ADD: ray tracing

DigitalImageProcessing/Part1_Filtering.md

@@ -247,7 +247,7 @@ for (int i=0; i < HISTOGRAM_SIZE; ++i )
 - 空间滤波器（模版）：通过特定的方法得到的对应像素的权重集合
 - 线性空间滤波器：执行特定的方法是线性操作的空间滤波器（对于边缘像素的计算结果，根据纹理的环绕方式的不同而不同）
   ![](images/spaceFilter.png)
-空间相关/卷积：滤波器移过图像，计算每个位置乘积之和得出对应像素值的处理方法
+  空间相关/卷积：滤波器移过图像，计算每个位置乘积之和得出对应像素值的处理方法
 
 > 离散单位冲激：包含单个 1 其余都是 0 的函数/矩阵
 

LinearAlgebra/Part2_Quaternion.md

@@ -342,9 +342,11 @@ $$
 
 三次贝塞尔曲线：
 
-![](images/Bezier_3.gif)
+![](images/bezier.gif)
 
-![](images/Bezier3.png)
+![](images/bezier2.png)
+
+![](images/bezier3.png)
 
 插值方式可以用 lerp、Slerp 等方式，上图采用 de Casteljau 算法构造贝塞尔曲线
 上图采用 lerp 方式插值，插值方程为：

LinearAlgebra/Part3_Triangles.md

@@ -252,6 +252,8 @@ $$
 
 根据划分条件的不同，可以采用不同的划分结构
 
+![](./images/spatial_partition.png)
+
 ## 1. 划分条件
 
 ### 1.1 传统划分
@@ -264,11 +266,14 @@ $$
 
 ### 2.1 BVH 划分
 
+划分物体
+![](./images/spatial_partition3.png)
+
 ### 2.2 K-D 树划分
 
 ### 2.3 Uniform Grids 划分
 
-
+![](./images/spatial_partition2.png)
 
 
 

OpenGL/EXT3_Tracing.md

@@ -0,0 +1,129 @@
+[TOC]
+
+
+
+# 一、概率论 Probability
+
+**随机变量** $X$​：可能取很多不同值的变量
+
+**随机变量分布函数** $X \sim p(x)$​​​​​​​：
+连续的分布函数又称**概率密度函数** Probability Density Function(PDF)，指不同概率事件下随机变量和概率的映射关系
+
+某一个随机变量 $x$ 对应的概率 $P$​
+$$
+\begin{align}
+离散：P &= p(x), & dx = 1\\
+连续：P &= p(x)dx \\
+\\
+所有概率和：\sum p(x) &= 1
+\end{align}
+$$
+**均值**：统计所有数据得到的结果
+
+**期望** $E$​​：
+抽取部分数据得到的**平均概率值**，无限接近于均值
+$$
+\begin{align}
+\lim_{x \to \infty} E[X]&= \bar X \\
+离散： E[X] &= \sum _{i=1}^{n} x_ip(x_i)，p(x) \geq 0\\
+连续： E[X] &= \int_1^n xp(x)dx \\
+\\
+对于随机变量X,Y \\
+Y &= f(X) \\
+E[Y] &= E[f(x)] \\
+&= \int f(x)p(x)dx
+\end{align}
+$$
+**方差 Variance**：
+用来度量随机变量和其期望（即均值）之间的**分散程度**，波动越大，方差越大
+$$
+\begin{align}
+Var(x) 
+&= s^2 \\
+&= \sum _{i=1}^n(x_i - \bar x)^2f(x) \\
+&=E((x - \bar x)^2) \\
+&=E(x^2 - 2x\bar x + \bar x^2) \\
+&=E(x^2) - 2E(x \bar x) + E(\bar x^2) \\
+&=E(x)^2 - 2 \sum x \bar x p(x) + \sum \bar x^2 p(x) \\
+&=E(x)^2 - 2 \bar x \sum xp(x) + \bar x^2 \sum p(x) \\
+&=E(x)^2 - 2 \bar xE(x) + \bar x^2 \\
+&=E(x)^2 - 2E(x)E(x) + (E(x))^2 \\
+&=E(x)^2 - (E(x))^2
+\end{align}
+$$
+**协方差**：
+衡量两个变量之间的变化方向关系
+$$
+cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)
+$$
+
+
+# 二、光线追踪 Ray Tracing
+
+优点：真实，多用于离线渲染
+缺点：计算量大
+
+前提：
+
+- **假设**光线近似直线传播
+
+- **假设**光线交叉后仍然互不影响
+
+- 光路可逆：从光源到人眼的路径 == 从人眼到光源
+
+
+
+## 1. Whitted-Style Ray Tracing
+
+方法
+
+1. 从相机出发，向场景投射光线
+2. 将场景进行合理分割，方便快速找到光线与物体的相交点
+3. 判断光线与距离相机最近的地方相交(反射)，在相交处计算物体颜色
+4. 光线会折射多次，在每一次折射点计算颜色值
+   ![](./images/ray_tracing.png)
+
+
+
+## 2. 渲染方程推导
+
+![](./images/ray_tracing_rendering_equation.png)
+
+折射点渲染方程推导：
+
+1. 考虑**自发光物体 Emission** 的光照
+
+2. 考虑多个光源的光照
+
+3. 考虑到面光源，将**累加 sum** 替换为**积分 integral** 更准确
+
+4. 考虑到其他物体反射的光线（**间接光照 inter reflection**）
+
+5. 渲染方程化简
+   $$
+   \begin{align}
+   设:\\
+   E &= L_e(x, \omega_r)\\
+   L &= L_r(x, \omega_r) =L_i(x, \omega_i)\\
+   K &= \int_{\Omega}f(x,\omega_i, \omega_r) \cos \theta_i d\omega_i \\
+   则 \space 渲染方程简化为：\\
+   L &= E + KL \\
+   L - KL &= E \\
+   (I - K)L &= E \\
+   L &= (I - K)^{-1} E \\
+   L &= (I + K + K^2 + K^3 + ...)E \\
+   L &= E + KE + K^2E+ K^3E + ... \\
+   其中：\\
+   直接光照 &= KE \\
+   间接光照 &= K^2E \\
+   二次间接光照 &= K^3E \\
+   ...
+   \end{align}
+   $$
+
+
+
+
+
+# 三、路径追踪 Path Tracing
+

OpenGL/Part0_BaseInfo.md

@@ -493,11 +493,11 @@ std::uint8_t checkViewCut(const glm::vec4& v)
 {
     auto ret = (std::uint8_t)0;
 
-    if 		(v.x < -v.w) ret |= 1;
+    if 		  (v.x < -v.w) ret |= 1;
     else if (v.x >  v.w) ret |= 2;
-    if 		(v.y < -v.w) ret |= 4;
+    if 		  (v.y < -v.w) ret |= 4;
     else if (v.y >  v.w) ret |= 8;
-    if 		(v.z < -v.w) ret |= 16;
+    if 		  (v.z < -v.w) ret |= 16;
     else if (v.z >  v.w) ret |= 32;
 
     return ret;