普通に学ぶ解析力学

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この講義ノートについて

これは、大学の学部二年生もしくは三年生向けの解析力学の講義ノートとして書かれたものである。特に奇をてらった箇所はなく、一年生で学んだ力学の復習から始まり、ラグランジアン、ハミルトニアンから変分原理により運動が支配される様子を学ぶ。講義の目的は、変分原理により運動方程式が導かれること、運動方程式を解かずともラグランジアン、ハミルトニアンから運動の様子がわかることを理解し、量子力学であらわれるハミルトニアンの準備をすることである。

この講義ノートは教員向けに書いてある。すなわち、黒板に数式や図を書いていくためのノートである。したがって、式番号などは存在しない。式は原則として上から順番に書いていくことを想定している。無論、学生が自習のために用いることは妨げない。

解析力学は多自由度系でこそ真価を発揮するが、和記号が乱舞すると式変形の本質を追えなくなることを恐れて、なるべく一次元の物体の運動、すなわち一自由度系で議論を構築する。ただし、多変数の扱いが重要であると思われる箇所では多自由度系も扱う。

はじめに

• なぜ解析力学を学ぶのか

解析力学の外観

• 式の見方について
• 解析力学の概観

数学的準備

• ベクトルとスカラー
• 微分と偏微分
• ベクトル解析
• 全微分と内積
• 余談：ダッシュかプライムか

ニュートンの運動方程式

• ニュートン力学
• 座標変換と運動方程式の共変性
• 保存則
• 余談：リンゴに働く力

仮想仕事の原理

• 仕事
• 拘束力と仮想変位
• 仮想仕事の原理
• 余談：雑草の名前

ハミルトンの原理

• ダランベールの原理
• ラグランジアンとハミルトンの原理
• ラグランジアンと運動方程式
• 余談：り歩きする格言たち

変分原理

• 汎関数微分
• オイラー・ラグランジュ方程式
• ラグランジュの未定乗数法
• フェルマーの原理
• 余談：最後に去るものからの手紙

ラグランジュ形式の力学

• ラグランジアン
• 一般化座標と一般化速度
• 点変換

ハミルトン形式の力学

• 一般化運動量とハミルトニアン
• ルジャンドル変換
• 余談：双対変換

位相空間とリュービルの定理

• 位相空間
• リュービルの定理
• 余談：理論の正しさ

正準変換

• 正準変換
• 母関数

ポアソン括弧

• ポアソン括弧
• Lie代数
• 三次元回転
• 余談：サイコロの雌雄と生命の選択

微小正準変換とネーターの定理

• ハミルトニアンと対称性
• 微小正準変換とネーターの定理
• 余談：全ては◯◯に過ぎない病

微分形式

• 外積と外微分
• 微分形式とベクトル解析
• 微分形式による正準方程式の表式
• 余談：二次方程式は必要か

解析力学から量子力学へ

• 古典力学と量子力学
• 前期量子論
• 演算子の交換関係
• シュレーディンガー方程式

おわりに

より深く学ぶために

• 教科書の読み方
• 参考文献

ライセンス

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