Verbesserungsvorschläge von Jérôme Urhausen, Email vom 20.02.2014, um…

…gesetzt.

documents/GeoTopo/Kapitel2.tex

@@ -908,7 +908,7 @@ \section{Simplizialkomplex}
     und $<$ eine Totalordnung auf $V$.
 
     Sei $A_n$ die Menge der $n$-Simplizes in $K$, d.~h.
-    \[A_n(K) := \left | \Set{ \sigma \in K | \dim(\sigma) = n} \right | \;\;\; \text{für } n=0, \dots, d=\dim(K)\]
+    \[A_n(K) := \Set{ \sigma \in K | \dim(\sigma) = n} \;\;\; \text{für } n=0, \dots, d=\dim(K)\]
 
     und $C_n(K)$ der $\mdr$-Vektorraum mit Basis $A_n(K)$, d.~h.
     \[C_n(K) = \Set{\sum_{\sigma \in A_n(K)} c_\sigma \cdot \sigma | c_\sigma \in \mdr}\]

documents/GeoTopo/Kapitel3.tex

@@ -40,7 +40,7 @@ \section{Homotopie von Wegen}
 \begin{bemerkung}
     Sei $X$ ein topologischer Raum, $a, b \in X$, 
     $\gamma_1, \gamma_2: I \rightarrow X$ Wege von $a$ nach $b$
-    und $H$ eine Homotopie ziwschen $\gamma_1$ und $\gamma_2$.
+    und $H$ eine Homotopie zwischen $\gamma_1$ und $\gamma_2$.
 
     Dann gilt: Der Weg
     \[\gamma_s: I \rightarrow X,\;\;\;\gamma_s(t) = H(t,s)\]
@@ -774,7 +774,7 @@ \section{Überlagerungen}\index{Ueberlagerung@""Uberlagerung|(}
 \begin{folgerung}%In Vorlesung: "Folgerung 12.8"
     Sei $p: Y \rightarrow X$ eine Überlagerung, $x_0 \in X, y_0 \in p^{-1}(x_0)$
     \begin{bemenum}
-        \item \label{folg:12.8a} $p_1: \pi_1(Y, y_0) \rightarrow \pi_1(X, x_0)$ ist injektiv\label{kor:12.8a}
+        \item \label{folg:12.8a} $p_*: \pi_1(Y, y_0) \rightarrow \pi_1(X, x_0)$ ist injektiv\label{kor:12.8a}
         \item \label{folg:12.8b} $[\pi_1(X, x_0): p_* (\pi_1(Y, y_0))] = \deg(p)$\label{kor:12.8b}
     \end{bemenum}
 \end{folgerung}
@@ -1138,7 +1138,8 @@ \section{Gruppenoperationen}\index{Gruppenoperation|(}\index{Aktion|see{Gruppeno
               ein Homöomorphismus ist.
         \item Ist $G$ eine topologische Gruppe, so heißt die Gruppenoperation $\circ$
               \textbf{stetig}\xindex{Gruppenoperation!stetige}, wenn 
-              $\circ: G \times X \rightarrow X$ stetig ist.
+              \[\forall g \in G: m_g \text{ ist stetig}\]
+              gilt.
     \end{defenum}
 \end{definition}
 

documents/GeoTopo/Kapitel4.tex

@@ -370,7 +370,7 @@ \section{Axiome für die euklidische Ebene}
     Seien außerdem $\triangle ABC$ und $\triangle A'B'C'$ Dreiecke, für die gilt:
     \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
         \item \label{bem:sws.i} $d(A, B) = d(A', B')$
-        \item \label{bem:sws.ii} $\angle CAB \cong \angle C'A'C'$
+        \item \label{bem:sws.ii} $\angle CAB \cong \angle C'A'B'$
         \item \label{bem:sws.iii} $d(A, C) = d(A', C')$
     \end{enumerate}
 
@@ -404,29 +404,10 @@ \section{Axiome für die euklidische Ebene}
     und $\varphi(C')$ liegt in der selben Halbebene bzgl. $AB$ wie $C$.
     Diese Isometrie existiert wegen \ref{axiom:4}.
 
-    Es gilt:
-    \begin{align*}
-        d(A',C') &= d(\varphi(A'), \varphi(C'))\\
-                 &= d(A, \varphi(C'))\\
-        d(B',C') &= d(\varphi(B'), \varphi(C'))\\
-                 &= d(B, \varphi(C'))\\
-    \end{align*}
-
-    Außerdem liegt $\varphi(C')$ auf $\varphi(A'C') = A \varphi(C')$
-    und auf $\varphi(B'C') = B \varphi(C')$.
-
-    Da wegen \cref{bem:wsw.ii} ein Isomorphismus $\psi$ mit
-    $\psi(A'C'^+) = AC^+$ und $\psi(A'B'^+) = AB^+$ existieren muss, $\varphi$
-    jedoch durch \cref{bem:wsw.i} und die Bedingung, dass $\varphi(C)$ in der selben
-    Halbebene bzgl. $AB$ wie $C$ sein muss festgelegt war, muss $\psi = \varphi$
-    sein.
+    Aus $\angle CAB = \angle C'A'B' = \angle \varphi(C')\varphi(A')\varphi(B') = \angle \varphi(C')AB$ folgt, dass $\varphi(C')\in AC^+$.\\
+    Analog folgt aus $\angle ABC = \angle A'B'C' = \angle \varphi(A')\varphi(B')\varphi(C') = \angle AB\varphi(C')$, dass $\varphi(C') \in BC^+$.
 
-    Also gilt: $\varphi(A'C')^+ = AC^+$ und wegen \cref{bem:wsw.iii} auch
-    $\varphi(B'C')^+ = BC^+$. Allerdings schneiden sich $A'C'$ und $B'C'$ in
-    $C'$. Der Punkt $C'$ hat einen festen Abstand $r \in \mdr^+$ von $A$, der von der
-    Isometrie $\varphi$ erhalten bleibt. Da es wegen \ref{axiom:3.1} genau
-    einen Punkt mit Abstand $r$ auf der Halbgeraden $AC^+$ gibt, folgt mit
-    \cref{kor:14.6} $\varphi(C') = C$.
+    Dann gilt $\varphi(C') \in AC \cap BC = \Set{C} \Rightarrow \varphi(C')=C$.
 
     Es gilt also $\varphi(\triangle A'B'C') = \triangle ABC$. $\qed$
 \end{beweis}
@@ -444,7 +425,7 @@ \section{Axiome für die euklidische Ebene}
               die den einen Winkel auf den anderen abbildet.
         \item \label{def:14.8c} $\angle R_1' P' R_2'$ heißt \textbf{kleiner} als
               $\angle R_1 P R_2$, wenn es eine Isometrie $\varphi$
-              gibt, mit $\varphi(P') = P$, $\varphi(P'R'^{+}_{1}) = P' R_{1}^{+}$
+              gibt, mit $\varphi(P') = P$, $\varphi(P'R'^{+}_{1}) = PR_{1}^{+}$
               und $\varphi(R_2')$ liegt in der gleichen Halbebene 
               bzgl. $PR_1$ wie $R_2$ und in der gleichen Halbebene
               bzgl. $PR_2$ wie $R_1$

documents/GeoTopo/Symbolverzeichnis.tex

@@ -77,7 +77,8 @@ \section*{Weiteres}
 $\Delta^k\;\;\;$ Standard-Simplex\\
 $X \# Y\;\;\;$ Verklebung von $X$ und $Y$\\
 $d_n\;\;\;$ Lineare Abbildung aus \cref{kor:9.11}\\
-$A \cong B\;\;\;$ $A$ ist isometrisch zu $B$
+$A \cong B\;\;\;$ $A$ ist isometrisch zu $B$\\
+$f_*\;\;\;$ Abbildung zwischen Fundamentalgruppen (vgl. \cpageref{korr:11.5})
 \onecolumn
 
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

documents/GeoTopo/meta/Arbeitszeit.md

@@ -90,4 +90,5 @@ in dem Erstellen dieses Skripts steckt:
 |19.02.2014 | 20:00 - 20:50 | Verbesserungsvorschläge von Jérôme Urhausen, Email vom 19.02.2014, umgesetzt.
 |19.02.2014 | 20:50 - 22:00 | Kongruenzsätze
 |20.02.2014 | 12:00 - 13:00 | Beweis zu Erzeuger von SL_2(R) hinzugefügt.
-|20.02.2014 | 12:00 - 13:00 | Verbesserungsvorschläge von Jonathan (Facebook, 20.02.2014) eingearbeitet.
+|20.02.2014 | 12:00 - 13:00 | Verbesserungsvorschläge von Jonathan (Facebook, 20.02.2014) eingearbeitet.
+|20.02.2014 | 13:00 - 13:45 | Verbesserungsvorschläge von Jérôme Urhausen, Email vom 20.02.2014, umgesetzt.