewiesen.
               Allerdings funktioniert der Beweis im $\mdr^n$ analog. Es muss nur
               die Ableitung angepasst werden.
-            $1 = \|\gamma'(t)\| = \|\gamma'(t)\|^2 = \langle \gamma'(t), \gamma'(t) \rangle$\\
-            $\begin{aligned}[t]
+              \begin{align*}
+                            1 &= \|\gamma'(t)\| = \|\gamma'(t)\|^2 = \langle \gamma'(t), \gamma'(t) \rangle\\
                 \Rightarrow 0 &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \langle \gamma'(t), \gamma'(t) \rangle\\
                               &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} (\gamma_1'(t)\gamma_1'(t) + \gamma_2'(t)\gamma_2'(t))\\
                               &= 2 \cdot (\gamma_1''(t) \cdot \gamma_1'(t) + \gamma_2''(t) \cdot \gamma_2'(t))\\
                               &= 2 \cdot \langle \gamma''(t), \gamma'(t) \rangle
-             \end{aligned}$
+              \end{align*}
     \end{enumerate}
 \end{beweis}
 
@@ -161,7 +161,7 @@ \section{Tangentialebene}\index{Tangentialebene|(}
             \frac{\partial y}{\partial u} (p) & \frac{\partial y}{\partial v} (p)\\
             \frac{\partial z}{\partial u} (p) & \frac{\partial z}{\partial v} (p)
         \end{pmatrix}\]
-    und $D_P F: \mdr^2 \rightarrow \mdr^3$ die durch $J_F (p)$
+    und $D_p F: \mdr^2 \rightarrow \mdr^3$ die durch $J_F (p)$
     definierte lineare Abbildung.
 
     Dann heißt $T_s S := \Bild(D_p F)$ die \textbf{Tangentialebene}\xindex{Tangentialebene}
@@ -217,7 +217,7 @@ \section{Tangentialebene}\index{Tangentialebene|(}
 
 Manchmal wird zwischen einem \textit{Normalenfeld} und einem
 \textit{Einheitsnormalenfeld}\xindex{Einheitsnormalenfeld} unterschieden.
-Im folgenden werden diese Begriffe jedoch synonym benutzt.
+Im Folgenden werden diese Begriffe jedoch synonym benutzt.
 
 \begin{bemerkung}[Eigenschaften von Normalenfeldern]%In Vorlesung: Def.+Bem 17.5
     \begin{bemenum}
@@ -260,7 +260,7 @@ \section{Tangentialebene}\index{Tangentialebene|(}
 \section{Gauß-Krümmung}\index{Gauß-Krümmung|(}
 \begin{bemerkung}\label{bem:18.1}%In Vorlesung: Bemerkung 18.1
     Sei $S$ eine reguläre Fläche, $s \in S$, $n(s)$ ist ein Normalenvektor
-    in $s$, $x \in T_s (S)$, $\|x\| = 1$.
+    in $s$, $x \in T_s S$, $\|x\| = 1$.
 
     Sei $E$ der von $x$ und $n(s)$ aufgespannte 2-dimensionale 
     Untervektorraum von $\mdr^3$.
@@ -280,12 +280,13 @@ \section{Gauß-Krümmung}\index{Gauß-Krümmung|(}
 \begin{definition}\xindex{Normalkrümmung}%In Vorlesung: Definition 18.2
     In der Situation aus \cref{bem:18.1} heißt die Krümmung $\kappa_\gamma(0)$
     der Kurve $\gamma$ in der Ebene $(s+ E)$ im Punkt $s$ die
-    \textbf{Normalkrümmung}\footnotemark{} von $S$ in $s$ in Richtung
+    \textbf{Normalkrümmung} von $S$ in $s$ in Richtung
     $x = \gamma'(0)$.
 
-    Man scheibt: $\kappa_\gamma(0) := \kappanor(s, x)$
+    Man schreibt: $\kappa_\gamma(0) := \kappanor(s, x)$
 \end{definition}
-\footnotetext{Die Krümmung ist nur bis auf das Vorzeichen bestimmt.}
+
+\underline{Hinweis}: Die Krümmung ist nur bis auf das Vorzeichen bestimmt.
 
 \begin{beispiel}[Gauß-Krümmung]%In Vorlesung: Beispiel 18.3
     \begin{bspenum}
@@ -372,8 +373,10 @@ \section{Gauß-Krümmung}\index{Gauß-Krümmung|(}
     $S$ in $s$.
 
     \begin{defenum}
-        \item $\kappa^n_1(s) := \min \Set{\kappanor^n(s,x) | x \in T_s^1 S}$ und\\
-              $\kappa^n_2(s) := \max \Set{\kappanor^n(s,x) | x \in T_s^1 S}$
+        \item $\begin{aligned}[t]
+                \kappa^n_1(s) :&= \min \Set{\kappanor^n(s,x) | x \in T_s^1 S} \text{ und }\\
+                \kappa^n_2(s) :&= \max \Set{\kappanor^n(s,x) | x \in T_s^1 S}
+              \end{aligned}$
               heißen \textbf{Hauptkrümmungen} von $S$ in $s$.
         \item $K(s) := \kappa_1^n(s) \cdot \kappa_2^n(s)$ heißt
               \textbf{Gauß-Krümmung} von $S$ in $s$.
@@ -433,8 +436,8 @@ \section{Erste und zweite Fundamentalform}%In Vorlesung: §19
         \item Sei $F: U \rightarrow V$ eine lokale Parametrisierung von $S$ um
               $s$ und $p := F^{-1}(s)$.
 
-              Dann ist $\Set{D_P F(e_1), D_P F(e_2)}$ eine Basis von $T_s S$.
-        \item Bzgl. der Basis $\Set{D_P F(e_1), D_P F(e_2)}$ hat das 
+              Dann ist $\Set{D_p F(e_1), D_p F(e_2)}$ eine Basis von $T_s S$.
+        \item Bzgl. der Basis $\Set{D_p F(e_1), D_p F(e_2)}$ hat das 
               Standardskalarprodukt aus \cref{bem:19.1a} die Darstellungsmatrix
               \begin{align*}
                 I_S &= \begin{pmatrix}
@@ -445,7 +448,7 @@ \section{Erste und zweite Fundamentalform}%In Vorlesung: §19
                           E(s) & F(s) \\
                           F(s) & G(s)
                        \end{pmatrix}\\
-       \text{mit } g_{i,j} &= g_s(D_P F(e_i), D_P F(e_j))\\
+       \text{mit } g_{i,j} &= g_s(D_p F(e_i), D_p F(e_j))\\
                       &= \langle \frac{\partial F}{\partial u_i} (p), \frac{\partial F}{\partial u_j} (p) \rangle \;\;\; i,j \in \Set{1,2}
               \end{align*}
               Die Matrix $I_S$ heißt \textbf{erste Fundamentalform}\xindex{Fundamentalform!erste}
@@ -519,7 +522,7 @@ \section{Erste und zweite Fundamentalform}%In Vorlesung: §19
     \end{enumerate}
 \end{beweis}
 
-\begin{proposition}
+\begin{proposition}\label{prop:5.1}
     Sei $S \subseteq \mdr^3$ eine reguläre, orientierbare Fläche mit glatten
     Normalenfeld $n: S \rightarrow S^2$. Dann gilt:
 
@@ -543,7 +546,7 @@ \section{Erste und zweite Fundamentalform}%In Vorlesung: §19
         Aufgrund der Bilinearität des Skalarproduktes genügt es diese Eigenschaft
         für die Basisvektoren zu zeigen.
 
-        Sei $x_i = D_P F(e_i) = \frac{\partial F}{\partial u_i} (p)\;\;\; i = 1,2$
+        Sei $x_i = D_p F(e_i) = \frac{\partial F}{\partial u_i} (p)\;\;\; i = 1,2$
 
         \underline{Beh.:} 
           $\langle x_i, d_s n(x_j) \rangle = \langle \frac{\partial^2 F}{\partial u_i \partial u_j} (p), d_s n (x_i) \rangle$
@@ -554,7 +557,7 @@ \section{Erste und zweite Fundamentalform}%In Vorlesung: §19
         \begin{aligned}[t]
             0 &= \hphantom{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left (\right.} \langle \frac{\partial F}{\partial u} (p + t e_j), n(p + t e_j) \rangle\\
 \Rightarrow 0 &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left (\langle \frac{\partial F}{\partial u} (p + t e_j), n(p + t e_j) \rangle \right) \Bigr |_{t=0}\\
-              &= \langle \underbrace{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial F}{\partial u_i} (p + t e_j)}_{\frac{\partial^2 F}{\partial u_j \partial u_i} (p)} \Bigr |_{t=0}, n(s) \rangle + \langle x_i, d_s n \underbrace{D_P F (e_j)}_{x_j}\rangle
+              &= \langle \underbrace{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial F}{\partial u_i} (p + t e_j)}_{\frac{\partial^2 F}{\partial u_j \partial u_i} (p)} \Bigr |_{t=0}, n(s) \rangle + \langle x_i, d_s n \underbrace{D_p F (e_j)}_{x_j}\rangle
         \end{aligned}$
     \end{enumerate}
 \end{beweis}

documents/GeoTopo/Symbolverzeichnis.tex

@@ -40,7 +40,8 @@ \section*{Gruppen}
 % Wege                                                              %
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \section*{Wege}
-$[\gamma]\;\;\;$ Homotopieklasse eines Weges $\gamma$\\
+$\gamma: I \rightarrow X\;\;\;$ Ein Weg\\
+$[\gamma]\;\;\;$ Homotopieklasse von $\gamma$\\
 $\gamma_1 * \gamma_2\;\;\;$ Zusammenhängen von Wegen\\
 $\gamma_1 \sim \gamma_2\;\;\;$ Homotopie von Wegen\\
 $\overline{\gamma}(x) = \gamma(1-x)\;\;\;$ Inverser Weg\\
@@ -100,16 +101,17 @@ \section*{Zahlenmengen}
 $\Fix(f)\;\;\;$ Menge der Fixpunkte der Abbildung $f$\\
 $\|\cdot\|_2\;\;\;$ 2-Norm; Euklidische Norm\\
 $\kappa\;\;\;$ Krümmung\\
-$\kappa_{\ts{Nor}}$
+$\kappa_{\ts{Nor}}\;\;\;$ Normalenkrümmung\\
 $V(f)\;\;\;$ Nullstellenmenge von $f$\footnote{von \textit{\textbf{V}anishing Set}}
 
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 % Krümmung                                                          %
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \section*{Krümmung}
-$D_P F: \mdr^2 \rightarrow \mdr^3\;\;\;$ Lineare Abbildung mit Jaccobi-Matrix (siehe \cpageref{def:Tangentialebene})
+$D_p F: \mdr^2 \rightarrow \mdr^3\;\;\;$ Lineare Abbildung mit Jaccobi-Matrix in $p$ (siehe \cpageref{def:Tangentialebene})\\
 $T_s S\;\;\;$ Tangentialebene an $S \subseteq \mdr^3$ durch $s \in S$\\
+$d_s n(x)\;\;\;$ lineare Abbildung (siehe \cpageref{prop:5.1})\\
 
 \index{Faser|see{Urbild}}
 \index{kongruent|see{isometrisch}}
-\index{Kongruenz|see{Isometrie}}
+\index{Kongruenz|see{Isometrie}}

documents/GeoTopo/meta/Arbeitszeit.md

@@ -86,4 +86,5 @@ in dem Erstellen dieses Skripts steckt:
 |15.02.2014 | 13:00 - 21:00 | Textsetzung; Kleine Korrekturen
 |16.02.2014 | 10:30 - 11:30 | Textsetzung; TODO entfernt; Kleine Korrekturen
 |18.02.2014 | 10:00 - 11:00 | Textsetzungsfehler und mathematische Fehler behoben; Beweis hinzugefügt
-|18.02.2014 | 11:00 - 11:30 | Verbesserungsvorschläge von Jérôme Urhausen, Email vom 17.02.2014, umgesetzt.
+|18.02.2014 | 11:00 - 11:30 | Verbesserungsvorschläge von Jérôme Urhausen, Email vom 17.02.2014, umgesetzt.
+|19.02.2014 | 20:00 - 20:50 | Verbesserungsvorschläge von Jérôme Urhausen, Email vom 19.02.2014, umgesetzt.

documents/GeoTopo/meta/Readme.md

@@ -15,4 +15,6 @@ Konventionen
 * Zahlen werden als Zahlen geschrieben (also: "4 Zusammenhangskomponenten" und nicht "vier Zusammenhangskomponenten")
 * Die benutzten Symbole sollten ISO 80000-2 entsprechen.
 * Adjektive sollten im Stichwortverzeichnis nur als Unterpunkt auftauchen
-  (=> "kompakt" nur unter "Raum, kompakter")
+  (=> "kompakt" nur unter "Raum, kompakter")
+* Je weniger Fußnoten in Formeln / Definitionen sind, desto besser. Fußnoten
+  können zu leicht als Exponenten missverstanden werden.