- 개요
- 수학에서의 군론
2.1. 군과 대수학
2.2. 군과 기하학
2.2.1. 대칭구조와 격자
2.2.2. 연속군
2.2.3. 군의 표현
2.3. 군과 위상수학
2.4. 군과 정수론(?)
2.5. 관련 항목
- 물리학에서의 군론
3.1. 좌표변환과 군
3.2. 물리법칙과 대칭성
- 화학에서의 군론
4.1. 군이 될 조건
4.2. 자주 사용되는 대칭 조작
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군(群, group)
두 원소의 연산인 이항연산(binary
operation)이 주어진 수학의 기본적인 대수적 구조이다. 엄밀하게 말하면 집합 G의 이항연산 * [1] 이 다음 조건을 만족할 때
- 결합법칙 : 임의의 a, b, c∈G에 대해 a*(bc)=(ab)*c가 성립한다.
- 항등원 : 임의의 a∈G에 대해 ae=ea=a인 e∈G가 존재한다.
- 역원 : 임의의 a∈G에 대해 a*a'=a'*a=e인 a'∈G가 존재한다. G와 연산의 쌍 (G, *) 을 군이라 한다. 여기에
#. (교환법칙)임의의 a, b∈G에 대해 ab=ba가 성립한다.
까지 만족시키면 가환군(abelian group)이라 부른다.[2]
많은 상황에서 군은 대상들의 변환을 서술하는 도구로 사용된다. 군의 원소 각각이 집합 X의 원소들을 섞어 놓을 때, 즉 집합 X의
일대일대응 함수라고 생각할 수 있을 때, 이를 군의 작용(group action)이라 한다. [3]
예를 들어서 "정육면체의 면에 n가지 색을 칠하는 방법의 개수는? 단 돌렸을 때에 같은 것은 같다고 한다." 같은 문제를 생각해 보자.
'정육면체를 돌리는 법'의 집합을 생각하고, 연산을 변환의 합성 (즉 한번 돌리고 다른 방법으로 돌리는 것) 으로 정의하면 이것은 군이
되고, 이 문제도 따라서 군론의 관점에서 접근할 수 있다. [4] 이와 비슷한 예로 루빅스큐브의 조작들을 군이라 할 수 있다.
다른 예로 일차변환 중 행렬식이 0이 아닌 가역변환은 군을
이루고, 이들은 벡터공간 Rn 에 작용한다고 볼 수 있다. (애초에 일차변환의 정의가 Rn -> Rn 의 함수이므로.) 이 일차변환 중
강체운동(rigid motion)만을 생각한다면 이를 유클리드 기하학이라
볼 수 있는 것.
물리에서 군론은 매우 중요하게 사용되는데, 헤르만 바일(Hermann Weyl)이나 에미 네터(Emmy Noether) 등에 의해 물리학의 보존법칙(운동량 보존, 에너지 보존 등등)이 항상 변환에 대한 불변성으로 해석될 수 있음을 보인 이후이다. 이 '변환에 대한 불변성'은 일반적으로 대칭성이라 불리우고, 현대물리학의 거의 모든 분야의 화두가 된다.
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학부대수학에서의 군은 가장 간단한 대수적 구조로서의 의미를 갖지만, 군은 '변환'과 '대칭'으로 생각될 수 있는 모든 것을 설명하는 강력한 도구로서의 의미가 더 강하다. 여기서는 군론의 구체적인 내용보다는, 수학의 다양한 분야에서 군이 사용되는 예들을 설명한다.
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2.1. 군과 대수학 ¶
역사적으로 군이 처음 등장한 것은 19세기에 프랑스의 수학자 갈루아가
n차방정식의 일반해가 존재할 조건을 군론을 이용하여 제시하면서이다. 여기서 등장한 갈루아 군(Galois group)의 개념은,
간단히 말하면 방정식의 근들의 대칭을 묘사하는 군이다. 예를 들어서 이차방정식 x^2 - 2 = 0 의 근 √2와 -√2는 (유리수
위에서는) 연산을 보존하며 서로 바꾸어 쓸 수 있고, [5] 따라서 이 두 근의 치환군을 이 방정식의 갈루아 군이라 할 수 있다. 갈루아
이론의 내용은 갈루아 군의 성질을 탐구함으로서 방정식의 성질을 알아낼 수 있다는 것이고, 방정식의 일반해가 존재하지 않는다는 것은[6]
그 갈루아 군이 가해성(solvability)이라는 군론의 성질을 만족하지 않음과 동치라는 것이다.
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2.2. 군과 기하학 ¶
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공간의 주어진 도형의 모양을 유지하는 조작을 도형의 대칭군(group of symmetry, symmetry group)[7]이라
한다. 예를 들어서 평면에서 정사각형의 대칭군은 0도, 90도, 180도, 270도 회전의 4가지 회전과, 4개의 대칭축에 대한 선대칭의
8개의 조작으로 이루어져 있다. 2차원 공간의 대칭군 중 격자의 대칭을 따지는 벽지무늬 군(wallpaper group)은
쪽매붙임(테셀레이션, tessellation)을 빠짐없이 분류하는 데에 쓰인다. 3차원 공간의 대칭군은 공간군(space
group)이라는 이름을 갖고 있고, 아래 소개할 화학에서의 분자구조 및 결정구조 등을 따지는 데에 응용이 된다. 하지만 대칭군의 진가는
4차원 이상의 그릴 수 없는 대상들을 군론의 지식을 통해 분석하는 데에 있다.
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이제까지 살펴본 대칭군들은 이산적(discrete)이었지만, 우리는 연속적인 대칭도 생각할 수 있다. 공간 그 자체의 대칭, 즉 유클리드
공간의 모든 강체운동을 모두 모은 대칭군을 직교군(orthogonal group)이라 한다. 공간에서 거리라는 요소마저 무시한다면, 이 때의
대칭군은 벡터공간의 가역 선형사상을 모두 모은 general linear group이
된다. 이러한 연속적인 군을 통틀어 리군(Lie group)이라고 한다.[8]``[9]
선형대수학의 사고방식으로 본다면 리군은
보통 행렬들의 군이 된다.
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군이 벡터공간에 선형사상으로서 작용하는 것을 표현(representation)이라 한다. 대칭군들은 공간의 선형사상 그 자체이므로 이는
자연스런 표현이 되지만, 공간 자체 뿐만이 아니라 공간의 여러 요소들에도 작용하므로 이는 다양한 종류의 표현을 동반한다. 그리고 추상적으로
같은 군이 다른 공간에 상이한 방식으로 작용할 수도 있다. 따라서 군의 가능한 모든 표현들을 분류하는 표현론(representation
theory)이 중요해진다. 현대의 표현론은 다양한 유한군과 리군들의[10] 모든 표현을 빠짐없이 분류하는 데에 성공하였고, 이는 물리나
화학에서 공간의 대칭군을 생각할 때 아주 중요한 내용이다.
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2.3. 군과 위상수학 ¶
위상수학(topology)은 간단히 말하자면 도형들을
연속적으로 (마치 고무판 위에서처럼) 변형시켰을 때 불변하는 대상들을 연구하는 기하학의 분야이다. 이 불변량들의 상당수는 군으로 나타나지고,
군론을 사용하여 이들을 연구하는 것을 대수적 위상수학이라 한다. 자세한 것은
위상수학 항목을 참고.
그리고 사실 위상군이란 것도 있다.
[[edit](http://rigvedawiki.net/r1/wiki.php/%EA%B5%B0%EB%A1%A0?action=edit§ ion=9)]
2.4. 군과 정수론(?) ¶
모듈러 군(modular group)이란 행렬식이 1인 2*2 정수행렬의 군을 말한다. 얼핏 봐서는 이게 뭐가 중요하냐는 생각이 들겠지만, 이 군은 평면 격자의 대칭군이다. 마치 수직선 위의 주기함수가 푸리에 해석에 의해 정수군의 표현과 관련을 맺고 있듯이, 격자에 대한 주기함수로 생각될 수 있는 모듈러 형식(modular form)은 모듈러 군의 표현을 묘사한다. 뜻밖에도 이 모듈러 형식은 타원곡선 같은 현대정수론의 수많은 곳에 똑같은 형태로 나타나는 중요한 대상이다. 비록 복소수 위의 타원곡선이 격자에 바탕해 만들어지긴 하지만, 모듈러 형식과 관련있는 것은 이와 전혀 관련없는 타원곡선의 정수해라는 사실은 상당히 의미심장하다.
물론 대부분의 독자들은 이해하기는 힘들겠지만, 하여튼간 다 알거 없고, 그 유명한 페르마의 마지막 정리 의 대미를 장식하는 이론이라고만 해도 충분할 것이다.
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여기서 몇몇의 낯선 용어가 정확한 정의 없이 나올 것이나, 신경 쓰지 말고 일독하면 좋겠다.
"군과 표현"이라는 말을 보고, 군이 어떤 물체나 공간의 대칭성에 관계하는 개념이라는 것을 알고 있어도, 군이나 그 표현이라고 불리는 것이 어떤 역할을 하는가 의문을 가진 사람도 적지 않을 것이라고 생각한다.
그러나 군의 표현이라는 말은 나오지 않아도 그 개념은 대학1학년의 역학이나 전자기학에 있어서도 때때로 사용되고 있었다. 또한 양자역학을 배우게 되면, 군의 개념은 빠트릴 수 없을 정도로 중요하게 된다. 그러나 통상의 대학 커리큘럼에서 주로 양자역학의 강의에서, 필요에 의해 대칭군이나 회전군의 개념과 그 응용 예를 배우는 정도로 끝나는 경우가 많다.
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여기서는 일단 군 및 군의 표현이라고 불리는 것들이 어떻게 이공학에 들어와 있는지, 어떤 편리함이 있는지 구체적인 예를 들어 설명하고자 한다. 그것이 다소라도 독자의 학습의욕을 높인다고 생각했기 때문이다.
일단 고전역학에서, 물체의 질량은 스칼라 양이며, 위치, 속도, 가속도 혹은 운동량은 벡터 양이라고 배운다. 벡터 양v는, 크기와 방향을 가진 양, 혹은 직교좌표를 사용해 표현한다면 v의 각 좌표성분을 이용해 v=(v1,v2,v3) 와 같이 표현한다. 벡터의 성분은 어느 좌표계에 비춰 결정했는가에 의해 달라진다. 질량m의 물체에 힘F가 작용하는 경우, 뉴턴의 운동방정식은 그 물체의 속도를 v라고 했을 때
m*(dv/dt)=F
이라고 표현된다. 이 경우, 힘 F또한 벡터 양이다. 벡터 양이라면 그것을 비춰보는 좌표계를 잡는 방법에 의해, 그 성분은 달라진다. 그러나 좌표를 다르게 잡는다고 할 때 벡터의 각 성분의 변환의 방법은 정해져 있으며, 그것이 가속도라든가 힘이라든가 에는 의존하지 않는다. 이것이 운동방정식을 m*(dv/dt)=F 처럼 표현하는 것을 가능하게 한다. 즉, 방정식의 양변은, 하나의 좌표에서 다른 좌표, 예를들어 어느 축의 주위를 일정각도 회전시킨 좌표에 이동시켜 운동을 관측한다고 할 때 양변은 같은 형태의 변환법칙을 따르지 않으면 의미가 없다. 이것을 군의 용어로 말한다면, 가속도와 힘은 좌표에 회전에 대해서 동일한 표현에 속한다, 라고 말하는 것이 된다.
회전군의 표현의 종류는, 스칼라와 벡터뿐만 아니라 무한이 있다. 뉴턴의 운동방정식은 마침 양변이 벡터 양으로 주어져 있다. 한편 힘의
종류에는 벡터힘 이외에도 응력과 같은, 텐서힘 등으로 불리는 힘도 있다.
텐서도 한 종류의 표현을 가리키는 말이다. 텐서힘은 벡터와는 다른 변환성을 나타내므로,
운동방정식에는 관여하지않는 것일까. 가속도는 벡터이므로 운동방정식의 우변 또한 벡터이지 않으면 안되는 사실로부터 위에서 서술한 대로다.
실제로는 몇 개인가 텐서힘이나 벡터힘이 서로 얽혀 또 하나의 벡터 양을 만드는 경우가 있어, 그때 운동방정식의 우변의 힘F는 다양한 포현을
합성하여, 벡터양이 구성되는 경우에 한해, 뉴턴의 운동방정식과의 관계를 가진다. 이렇듯, 다양한 표현을 몇 개인가 이용하여, 어느 특정한
표현(위의 예시에서는 벡터)를 합성하는 방법도 군론에서 배우는 중요한 사항이다.
군의 개념의 도입에 의한 또 하나의 특징은, 사고나 계산의 간소화에 있다. 예를들어 시간변화하는 2개의 벡터양 A와 B가 서로
관계하는 역학계가 있다고 하자. A와 B는 서로 벡터양이므로, 각각이 3개의 성분, 합계 6개의 독립의 양을 가진다. 2개의
벡터 사이에 상호작용이 있으면, 6개의 변수 사이에 복잡한 관계가 생긴다. 그러나 A와 B의 성분은, 좌표계를 어떻게 잡는가에
의해 다른 값을 취하나, 역학적인 성질은 좌표계를 잡는 방법과는 본래 관계하지 않을 터이다. 예를들어 A의 크기 A, B의
크기 B, A와 B의 스칼라곱 A∙B는 전부 스칼라 양이므로 좌표계를 잡는 방법에 의존하지 않는다. 그러므로
좌표계를 잡는 방법은 3개의 변수를 정할 필요가 있다. 따라서 위에서 정한 3개의 스칼라 양의 시간변화를 안다면 남은 3개는 좌표계를 정하는
방법을 정하는 변수이며, 이 역학계의 본질적인 성질은 모두 정해지는 것이 된다.
여기서 든 예는 특별히 군론을 사용한 것은 아니지만, 역학의 기술에 있어 유효한 스칼라 양이라고 하는, 회전군에 표현에 속하는 양을 예로
꺼낸 것이다.
역학계가 복잡하게 되면, 그 역학계의 군론적특성의 이해는, 가장 편한 역학변수를 정해낼 수 있도록 하고, 계산의 간소화뿐 만 아니라 그 계의
본질적인 특성을 끄집어 내는 큰 힘이 되어준다.
이상으로 갑자기 회전군이라고 하는 연속 파라메터(회전군의 방향이나 회전각의 크기)를 포함하는 예를 들었으나, 좀 더 단순한 경우도 있다. 2원자분자, 예를들어 수소분자 H2나 산소분자 02는, 각각을 구성하고 있는 동일의 2개의 원자핵과 그 주변을 휘감고 있는 몇 개의 전자로 구성되어 있다. 이것들의 경우, 2개의 원자핵을 교환하는 가상적인 조작을 행했다고 하자. 2개의 동일물을 교환하는 조작은, 어떤 치환도 없는 조작을 포함하여 2차의 대칭군이라고 하는 가장 단순한 군을 구성한다. 이 대칭군의 대해서는 2개의 기약표현만 존재한다. 이것으로부터, 수소분자의 파동함수는, 이 기약표현의 대응하여 모든 상태가 대칭상태 혹은 반대칭상태로 분류할수 있음을 방정식을 풀지 않아도 보증할 수 있다. 원자, 분자의 대칭성이 좀 더 복잡하게 되며, 군의 표현의 지식은 물리적 성질의 이해나 계산의 능률화에 매우 쓸모있다.
이것들의 예로부터 알수 있듯이, 역학계(혹은 수학적관계식)이 어떤 군의 대칭성을 가지고 있는 경우, 그것이 등장하는 역학양은 모두, 그 대칭성을 만드는 군의 어느 포현에 소속하고 있어야만 한다. 이 사실을 의식적으로 이용하는 것으로써, 역학계의 특성을 이해하거나, 계산의 합리화를 목표하는 것이 응용군론의 목적이다.
또 하나의 문제는, 다루고 있는 군의 종류의 문제이다. 원자나 분자의 양자역학적 성질의 문제에 대해서는, 위에서 든 예로부터 알수 있듯이, 공간의 회전군이나 대칭군등을 포함하는 유한군이 유용할 것이다. 결정내의 전자를 다룰 때에는, 흔히 말하는 격자군이나 공간군이 중요한 역할을 한다.
회전군과 같이 연속적인 파라메터(회전각 쎄타 등)를 가지는 군을 연속군이라고 한다. 우리들이 살고 있는 공간이(적어도 우리들의 근방에서)
유클리드공간이므로, 3차원공간군 SO(3) 혹은 그것과 관계가 깊은 2차원 유니터리 리군SU(2)이 가장 중요한 역할을 하는
것은 틀림없다.
물리적대상을 내포한 공간의 기인하는 군이라고 한다면, 회전군뿐만 아니라 당연 로렌츠군도 매우 중요하다.
군론을 파고들수록, 4차원 혹은 그 이상의 고차원의 공간의 회전군등은 직접 응용에 연관이 없어보이지만, 실은 그렇지 않다. 예를들어 n개의
기본입자부터 구성되는 양자역학계가 있다고 하자. 양자역학에서 각각의 입자가 파동함수 파이i(i=1,2,…,n)로 기술된다.
고전역학에서는 잘해야 n개의 입자입자를 교환하는 n차대칭군Sn이라고 불리는 유한군으로 그 역학계의 성질을 특징잡을 뿐이지만,
양자역학에 있어서는 중첩원리라는 성질에 의해 n개의 파동함수에 복소수 Mij를 곱해 만든 상태< 파이i=시그마(j=1부터
M까지)Mij파이j (i=1,2,…,n) >이 처음의 상태 파이i(i=1,2,…,ㅜ)과 동등하다고 여겨지는 경우가
있다. 이 경우 Mij는 n행n열의 유니터리행렬이나 회전행렬로 잡아서 SU(n)이나 SO(n)이라고 불리는 연속군의 대칭성을 가지는
역학계가 만들어진다. 예를들어 쿼크모형이라고 불리는 소립자모형에서는, SU(3), SU(5), SU(10)등이
이용된다. 이렇듯, 공간의 성질에 관련하지 않아도 물리계의 구성요소의 수에 의해 고차의 군이 응용되어지는 경우가 있다. 또한,
양자역학계에서는 그 역학계특유의 대칭성이 감추어져 존재하는 경우도 있다. 이러한 경우도, 3차원 공간의 회전군보다 고차의 군이 이용되는 예가
있다.
[[edit](http://rigvedawiki.net/r1/wiki.php/%EA%B5%B0%EB%A1%A0?action=edit§ ion=13)]
위에 짤막하게 언급했던 바일과 네터가 증명한 것은, 임의의 보존법칙에 대해 그 보존량을 불변량으로 갖는 군이 존재한다는 것이다. 대표적인 예로 운동량 보존법칙은 갈릴레이 좌표변환의 군에 대한 보존량. 또한 심심하다면 공간의 평행이동과 회전이동에 대한 대칭성을 만족하는 군중 하나가 특수상대성 이론이라는 것의 유도가 가능하기도 하다.
이에 기초해서 양자역학과 소립자 이론을 세울 때 추상적인 군과 대칭을 생각하고, 여기에서 파생되는 문제 중 하나가 양-밀스 질량 간극 가설이다. 자세한 것은 추가바람.
[[edit](http://rigvedawiki.net/r1/wiki.php/%EA%B5%B0%EB%A1%A0?action=edit§ ion=14)]
화학의 4대축중 하나인
물리화학에서
양자화학을 다루고 있기 때문에 화학도 생들도 군론을 접할
수 있다.[11] 다만, 물리학이나
수학에서만큼 깊고 전문적으로 배우지는 않고 주로 응용을 위한 간단한 계산과정을 배운다고 할
수 있겠다. 응용 분야는 크게 두 가지로 나뉜다.[12] 첫째로는 분자가 갖는 여러 대칭성을 조합하여
분자의 다양한 성질을 유추하는 데 사용된다. 예를 들면 물분자의 대칭이 어떻게 만들어 질수
있는 지 알아보고 그것을 통해 어떤 진동 운동을 할 수 있을지 예측해 보는 것이라고 할 수 있겠다. 두번째 응용으로는 바탕함수[13]로
이루어진 바탕집합들을 1차 결합하여 분자 오비탈 이론을 정성적으로 설명하는
데에 있다.[14] 화학도들에게 중요한 점은 양자역학의
적분값을 계산하지 않고도 여러 내용[15]을 추론 할 수 있다는 점이다! 이게 왜 중요하냐면,
화학도생들은
선형대수학과
미분방정식[16]``[17]을 안배우는
경우가 많기 때문에 적분값을 못구하는 경우가 많기 때문이다.---하지만 군론도 생소해서 어렵고, 어렵기 때문에 포기하는 사람이 있다
[[edit](http://rigvedawiki.net/r1/wiki.php/%EA%B5%B0%EB%A1%A0?action=edit§ ion=15)]
1. 군에 포함된 원소들의 'product'는 다시 그 군에 포함되어야 한다.
2. 항등원에 해당하는 'identity element'가 존재한다.
3. 결합법칙이 성립한다.[18]
4. 모든 원소는 역원에 해당하는 'reciprocal element'를 가진다.
5. 화학과에서는 space group은 안따진다. point group만 신경쓰자.
[[edit](http://rigvedawiki.net/r1/wiki.php/%EA%B5%B0%EB%A1%A0?action=edit§ ion=16)]
1. E : 특별한 대칭없이 그 상태 자체에 따른 조작
2. Cn : 축을 중심으로 2π/n 으로 회전하였을 때에도 대칭을 유지하는 조작
3. σ(h, d, v) : 평면을 중심으로 대칭하는 조작(h는 주축에 수직하는 평면, v는 주축과 원소를 포함하는 평면, d는 주축을
포함하며 원소를 이등분하는 평면)
4. Sn : 축을 중심으로 2π/n으로 회전하고 축에 수직하는 평면에 대칭할 때 대칭성을 유지하는 조작
\----
[1]두 원소 a와 b에 대해 g의 원소 a*b를 대응시키는 것. 엄밀히 말하면 G×G -> G 의 함수[2]위의 정의 중 부분만을 만족시키는 대상들에 대해 반군(1만을 만족), 모노이드(1, 2만을 만족) 등의 이름이 있다. 여기서 교환법칙이 추가되면 '가환~'을 붙여 부른다.[3]정의는 다음과 같다: 함수 G×X -> X, (g,s)->gs가 (1) g가 고정되어 있을 때 s에 대한 일대일대응이고 (2) a(bs) = (ab)s을 만족해야 한다. 또는 G에서 대칭군 SX 로 가는 준동형사상으로 생각해도 좋다.[4]군론을 배운 위키러들이라면, 자세한 것은 번사이드 보조정리http://ko.wikipedia.org/wiki/번사이드_보조정리 를 참고하기 바란다.[5]이는 중/고등 과정에서 이차방정식의 켤레근의 개념과 관련있다. 실은 켤레근도 갈루아 이론에서 온 단어로, (고차방정식의) 일반적인 켤레근의 정의는 갈루아 군으로 치환될 수 있는 복수의 근들이 된다.[6]정확히는 사칙연산과 제곱근호로 근을 나타낼 수 없다는 것도[7]치환의 군인 대칭군(symmetric group)과 영어 철자는 다르지만, 번역은 똑같이 된다. 문맥에 따라 구분하자.[8]거짓말 군이 아니라노르웨이 수학자 Sophus Lie의 이름을 따왔다. 아주 엄밀히 말하면 리군의 정의는 미분다양체인 군이지만, 여기서는 신경쓰지 않아도 좋을 것 같다.[9]참고로, 중국어로는 李群이라고 한다.이씨 수학자가 만든 이군[10]엄밀히는 반단순(semisimple) 리군들의[11]하지만 물리화학에서 배우기 보다 무기화학을 배우면서 알기 시작한 경우가 많다. 왜냐면,물리화학 앞부분 진도 빼기도 빠듯하고,무기화학에서 리간드 장 이론을 이해하는 데에 필수적이기 때문..[12]이공학을 위한 무기화학 강의 참조[13]분자의 내용을 반영하는 함수[14]분자 오비탈 이론이 얼마나 중요한지는 두말하면 잔소리라고 할 수 있다. 분자 오비탈 이론을 통해 분광학에서 보이는 스펙트럼을 설명하기도 하고, 무기화학에서 리간드장 이론을 설명하기도 한다.[15]예를 들면, 물의 ground state으로부터 1st excited state으로의 전자전이가 허용되었나 금지되었나? 허용되었다면 빛의 전기장 방향은 어느 방향으로 배위되어 있어야 하나?[16]혹은 공업수학[17]하지만 오히려 군론을 배우는 데에는 선형대수학의 지식을 요하는 것같다.[18]교환법칙은 성립하지 않는다.