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@johnny-godoy
johnny-godoy committed Jun 9, 2021
1 parent f763294 commit 65a1b9b
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<li>Clase 13 AM: SVM de margen suave</li>

<li>Clase 13 Funcional:</li>
<li>Clase 13 Funcional: Aplicaciones</li>

<li>Clase 13 Markov: Estudio de recurrencia en marcha aleatoria</li>

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<div created="20210608231709700" list="[[Semestre 7]] [[Clase 13 Funcional: Aplicaciones]] [[Clase 12 Funcional: Más reflexividad y separabilidad]] Pendiente" modified="20210609002417600" title="$:/StoryList">
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<pre>Auxiliar 10 Funcional: Espacios de Hilbert 3</pre>
<pre>Semestre 7</pre>
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<pre>{
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Expand All @@ -17817,7 +17817,7 @@
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<pre></pre>
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<pre></pre>
</div>
<div created="20210402211339700" modified="20210402211621200" tags="Definición" title="AAD" tmap.id="c10def53-e1ab-4329-a99e-8a8bccf8c8d9">
Expand Down Expand Up @@ -22919,7 +22919,7 @@

Más aún, el clasificador estará definido únicamente por algunos datos, por lo cual el desbalance de las clases no es un problema. Los pocos datos que definen el margen se los llama vectores de soporte. </pre>
</div>
<div created="20210520003142000" modified="20210608002326300" tags="[[Análisis Funcional]]" title="Clase 12 Funcional: Más reflexividad y separabilidad" tmap.id="afeb0ecf-5f9f-4276-a614-9fa9e4ac4b24">
<div created="20210520003142000" modified="20210609002415400" tags="[[Análisis Funcional]]" title="Clase 12 Funcional: Más reflexividad y separabilidad" tmap.id="afeb0ecf-5f9f-4276-a614-9fa9e4ac4b24">
<pre>[[21/04/28]]

Se termina la [[Caracterización de Banach separable]], donde sale lo siguiente:
Expand All @@ -22928,6 +22928,38 @@
* [[Caracterización de dual separable]]
* [[Sucesión acotada en espacio reflexivo tiene subsucesión débilmente convergente]]

</pre>
</div>
<div created="20210525204820200" modified="20210531210333300" tags="[[Procesos de Markov]]" title="Clase 12 Markov: Relación recurrencia con medida invariante" tmap.id="4fd8b73d-3e46-4e93-a166-fd99e0143c89">
<pre>[[21/04/29]]

Recordamos que en la clase anterior se vió la [[Existencia de estado recurrente positivo]], y en esta se demuestra.

Para esto, se ven las [[Propiedades de número esperado de visitas a i antes de volver a k]].

Como conclusión, se tiene que [[Recurrencia nula implica existencia de medida invariante infinita]]</pre>
</div>
<div created="20210509025919200" modified="20210510123745000" tags="[[Programación Lineal Mixta]]" title="Clase 12 PLM: Caras 2" tmap.id="9bff4909-1ad4-4780-a2a7-908ff3512c78">
<pre>[[21/05/07]]

[[Pendiente]]

Se termina de demostrar el [[Teorema de caracterización de caras]], y luego se ven más cosas que no entran en el control. </pre>
</div>
<div created="20210512123340400" modified="20210512132100900" tags="[[Aprendizaje de Máquinas]]" title="Clase 13 AM: SVM de margen suave" tmap.id="84e3dd56-7f9f-47ab-a402-81fcfc101a50">
<pre>[[21/05/12]]

Hay dos principales problemas de SVM visto:

# Los datos no siempre son linealmente separables, por lo que puede ser un problema infactible

#Incluso si los datos son linealmente separables, el clasificador puede ser muy sensible a nuevos datos.

Para el segundo problema (y parcialmente la primera) se pueden introducir variables de holgura, y el nuevo problema se llamará [[SVM de margen suave]]</pre>
</div>
<div created="20210520003125400" modified="20210609002501700" tags="[[Análisis Funcional]]" title="Clase 13 Funcional: Aplicaciones" tmap.id="ac0c282a-caae-4633-94ff-4439a33ab517">
<pre>[[21/04/03]]

!!Aplicaciones

La importancia de estos resultados nace de sus aplicaciones en EDP.
Expand All @@ -22942,63 +22974,56 @@

Donde $$K$$ es un compacto y $$n\in\N$$. Así, se tiene la distancia asociada $$p_{K, n}(f-g)$$. De esta forma, se pensará en la convergencia dada por esta seminormas.

Uno nota que $$f_m\to g$$ implica justamente que $$f_{m}^{(j)}$$ converge uniforme a $$g^{(i)}$$ en $$K$$.
Uno nota que $$f_m\to g$$ implica justamente que $$f_{m}^{(j)}$$ converge uniforme a $$g^{(i)}$$ en todo compacto $$K$$.

Luego, considerar la topología dada por la siguiente base de vecindades del 0:
Para generar la topología, podemos considerar un conjunto numerable de seminormas, tomando solamente $$K = [-M, M], M\in \N$$, y $$n=M$$. Así, se define:

\[
V_{K, n}:= \{f\in C(\R)^\infty: p_{K, n}(f)\leq \epsilon\}
p_n := p_{[-n, n], n}
\]

Esta topología será interesante de estudiar, y forma un evt, pero no un evn. Podemos más aún considerar un conjunto numerable de seminormas, tomando solamente $$K = [-M, M], M\in \N$$, y $$n=M$$. Así, se define:
De forma que se considera su [[Topología inducida por funciones]], donde hay una base numerable de vecindades del 0 dada por:

\[
\hat p_n = p_{[-n, n], n}
V_{n, k} = \left\{f\in C(\R)^\infty: p_n(f)\leq \frac{1}{k}\right\}
\]

Para poder escribir:
La simplificación de la base ocurre por $$p_N(f)\leq \epsilon \implies p_{N+1}(f)\leq \epsilon$$.

\[
V_{n} = \{f\in C(\R)^\infty: \hat p_n(f)\leq \epsilon\}
\]
Esta topología es un evt Hausdorff [[Ejercicio Pendiente]]. Para lo segundo, notar que si $$f\neq g$$, entonces existe algún $$N$$ suficientemente grande tal que $$p_N(f-g)\neq 0$$, de forma que las vecindades de cualquier $$f\in C^\infty$$ son de la forma $$f+V_{n, k}$$

La cual sí es metrizable vía:
Más aún, es metrizable vía:

\[
d(f, g) = \sum_{n\in\N} \frac{\hat p_n(f-g)}{2^n(1+\hat p_n(f-g))}
\]</pre>
</div>
<div created="20210525204820200" modified="20210531210333300" tags="[[Procesos de Markov]]" title="Clase 12 Markov: Relación recurrencia con medida invariante" tmap.id="4fd8b73d-3e46-4e93-a166-fd99e0143c89">
<pre>[[21/04/29]]

Recordamos que en la clase anterior se vió la [[Existencia de estado recurrente positivo]], y en esta se demuestra.

Para esto, se ven las [[Propiedades de número esperado de visitas a i antes de volver a k]].
d(f, g) = \sum_{n\in\N} \frac{1}{2^n}\frac{p_n(f-g)}{1+p_n(f-g)}
\]

Como conclusión, se tiene que [[Recurrencia nula implica existencia de medida invariante infinita]]</pre>
</div>
<div created="20210509025919200" modified="20210510123745000" tags="[[Programación Lineal Mixta]]" title="Clase 12 PLM: Caras 2" tmap.id="9bff4909-1ad4-4780-a2a7-908ff3512c78">
<pre>[[21/05/07]]
No es demostrará que es la misma topología, porque es idéntica [[Caracterización de Banach separable]].

[[Pendiente]]
Es claro que $$d(f, g)\geq 0$$. Más aún:

Se termina de demostrar el [[Teorema de caracterización de caras]], y luego se ven más cosas que no entran en el control. </pre>
</div>
<div created="20210512123340400" modified="20210512132100900" tags="[[Aprendizaje de Máquinas]]" title="Clase 13 AM: SVM de margen suave" tmap.id="84e3dd56-7f9f-47ab-a402-81fcfc101a50">
<pre>[[21/05/12]]

Hay dos principales problemas de SVM visto:
\[
\begin{aligned}
d(f, g) = \sum_{n\in\N} \frac{1}{2^n}\frac{p_n(f-g)}{1+p_n(f-g)} &amp;= 0\\
\implies \forall n\in\N: p_n(f-g) &amp;= 0\\
\implies \forall n\in\N: \sup_{x\in [-N+1, N+1]}|(f-g)(x)|&amp;=0\\
f&amp;=g
\end{aligned}
\]

# Los datos no siempre son linealmente separables, por lo que puede ser un problema infactible
Para la desigualdad triangular, hay que observar que $$p_n(f-g)\leq p_n(f-h) + p_n(h-g)$$. Luego, por crecencia de $$\frac{x}{1+x}$$ es creciente, se tiene:

#Incluso si los datos son linealmente separables, el clasificador puede ser muy sensible a nuevos datos.
\[
\begin{aligned}
\frac{p_n(f-g)}{1+p_n(f-g)} &amp;\leq \frac{p_n(f-h) + p_n(h-g)}{1+p_n(f-h) + p_n(h-g)}\\
&amp;= \frac{p_n(f-h) }{1+p_n(f-h) + p_n(h-g)} + \frac{ p_n(h-g)}{1+p_n(f-h) + p_n(h-g)}\\
&amp;\leq \frac{p_n(f-h) }{1+p_n(f-h)} + \frac{ p_n(h-g)}{1 + p_n(h-g)}\\
\end{aligned}
\]

Para el segundo problema (y parcialmente la primera) se pueden introducir variables de holgura, y el nuevo problema se llamará [[SVM de margen suave]]</pre>
</div>
<div created="20210520003125400" modified="20210520003238900" tags="[[Análisis Funcional]]" title="Clase 13 Funcional:" tmap.id="ac0c282a-caae-4633-94ff-4439a33ab517">
<pre>[[21/04/03]]
Como esto es cierto para cada $$n\in \N$$, se tiene en total de igual forma. Ahora, se quiere ver la completitud.

[[Pendiente]]</pre>
Por último, esta topología sigue la propiedad de Heine–Borel.</pre>
</div>
<div created="20210531175920300" modified="20210531232304300" tags="[[Procesos de Markov]]" title="Clase 13 Markov: Estudio de recurrencia en marcha aleatoria" tmap.id="41092c06-39a6-433a-bec4-9e707e5efa12">
<pre>[[21/05/04]]
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