Update 11.5.md

C11-Hash-Tables/11.5.md

@@ -5,14 +5,23 @@ Suppose that we insert n keys into a hash table of size m using open addressing
 
 ### `Answer`
 下面采用数学归纳法证明p(n,m) ≤ e^((-n(n-1))/2m)，1≤n≤m：
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 1).当n=1时，因为只有一个关键字不会有冲突，所以p(1,m)=1 ≤ e^((-1(1-1))/2m) = 1成立;
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 2).假设n=k时，p(k,m) ≤ e^((-k(k-1))/2m),k < m-1成立。
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   因为第k+1个关键字的探查序列等可能为0,1,…,m-1的所有排列中的任何一种，所以第k+1个关键字的探查序列的第一个探查位置h(k+1,0)等可能为0,1,…,m-1中的任何一个。故在前k个关键字无冲突的条件下，第k+1个关键字的探查序列的第一个探查位置，h(k+1,0)不与前面的k个关键字中的任何一个关键字冲突，那么这k+1个关键字也没有冲突。
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   所以，p(k+1,m) = p(k,m)*(m-k)/m 
+
                  ≤ e^((-k(k-1))/2m)*(1-k.m)
+                 
                  ≤ e^((-k(k-1))/2m) * e^(-k/m)
+            
                  = e^((-(k+1)k)/2m)
+                 
 即p(k+1,m) = e^((-(k+1)k)/2m)。
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 3)综上，p(n,m) ≤ e^((-n(n-1))/2m)，对于1≤n≤m成立。