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 ### 证明
 
- $x^2 \equiv n \pmod p$ ，如果存在不同的数 $u$ 和 $v$ 使它们代入方程后有解，也就是 $u^2 \equiv v^2\pmod p$ ，显然满足 $u^2-v^2\mid p$ ，那么就有 $(u-v)\cdot (u+v)\mid p$ 并且 $p$ 不是 $(u-v)$ 的倍数，所以 $(u+v)\mid p$ ，这样的数对在 $p$ 中可以找到 $\frac{p-1}{2}$ 个。
+ $x=0$ 对应了 $n=0$ 的特殊情况，因此我们只用考虑 $x \in [1,\frac{p-1}{2}]$ 的情况。
+
+一个显然的性质是 $(p-x)^2 \equiv x^2 \pmod p$ ，那么当 $x \in [1,\frac{p-1}{2}]$ 我们可以取到所有解。
+
+接下来我们只需要证明当 $x\in[1,\frac{p-1}{2}]$ 时 $x^2 \bmod p$ 两两不同。
+
+运用反证法，假设存在不同的两个整数 $x,y \in [1,\frac{p-1}{2}]$ 且 $x^2 \equiv y^2 \pmod p$ ，
+
+则有 $(x+y)(x-y) \equiv 0 \pmod p$ 
+
+显然 $-p<x+y<p,-p<x-y<p,x+y \neq 0,x-y \neq 0$ ，故假设不成立，原命题成立。
 
 ## 勒让德符号