8.28

.gitignore

@@ -34,3 +34,4 @@
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 /latex
+*.log

OI-Source.code-workspace

@@ -64,9 +64,9 @@
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 			"utility": "cpp",
 			"cstdbool": "cpp",
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+			"set": "cpp",
+			"climits": "cpp"
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 		"latex-workshop.intellisense.citation.maxfilesizeMB": 128,
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@@ -117,6 +117,6 @@
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 		],
-		"latex-workshop.view.pdf.viewer": "tab",
+		"latex-workshop.view.pdf.viewer": "tab"
 	}
 }

Review/GameTheory/GameTheory.tex

@@ -1,3 +1,7 @@
 \chapter{博弈论}
 \input{GameTheory/SGFunction}
-\input{GameTheory/Nim}
+\input{GameTheory/Nim}
+\input{GameTheory/AlphaBeta}
+\section{本章注记}
+更多博弈论模型参见~博弈游戏的各种经典模型（备忘） - Randolph87 - 博客园
+ \url{http://www.cnblogs.com/Randolph87/p/5804798.html},待补充。

Review/GameTheory/Nim.tex

@@ -1 +1,92 @@
 \section{Nim系列游戏}
+
+\subsection{Nim游戏}
+
+普通Nim游戏的定义：
+有两个玩家轮流从许多堆中移除对象。在每个回合中，玩家选择一个非空的堆，可以移除任何数量
+的对象，但至少移除一个对象。无法操作的玩家为败者。
+
+此类游戏可看做是Bash游戏的特殊化。
+
+\begin{Theorem}
+	$SG_{Nim}(x)=x$
+\end{Theorem}
+
+证明略。
+
+\subsection{Bash游戏}
+
+Bash游戏与普通Nim游戏的区别是增加了每次最多移除k个对象的限制。
+
+\begin{Theorem}
+	$SG_{Bash}(x)=x~mod~(k+1)$
+\end{Theorem}
+
+证明略。
+
+\subsection{NimK游戏}
+
+NimK游戏与普通Nim游戏的区别是每次可以从不超过k个堆中移除任意数目对象。
+
+\begin{Theorem}\label{NimK}
+	将每堆对象的数目拆位，若每位上1的个数mod(k+1)均为0，则必败，反之必胜。
+\end{Theorem}
+
+记忆：普通Nim游戏可理解为mod 2的情况。
+
+算法正确性证明：
+
+
+
+定理~\ref{NimK}得证。
+
+\subsection{Anti Nim}
+
+不能操作的玩家胜利。
+
+\begin{Theorem}\label{AntiNim}
+	先手必胜当且仅当满足以下条件之一：
+	\begin{enumerate}
+		\item $SG(x)=0$ 且所有堆的对象数都为1
+		\item $SG(x)\not=0$ 且至少有一堆对象数大于1
+	\end{enumerate}
+
+\end{Theorem}
+
+证明：
+定义对象数为1的叫A堆，大于1的叫B堆。
+
+\begin{enumerate}
+	\item 若所有堆均为A堆,则奇数堆先手必败，反之必胜。
+	\item 若B堆数等于1，显然$SG(x)\not=0$，则可根据堆的总数确定取该堆的数目，
+	      使下一状态为情况1的奇数堆，所以先手必胜。
+	\item 若B堆数大于1，则
+	      \begin{enumerate}
+		      \item 若$SG(x)=0$，则必须留下超过2个B堆并使$SG(x')\not=0$，否则会使
+		            对方进入情况2的必胜态。
+		      \item 若$SG(x)\not=0$，则根据Nim游戏的理论（必胜态->必败态），存在一种方法转移至情况3的子情况1。
+	      \end{enumerate}
+	      若玩家处于情况3的子情况2中，则可以在有限次回合内使对方无法转移至子情况2，
+	      因此该状态为必胜态。
+\end{enumerate}
+
+定理~\ref{AntiNim}得证。
+
+\subsection{阶梯博弈（Staircase Nim）}
+
+
+\subsubsection{例题}
+
+Luogu P3480 [POI2009]KAM-Pebbles\footnote{\url{https://www.luogu.org/problemnew/show/P3480}}
+
+对于这题可将原条件通过差分转换为阶梯博弈模型（$A_i \geq A_i-1 \Leftrightarrow
+	A_i-A_i-1 \geq 0$）。
+
+\lstinputlisting[title=Luogu P3480]{Source/'Game Theory'/3480.cpp}
+
+出题灵感：Anti BashK游戏
+
+以上内容参考了forezxl\footnote{anti-Nim游戏（反Nim游戏）简介
+	\url{https://blog.csdn.net/a1799342217/article/details/78274410}}和
+hehedad\footnote{关于nimk类型博弈的详细理解与解释
+	\url{https://blog.csdn.net/chenshibo17/article/details/79783523}}的博客。

Review/GameTheory/NimSG.cpp

@@ -0,0 +1,23 @@
+#include <cstdio>
+#include <cstring>
+const int size = 25;
+int SG[size];
+int getSG(int x) {
+    if(SG[x] == -1) {
+        bool flag[size] = {};
+        for(int i = 0; i < x; ++i)
+            flag[getSG(i)] = true;
+        for(int i = 0; i <= x; ++i)
+            if(!flag[i]) {
+                SG[x] = i;
+                break;
+            }
+    }
+    return SG[x];
+}
+int main() {
+    memset(SG, -1, sizeof(SG));
+    for(int i = 0; i <= 20; ++i)
+        printf("SG(%d)=%d\n", i, getSG(i));
+    return 0;
+}

Review/GameTheory/SGFunction.tex

@@ -1,10 +1,125 @@
-\section{SG函数}
+\section{SG函数与SG定理}
+
+\subsection{适用范围}
 一切Impartial Combinatorial Games都等价于Nim游戏，可以使用SG函数解决。
 
-该类游戏拥有如下特征：
+该类游戏拥有如下特征：\footnote{参见 Impartial game - Wikipedia
+	\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Impartial_game}}
 
 \begin{itemize}
 
-	\item
+	\item 两个玩家轮流操作
+	\item 当有一名玩家无法操作时，游戏结束
+	\item 游戏会在有限次操作后结束（状态转移图是一个DAG）
+	\item 游戏对双方是公平的，所有操作必须能够由双方完成（即当双方都采取最优策略
+	      时，游戏的胜负只取决于先后手）
+	\item 双方在开局前已知道关于游戏的全部信息，并在游戏时采用最优策略。
+
+\end{itemize}
+
+\subsection{SG函数}
+
+接下来给出必胜点和必败点的定义（前提是双方均采用最优策略）：
+
+\begin{itemize}
+	\item 必胜点（N-Position）：处于该状态的玩家必胜
+	\item 必败点（P-Position）：处于该状态的玩家必败
+\end{itemize}
+
+必胜点与必败点有如下性质：
+
+\begin{itemize}
+	\item \begin{Character}
+		终结点为必败点
+	\end{Character}
+	\item \begin{Character}
+		必败点的下一状态必然为必胜点（某玩家必败，等价于无论他如何操作都使另一
+	    玩家必胜）
+	\end{Character}
+	\item \begin{Character}
+		从必胜点出发至少有一种方式进入必败点（该玩家的最优策略就是使状态转移到
+	    必败点）
+	\end{Character}
+\end{itemize}
+
+要判断哪个玩家必胜，只要使用SG函数和SG定理计算出先手所在状态（即初始状态）是必胜点
+还是必败点即可。
+
+SG函数的定义如下：$SG(x)=mex(S(x))$
+
+其中$S(x)$是状态x的后继状态的SG函数值的集合，$mex(S)$是没有出现在集合$S$中的最
+小非负整数。
+
+以Nim游戏为例，可根据函数定义计算SG值：
 
+\lstinputlisting[title=NimSG]{GameTheory/NimSG.cpp}
+
+\subsection{SG定理}
+
+\begin{Theorem}[SpragueGrundy Theorem A]
+	\bfseries 假设当某玩家无法操作时，该玩家失败。\mdseries
+	若$SG(x)=0$，则该状态为必败态，否则为必胜态。
+\end{Theorem}
+
+归纳证明：假设该定理对状态x后继的状态成立，则
+
+\begin{itemize}
+	\item 若$SG(x)>0$,则说明存在一个后继状态$y$，使得$SG(y)=0$，因为$y$为必败
+	      态，所以$x$为必胜态。
+	\item 若$SG(x)=0$,则说明对$x$的任意后继状态$y$，都有$SG(y)>0$，因为$y$为
+	      必胜态，所以$x$为必败态。
 \end{itemize}
+
+\begin{Theorem}[SpragueGrundy Theorem B]\label{SGB}
+	游戏的SG函数值等于各子游戏函数值的Nim和（即xor和）。
+\end{Theorem}
+
+设$S_X$为$X$后继状态的集合，$b=SG(X_1)\oplus \ldots \oplus SG(X_N)$。
+
+该定理可分为两个引理证明：
+
+\begin{enumerate}
+	\item
+	      \begin{Lemma}\label{SGBL1}
+		      $\forall_{a\in N,a<b},\exists_{X'\in S_X},SG(X')=a$
+	      \end{Lemma}
+
+	      归纳证明：首先假设该引理对子游戏成立。
+
+	      设$d=b\oplus a$,$d$的最高位为k，则存在$SG(X_i)$的第k位为1
+	      ($d$的那一位由奇数个$SG(X_i)$贡献)。
+
+	      所以$SG(X_i)\oplus d<SG(X_i)$，由假设得$\exists_{X_i'\in
+			      S_{X_i}},SG(X_i')=SG(X_i)\oplus d$。
+
+	      结合$a=b\oplus d$得$a=SG(X_1)\oplus \ldots \oplus SG(X_i')
+		      \oplus \ldots \oplus SG(X_N)$
+
+	      因为$X_1,\ldots,X_i',\ldots,X_N\in S_X$，所以引理~\ref{SGBL1}得证。
+
+	\item
+	      \begin{Lemma}\label{SGBL2}
+		      $\forall_{X'\in S_X},SG(X')\not=b$
+	      \end{Lemma}
+
+	      反证法：假设SG定理对子状态成立（这里貌似不严谨），\\且$\exists_{X' \in S_X},SG(X')=b$。
+
+	      那么就有$SG(X_i')=SG(X_i)$,由$mex$函数的定义可得$1$
+
+	      两式矛盾，引理~\ref{SGBL2}得证。
+
+\end{enumerate}
+
+以上内容参考了Angel\_Kitty\footnote{SG函数和SG定理[详解] Angel\_Kitty
+\url{https://www.cnblogs.com/ECJTUACM-873284962/p/6921829.html}}与
+PhilipsWeng\footnote{SG定理
+	\url{https://blog.csdn.net/PhilipsWeng/article/details/48395375}}的博客。
+
+\subsubsection{例题}
+
+Luogu P2575 高手过招\footnote{\url{https://www.luogu.org/problemnew/show/P2575}}
+
+每行棋子可视为一个子游戏，状压后使用DFS计算SG函数值，然后利用定理~\ref{SGB}计算整个
+游戏的SG函数值即可。
+
+\lstinputlisting[title=Luogu P2575]{Source/'Game Theory'/2575.cpp}

Review/Main.tex

@@ -1,17 +1,52 @@
-\documentclass{book}
+\documentclass[UTF8,AutoFakeBold]{book}
 \usepackage{xeCJK}
 \setCJKmainfont{SimSun}
 \usepackage[english]{babel}
 \usepackage[T1]{fontenc}
 \usepackage{listings}
+\usepackage{xcolor}
+\lstset{
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+\newtheorem{Theorem}{定理}[chapter]
+\newtheorem{Lemma}{引理}[chapter]
+\newtheorem{Character}{性质}[chapter]
 \begin{document}
 \title{OI知识点复习笔记}
 \author{dtcxzyw}
 \maketitle
+\frontmatter
+\begin{center}
+    \Huge 前言
+\end{center}
+本人写复习笔记的目的有两个：
+\begin{itemize}
+	\item 系统地复习知识点并挖掘一些有用的性质。
+	\item 学会使用\LaTeX{}。
+\end{itemize}
 \tableofcontents
 \mainmatter{}
 \include{GameTheory/GameTheory}

Review/Source

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+../Source