Definition von 'Erste Fundamentalform' klar von Aussagen abgegrenzt; …

…TODOs entfernt

documents/GeoTopo/Bildquellen.tex

@@ -1,7 +1,7 @@
 \chapter*{Bildquellen\markboth{Bildquellen}{Bildquellen}}
 \addcontentsline{toc}{chapter}{Bildquellen}
 
-Alle Bilder, die hier nicht aufgeführt sind, wurden selbst erstellt.
+Alle Bilder, die hier nicht aufgeführt sind, wurden von Martin Thoma erstellt.
 
 Teilweise wurden die im folgenden aufgelisteten Bilder noch leicht
 modifiziert.

documents/GeoTopo/GeoTopo.tex

@@ -32,7 +32,6 @@
 \usepackage{xifthen}        % \isempty
 \usepackage{changepage}     % for the adjustwidth environment
 \usepackage{pst-solides3d}
-\usepackage[colorinlistoftodos]{todonotes}
 \usepackage{pgfplots}
 \pgfplotsset{compat=1.7}
 \usepackage[arrow, matrix, curve]{xy}

documents/GeoTopo/Kapitel2.tex

@@ -76,7 +76,7 @@ \section{Topologische Mannigfaltigkeiten}
                 (y_1 : \dots : y_{i-1} : 1 : y_i : \dots : y_n) &\mapsfrom (y_1, \dots, y_n)
               \end{align*}
               ist bijektiv.
-              \todo[inline]{Was wird im Folgenden gemacht?}
+
               Die $U_i$ mit $i = 0, \dots, n$ bilden einen $n$-dimensionalen Atlas:
               \begin{align*}
                       x &= (1:0:0) \in U_0 \rightarrow \mdr^2 & x &\mapsto (0,0)\\

documents/GeoTopo/Kapitel4.tex

@@ -1107,7 +1107,7 @@ \section{Hyperbolische Geometrie}
             Im Fall, dass ein $z_i = \infty$ ist, ist 
             entweder $\DV(0, 1, \infty, z_4) = 0$ oder $\DV(0, 1, \infty, z_4) \pm \infty$
         \item $\DV(0, 1, \infty, z_4) = \frac{(0- z_4) \cdot (\infty - 1)}{(0 -1) \cdot (\infty - z_4)} = \frac{z_4 \cdot (\infty - 1)}{\infty - z_4} = z_4$
-        \item TODO
+        \item Wenn jemand diesen Beweis führt, bitte an [email protected] schicken.%TODO
         \item  Sei $\sigma \in \PSL_2(\mdc)$ mit $\sigma(z_1) = 0$, $\sigma(z_2) = 1$,
             $\sigma(z_3) = \infty$. Ein solches $\sigma$ existiert, da man drei
             Parameter von $\sigma$ wählen darf.

documents/GeoTopo/Kapitel5.tex

@@ -190,8 +190,9 @@ \section{Tangentialebene}\index{Tangentialebene|(}
           \gamma:[- \varepsilon, + \varepsilon] \rightarrow S 
           \text{ für ein } \varepsilon > 0 
           \text{ mit } \gamma(0) = s \text{ und } \gamma'(0) = x
-          \}$
-          \todo{todo}
+          \}$\\
+          Wenn jemand diesen Beweis führt, bitte an [email protected] 
+          schicken.%TODO
         \item Sei $x \in T_s S, \gamma:[-\varepsilon, +\varepsilon] \rightarrow S$
     eine parametrisierte Kurve mit $\varepsilon > 0$ und $\gamma'(0) = s$,
     sodass $\gamma'(0) = x$ gilt. Da $\gamma(t) \in S$ für alle
@@ -242,8 +243,8 @@ \section{Tangentialebene}\index{Tangentialebene|(}
 
 \begin{beispiel}[Normalenfelder]
     \begin{bspenum}
-        \item $S = S^2$, $n_1 = \id_{S^2}$ ist stetiges Normalenfeld.\\
-              $n_2 = - \id_{S^2}$ ist auch stetiges Normalenfeld.
+        \item $S = S^2$, $n_1 = \id_{S^2}$ ist ein stetiges Normalenfeld.\\
+              Auch $n_2 = - \id_{S^2}$ ist ein stetiges Normalenfeld.
         \item $S = \text{Möbiusband}$ (vgl. \cref{fig:moebius-strip})
               ist nicht orientierbar. Es existiert ein Normalenfeld,
               aber kein stetiges Normalenfeld.
@@ -427,32 +428,35 @@ \section{Gauß-Krümmung}\index{Gauß-Krümmung|(}
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \section{Erste und zweite Fundamentalform}%In Vorlesung: §19
 Sei $S \subseteq \mdr^3$ eine reguläre Fläche, $s \in S$, $T_s S$ die Tangentialebene
-an $S$ in $s$.
+an $S$ in $s$ und $F: U \rightarrow V$ eine lokale Parametrisierung von $S$ um
+$s$. Weiter sei $p := F^{-1}(s)$.
+
+\begin{definition}\xindex{Fundamentalform!erste}%In Vorlesung: Bem.+Def. 19.1
+  Sei $I_S \in \mdr^{2 \times 2}$ definiert als
+      \begin{align*}
+        I_S :&= \begin{pmatrix}
+                  g_{1,1}(s) & g_{1,2}(s)\\
+                  g_{1,2}(s) & g_{2,2}(s)
+               \end{pmatrix} =
+               \begin{pmatrix}
+                  E(s) & F(s) \\
+                  F(s) & G(s)
+               \end{pmatrix}\\
+\text{mit } g_{i,j} &= g_s(D_p F(e_i), D_p F(e_j))\\
+              &= \langle \frac{\partial F}{\partial u_i} (p), \frac{\partial F}{\partial u_j} (p) \rangle \;\;\; i,j \in \Set{1,2}
+      \end{align*}
+      Die Matrix $I_S$ heißt \textbf{erste Fundamentalform}
+      von $S$ bzgl. der Parametrisierung $F$.
+\end{definition}
 
 \begin{bemerkung}%In Vorlesung: Bem.+Def. 19.1
     \begin{bemenum}
         \item \label{bem:19.1a} Die Einschränkung des Standardskalarproduktes des $\mdr^3$ auf
               $T_s S$ macht $T_s S$ zu einem euklidischen Vektorraum.
-        \item Sei $F: U \rightarrow V$ eine lokale Parametrisierung von $S$ um
-              $s$ und $p := F^{-1}(s)$.
-
-              Dann ist $\Set{D_p F(e_1), D_p F(e_2)}$ eine Basis von $T_s S$.
+        \item $\Set{D_p F(e_1), D_p F(e_2)}$ ist eine Basis von $T_s S$.
         \item Bzgl. der Basis $\Set{D_p F(e_1), D_p F(e_2)}$ hat das 
               Standardskalarprodukt aus \cref{bem:19.1a} die Darstellungsmatrix
-              \begin{align*}
-                I_S &= \begin{pmatrix}
-                          g_{1,1}(s) & g_{1,2}(s)\\
-                          g_{1,2}(s) & g_{2,2}(s)
-                       \end{pmatrix} =
-                       \begin{pmatrix}
-                          E(s) & F(s) \\
-                          F(s) & G(s)
-                       \end{pmatrix}\\
-       \text{mit } g_{i,j} &= g_s(D_p F(e_i), D_p F(e_j))\\
-                      &= \langle \frac{\partial F}{\partial u_i} (p), \frac{\partial F}{\partial u_j} (p) \rangle \;\;\; i,j \in \Set{1,2}
-              \end{align*}
-              Die Matrix $I_S$ heißt \textbf{erste Fundamentalform}\xindex{Fundamentalform!erste}
-              von $S$ bzgl. der Parametrisierung $F$.
+              $I_S$.
         \item $g_{i,j}(s)$ ist eine differenzierbare Funktion von $s$.
     \end{bemenum}
 \end{bemerkung}
@@ -507,18 +511,18 @@ \section{Erste und zweite Fundamentalform}%In Vorlesung: §19
 
               Etwa:
               \begin{align*}
-                \int_S f \mathrm{d} A &= \sum_{i=1}^n \int_{\mathclap{V_i}} f \mathrm{d} A \\
-                &- \sum_{i \neq j} \int_{\mathclap{V_i \cap V_j}} f \mathrm{d} A \\
-                &+ \sum_{i,j,k} \int_{\mathclap{V_i \cap V_j \cap V_k}} f \mathrm{d} A\\
+                \int_S f \mathrm{d} A &= \sum_{i=1}^n \int_{\mathrlap{V_i}} f \mathrm{d} A \\
+                &- \sum_{i \neq j} \int_{\mathrlap{V_i \cap V_j}} f \mathrm{d} A \\
+                &+ \sum_{i,j,k} \int_{\mathrlap{V_i \cap V_j \cap V_k}} f \mathrm{d} A\\
                 &- \dots
               \end{align*}
     \end{bemenum}
 \end{bemerkung}
 
 \begin{beweis}\leavevmode
     \begin{enumerate}[label=\alph*)]
-        \item Mit Transformationsformel
-        \item Ist dem Leser überlassen.
+        \item Mit Transformationsformel.%TODO
+        \item Ist dem Leser überlassen.%TODO
     \end{enumerate}
 \end{beweis}
 
@@ -527,7 +531,7 @@ \section{Erste und zweite Fundamentalform}%In Vorlesung: §19
     Normalenfeld $n: S \rightarrow S^2$. Dann gilt:
 
     \begin{propenum}
-        \item $n$ induziert für jedes $s \in S$ eine lineare Abbildung $d_s n: T_s S \rightarrow T_{n(s)} S^2$
+        \item \label{prop:5.1a} $n$ induziert für jedes $s \in S$ eine lineare Abbildung $d_s n: T_s S \rightarrow T_{n(s)} S^2$
               durch 
               \[d_s n(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} n (\underbrace{s \text{\enquote{+}} tx}_{\mathclap{\text{Soll auf Fläche $S$ bleiben}}}) \Bigr |_{t=0}\]
         \item $T_{n(s)} S^2 = T_s S$.
@@ -538,9 +542,11 @@ \section{Erste und zweite Fundamentalform}%In Vorlesung: §19
 
 \begin{beweis}\leavevmode
     \begin{enumerate}[label=\alph*)]
-        \item TODO
+        \item Wenn jemand diesen Beweis führt, bitte an [email protected]
+              schicken.
         \item $T_{n(S)} S^2 = \langle n(s) \rangle^\perp = T_s S$
-        \item TODO
+        \item Wegen \cref{prop:5.1a} ist $d_s n$ ein Homomorphismus.\\
+              TODO: Warum sollte das ein Endomorphismus sein?
         \item Zu zeigen: $\forall x,y \in I_s S: \langle x, d_s n (y) \rangle = \langle d_s n(x), y \rangle$
 
         Aufgrund der Bilinearität des Skalarproduktes genügt es diese Eigenschaft
@@ -585,7 +591,8 @@ \section{Erste und zweite Fundamentalform}%In Vorlesung: §19
 
 \begin{beweis}
     Nach \cref{def:18.4} ist $\kappanor(s, \gamma) = \langle \gamma''(0), n(s) \rangle$.
-    Nach Voraussetzung ist $n(\gamma(t)) \perp \gamma'(t) \Leftrightarrow \langle \gamma''(0), n(s) \rangle = 0$.\todo{?}
+    Nach Voraussetzung gilt 
+    \[n(\gamma(t)) \perp \gamma'(t) \Leftrightarrow \langle \gamma''(0), n(s) \rangle = 0\]
     Die Ableitung nach $t$ ergibt 
     \begin{align*}
         0 &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\langle n (\gamma(t)), \gamma'(t))\\

documents/GeoTopo/Loesungen.tex

@@ -31,7 +31,9 @@ \chapter*{Lösungen der Übungsaufgaben\markboth{Lösungen der Übungsaufgaben}{
     \textbf{Beh.:}  $\forall a \in \mdz: \Set{a}$ ist abgeschlossen.
 
     Sei $a \in \mdz$ beliebig. Dann gilt:
-    \todo[inline]{Hat jemand diesen Beweis?}
+
+    Wenn jemand diese Aufgabe gemacht hat, bitte die Lösung an [email protected]
+    schicken.%TODO
 
     \textbf{Teilaufgabe b)} 
 

documents/GeoTopo/Vorwort.tex

@@ -21,7 +21,7 @@ \section*{Danksagungen}
 Vielen Dank auch an Frau Lenz und Frau Randecker, die es mir erlaubt 
 haben, ihre Übungsaufgaben und Lösungen zu benutzen.
 
-Jérôme Urhausen hat durch Verbesserungsvorschläge und Beweise zu einer
+Jérôme Urhausen hat durch viele Verbesserungsvorschläge und Beweise zu einer erheblichen
 Qualitätssteigerung am Skript beigetragen und meine Tutorin Sarah hat mir
 viele Fragen per Email und nach dem Tutorium beantwortet. Danke!