1. 수학에서 말하는 차원 ¶

수학에서 말하는 차원은 기저(basis)의 개수를 말한다. 일정한 벡터공간에서 임의의 벡터는 적당한 단위 벡터들의 선형 조합으로 표시할 수 있는데, 이 때 서로 내적이 0이며 그 개수가 가장 적은 단위벡터쌍을 만들 수 있고, 이를 기저라 한다. 이를 시각적으로 표현하면 직교좌표계의 축 개념으로 표현할 수 있다.

시각적으로 0차원은 점으로, 1차원은 직선, 2차원은 평면, 3차원은 공간으로 표현되며, 4차원 이상은 시각적으로 표현이 불가능한 것으로 알려져 있다. 수학적인 개념만으로는 몇 차원의 세계든 문제없이 만들 수 있으며, 무한 차원을 다루기도 한다.

우리가 중고등학교 수학시간에 배우는 기하학을 만든 사람인 유클리드는 0,1,2,3차원에 대해 이렇게 정의했다.

입체의 단면은 면이다. 면의 단면은 선이다. 선의 단면은 점이다.

이 정의는 3->2->1->0차원으로 내려가는 차원의 정의를 사용하고 있다.이것을 역이용해 프랑스의 수학자 푸앙카레는 새로운 차원의 정의를 만들었다.

단면이 0차원이(점)이 되는 것을 1차원(선)이라 부른다. 단면이 1차원이 되는 것을 2차원(면)이라 부른다. 단면이 2차원이 되는 것을 3차원(입체)라고 부른다. 단면이 3차원이 되는 것을 4차원(초입체)라 부른다.''

즉 0차원의 도형(점)을 1차원의 방향(선)으로 움직이면 선이 생기고 선을 2차원의 방향으로 생기면 도형이 생기고, 면을 3차원의 방법으로 움직이면 입체가 생긴다. **따라서 우리가 사는 3차원의 입체를 4차원의 방향으로 움직이면 4차원의 물체가 생기지 않을까?**라고 생각한 것.[1] 월간 뉴튼 2008년 1월호에 여기에 대한 일러스트가 잘 실려 있으니 한번 주위의 도서관에 가서 찾아보자. 이 방법을 사용하면 4차원 이상의 차원을 생각할 수 있고, 기하학에서 사용할 수 있다.

같은 백터 공간을 나타내는 기저의 수는 당연히 같지만, 실제 기저의 꼴은 여러 개가 존재할 수 있다. 대표적으로 3차원은

직교좌표계 = (x,y,z), 흔히 말하는 xyz축.
원통좌표계(Cylindrical) = (r,θ,z), 원통모양 밑면의 반지름 r, 경도를 나타내는 θ, 원통높이 z.[2]
구면좌표계(Spherical) = (r,θ,φ), 구의 반지름 r, 위도와 경도를 나타내는 θ와 φ.[3] 천문학에서 천구상의 위치를 나타내는 데 φ를 남중시각으로 바꿔서 사용한다. 등의 좌표계를 이용해 나타낼 수 있다. 이 외에도 수학이 그렇듯이 필요하다면 만들어낼 수도 있다.

이 외에, 차원의 정의를 약간 비틀어서 상위 블록을 만들기 위해 필요한 하위 블록의 개수로 정의하면 프랙탈에도 차원을 정의할 수 있다. 이 경우 차원은 양의 실수 및 0까지 확대된다. 1.73차원 등이 실제로 존재한다.

우리가 실제로 살고 있는 차원은 3차원과 4차원의 사이라고 하며, 현재도 연구 중이다.

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2. 물리에서 말하는 차원 ¶

위의 개념에서 확장되었다고 할 수 있는데[4], 쉽게 말하면 단위. 좀 더 자세히 말하면 단위의 의미. km, cm, 리(里)등은 셋이 모두 길이의 단위로서 같은 차원이지만 kg, hour, LY등은 셋이 모두 다른 차원이다. 다른 차원끼리의 덧셈은 할 수 없는 것으로 정의되는데, 서로 다른 두 양을 단순히 더한다고 별 의미가 생기진 않는 걸 생각하면 왜 그런지 설명이 되려나...

6m + 36kg = ??? ~~=거식증 걸린 자이언트족 여자.~~
3m²+5N - 985hPa = ??? =이 문제의 공학적 모순을 포스트모더니즘의 관점에서 형이상학적 기호로 해석하여 현대사회의 강요된 세계화와 그로부터 비롯된 안티테제적 제노포비아 현상, 그리고 섣부른 문화상대주의가 초래할 미래사회의 위험요인을 19세기 말엽의 동서양 문화교류의 역사적 자료를 근거로 사회심리학적으로 분석하여 현대사회의 근본모순을 거시적으로 성토한다. 그리고 B학점을 노린다.

~~이공계가 부딫힌 벽은 인문학으로 극복하자.~~

다만, 곱하는 경우에는 어느 한 양이 다른 양동안 가해진 총합[5], 나누는 경우에는 어느 한 양에 대한 다른 양의 변화량[6]으로서 의미를 갖는다. 물론 마구잡이로 곱하거나 나눈다고 해서 말이 되는 건 아니다. 오로지 그것이 물리적으로 의미를 가져야만 가치를 인정 받을 수 있다. m*kg² 같은건 물리적으로 아무런 의미가 없는 잉여의 예.

보통 가장 기본적인 차원과 단위는 m(길이), kg(질량), s(시간)이다. 이는 SI단위 자체가 과학적으로 사용하는 표준단위이기 때문이다. 하지만 전문분야에서 사용하는 자연 단위계에서는 또 다른 이야기이다.
상대론에선 광속이 매우 큰 수이면서 중요한 상수로 자주 나오기 때문에 계산상 편의를 위해서 빛의 속도가 1이 되도록 길이와 시간의 단위를 조정, E=MC²로 에너지와 질량사이의 단위변환이 자주 필요하기 때문에 질량의 단위를 에너지의 단위로 사용한다. 또한 화학이나 양자역학 등에선 kg이 무의미할만큼 작은 스케일을 다루기 때문에 탄소원자의 질량을 12로 놓은 원자단위나, 상대론에서 사용하는 에너지의 단위로 표기한다.[7]

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3. 일상에서 말하는 차원 ¶

사고방식이나 정신 세계의 복잡한 정도를 수학에서 말하는 차원에 빗대어 표현한 것. 차원이 많아지면 측정해야 하는 것이 하나 더 늘어나게 되고, 더 다양한 구조를 띌 수 있게 되며, 하위 차원을 볼 수 있으니 꽤 적절한 비유라고 할 수 있다.

수학에서 말하는 차원대로라면 차원이 높을수록 더 많은 것에 대해 고려하고 더 깊은 생각, 더 기발한 생각을 해야겠지만, 어째서인지 차원의 숫자가 3을 넘어가면 그 사람이 얼마나 비현실적이고 황당한 생각을 하는가를 나타내게 된다. ~~상당히 공학적인 차원을 사는 존재도 있다. 3.141592653차원~~ 그래서 흔히 주변을 보지 못하고 무식하게 앞만 보고 나가는 사람을 1차원적이라고 하지만, 황당한 생각을 자주 하는 사람은 4차원 정신세계를 지녔다고 한다. 4차원 캐릭터보다 더 황당하면 5차원, 그보다 더하면 6차원... 이런식으로 표현하지만, 이미 4차원도 충분히 당황스럽기 때문에 5 이상의 숫자는 잘 등장하지 않는다. ~~사실 있다고 해도 구분하기 힘들텐데 뭐~~